弹塑性力学学习笔记

1、弹塑性力学应力状态：作用在同一点所有不同外法线方向微面上的应力矢量的集合 如何求任意一个已知外法线方向（ l,m,n ）的截面上的应力分量（）？T 是作用在斜面上的合力， 由四面体的平衡可以得到：取相互垂直的三条边， 作为三个坐标轴， 和一个法线方向角为 l,m,n 的斜面围成一个四面体，n Tn Txl Tym TznTx ,Ty ,Tz ,分别为 T在 x轴，y轴和 z轴上的分量。所以，又可以知道切应力的大小n T 2 n2Txxlyxm zxnTxxyxzxlTyxylymzynTyxyyzymTzxzlyzmznTzxzyzzn那么，该外法线方向（l,m,n）上的力大小TTx222Ty

2、2 Tz2又，我们可以知道微面上合外应力 T 在法向上的投影：变换坐标轴， 怎样用一个和新坐标系的坐标轴方向一致的单元体上的应力来表示原先该点的 应力状态？ 设新坐标轴是（ x ， y ， z ），旧坐标系是（ x，y，z ）这个问题的实质是把原先某点在新坐标系坐标轴正向为外法线的的平面上的应力分解（投 影）到新坐标系下的坐标轴上去。设原先在（ x，y，z ）坐标系下用单元体表示的应力状态是：xxyxzyx y yzzxzyz现在在新坐标系下（x，y，z ）用新坐标系下的单元体表示的应力状态：xyxxy yzxxz yzzyz则，我们可以先通过xyxzyxyyzzxzyz，求以 x 、 y 、

3、 z 坐标轴为外法线的截面上的应力以x 为例： 在以 x 坐标轴为外法线的截面上的应力为：Txxyxzx11Tyxyyzy12Tzxzyzz131213Tx112223Ty213233Tz31122232132333yx zx11y zy12yz z13Txx yxzx1xTy=xy yzy0xyTzxz yzz0xz那么， Tz3 1xx11 1 2 13xyxxyxxy21 2 2 23xy y所以，xz31 32 33xz yz又，111213x yx zx1 1 12 1 3x yx zx11 1 2 1 3xy y zy21 2 2 2 3xy y zy21 2 2 23xz yz

4、z31 3 2 33xz yz z31 3 2 33将上面的矩阵两边转置，同理可得y 、 z 方向上的应力分量，将他们合并得：如何求解一元三次方程：盛金公式 一元三次方程 aX3 bX2 cXd=0，(a，b，