输油管的布置

1、.输油管的布置摘 要摘要中要把文章中模型的方法、思想、技巧、结论体现出来。关键词：研究对象 建立模型 求解算法 等专业术语一 问题重述1.1. 背景资料与条件某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路在线增建一个车站，用来运送成品油。现在针对这一计划，建立一个能够使管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.2. 需要解决的问题1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，设计合理、科学的方案，同时对共享管线费用与非共享管线费用相同或不同的情形进行讨论。2.假设两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用

2、图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请针对以上所述的复杂情形设计出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品

3、油的每千米6.0万元，共享管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二 问题分析问题的重要性分析（社会背景）输油管一般为200-750毫米的无缝钢管，外涂沥青，并包绝热材料等，埋于地下，以防冻结和损坏，用输油管运输成品油，可节省运输设备和费用。设计一个最优化的可以尽量节省管线建设费用的方案，可以有效提高炼油厂的工作效率，节省油价成本，对炼油厂的长期经营和持续发展起到一个重要的作用。问题的思路分析铺设输油管的总费用包括管线铺设费用和拆迁等附加费，因此解决问题的关键在于设计一个能够节省铺设费用和附加费的方案。首先，因为炼油厂建造在铁路一侧，火车站在铁路在线

4、，因此，可以铁路线所在直线为X轴建立直角坐标系，两间炼油厂为第一象限上的点；然后，分别对三个问题进行讨论，建立相应的模型。（1）对于问题1,可以做三种假设。.假设两炼油厂没有铺设共同管线。利用“对称点”的性质和“两点之间直线最短”的定理，找出火车站的最佳点，两炼油厂各自直接铺设管线到此点，所用的总费用最少。.假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用相同。利用由两点之间的距离最短原理和三角形中两边之和大于第三边的性质，确定连接非共同管线与共同管线的交点和火车站所在的点，并得出关系式，最后通过求导公式求出解。.假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用不同。只要在对假设的求解

5、方法的基础上，再考虑不同管线的费用这一因素，求解方法与上一假设的方法相似。（2）对于问题二，采用与问题一相同的模型，将具体数据代入，从而求得最优解。(3)在问题（2）的基础上，把各种管道不同价格分别代入，然后利用费马点的推广，进行计算。三 基本假设3.1模型一假设（1）忽略地形的影响，把厂A、B和铁路当作在同一平面；（2）铁路是一条笔直的水平面直线，暂不考虑铁路存在弯道、坡道等；（3）假设铺设管线时没有发生材料损耗，除了铺设管线费用和附加费之外，没有其它费用发生；（4） 3.2模型二假设3.3模型三假设四 符号说明A（）：炼油厂A的坐标；B（）：炼油厂B的坐标；F（，0）：火车站的坐标；L:所

6、有管道的长度 （单位：千米）；：A非共享管道的价格 (单位：万元/千米)；： B非共享管道的价格 (单位：万元/千米)；： A、B共享管道的价格 (单位：万元/千米)；：拆迁和工程补偿等附加费用（单位：万元/千米）；S：整个设计方案所用的总额 （单位：万元）；l: C、D两点之间的距离 （单位：千米）；a：A点到铁路线的垂直距离 （单位：千米）；b：B点到铁路线的垂直距离 （单位：千米）；：甲级资历的信誉度；：乙级资历的信誉度；五 模型的建立与求解5.1模型一的建立和求解（1）两炼油厂只用非共享管道输油时：因为A、B位于铁路的同侧，且A、B和铁路位于同一平面上，A、B的位置可以随意的调换和移动

7、，以铁路所在的直线为X轴，任意做一平行于AC的直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图一所示：要使管线的铺设费用最少，其中=，即是在X轴上找一点F，使得F点到A点的距离AF和到B点的距离BF最短，则所有管道的长度：L=|AF|+|BF|根据对称性原理和两点之间的距离最短的性质，求出点A的对称点A1（x1，-y1），连接A1B交于X轴一点F（，0）,如图二所示：在X轴上任意找点不同于点F的点F1，根据对称性可以得到AF=A1F,AF1=A1F1,三角形两边之和大于第三边的原理，在中有A1F1+BF1A1B=A1F+BF.当且仅当F和F1重合时等号成立。所以：Lmin=|AF|+|BF|=|A1F|+

8、|BF|=|A1B|根据两点间的距离公式得：Lmin=|A1B|= （2）使用共享管道输油且管线的价格相同时：当存在共享管道时价格相同时，此时。布局如图三所示：所有管道的铺设总长为：L=|AE|+|BE|+|EF|根据对称性原理，设公共管道的距离为，作X轴的并行线作点A关于直线y=y3的对称点A1（，）。然后利用(1)中原理可以得到点E（,）为所求的点，由两点之间的距离最短原理和三角形中两边之和大于第三边，可得总长：=|AE|+|BE|+|EF|=|A1B|+|EF|所以：=|A1B|+|EF|=令=对求导可得：令=0，得：令，a=，b=，则：=根据函数的单调性可得：当=时，取得极小值，利用B

9、、E、A 1三点共线，则斜率：则过B、E、A 1三点的直线为：=因为点E（）在直线上，所以当=时，x=此时：=（）（3）使用共享管道输油且管线的价格不相同时：当存在共享管道且和专用管道的价格不相同时，即是。布局如图四所示：所有管道的铺设总长为：L=|AE|+|BE|+|EF|，利用上述原理可得出：=令=对求导可得：令=0，得：根据函数的单调性可得：当时，取得极小值。代入得：=5.2模型二的建立和求解对于具体的设计方案，a=5，b=8，c=15，l=20，为了方便计算，建立模型以AC所在的直线为y轴，铁路线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，5），B（20，8），如图五所示：(1) 若不使用共享

10、管线，且管道的价格=7.2万元，令r=0.7，万元则可设在郊区和城区的分界线上取点G坐标为（15，），设车站点F（，0）所有管线铺设的总长度为:L=|AF|+|FG|+|GB|则总费用为：S=根据问题1第（1）种情况分析的结果可知：=把=7.2，=21.6代入利用LINGO软件计算得出的结果为：=285.04（万元）=7.2（千米）(2) 若使用共享管线，且管道的价格=7.2万元，万元建立平面直角坐标系，如图六所示：设共享管线和非共享管的交点坐标为E（），分界线上取点G坐标为（）则所有管线铺设的总长度为：L=|AE|+|EF|+|EG|+|GB|S=根据问题1的第（2）种情况分析的结果可得知，

11、=，代入数据得：=此时：利用LINGO软件计算得出的结果为：=283.20（万元） ,5.3模型三的建立和求解若使用共享管线，且各种管道的价格都不相同，其中，建立平面直角坐标系，如图七所示： 设共享管线和非共享管的交点坐标为E（），分界线上取点G坐标为（）则所有管线铺设的总长度为：L=|AE|+|EF|+|EG|+|GB|S=根据广义费马点的运用推广，当最小时，此时点E为的费马点，此时：,根据三角函数可得：，代入数据：=5.6|AE|+6.0|GE|+7.2|EF|+27.6|GB|利用LINGO软件计算得出的结果为：（万元），八 模型的推广模型在实际问题中的应用：可以用于解决哪一类的问题，用

12、于不同类别问题时应对模型做出怎样的变化。主要阐述本文模型的广泛适用性。九 模型的评价与优化1.评价本文首先利用对称性，两点直线最短的性质规划出只使用非共享管线时的最优方案，然后扩展到使用共享管线，并综合考虑非共享管线与共享管线价格不同时的各种情形，设计出相应的铺设管线的最优方案，最后将建立的模型应用到具体问题中去。建立的模型有以下优点：（1）结合实际与三角形性质，先对共同管线的使用条件进行限制，再进行问题分析和求解，最终的结果更加准确合理，符合实际。（2）问题1相应的模型是针对普遍情形建立的，具有很强的通用性，只要对其进行相应的改进就能够运用到问题2和问题3的模型的建立中去，使计算更加快捷方便。（3）建立模型时考虑全面，在题中所给数据和条件的基础上，考虑可能存在的所有情形，进行合理的假设，根据不同的情形建立相应的模型。本文的模型是针对题目所给的条件而建立的，实际情形中海存在其他复杂的因素，模型未能将所有因素考虑进去，存在以下缺点：（1）模型与实际情况有一定的差距。现实中，还需要考虑地质，气候，交通或者人力限制等方面影响，在此模型中没有予以详细的考虑。（2) 对于工程咨询公司估计的所需附加费用，与实际情况下所需费用有一定的误差。如果能提供更多的评估数据，总结出更为精确的数据，方案结果更为准确、完美。2模型的优化本文的模型是在仅考虑两炼油厂位于铁路线两侧这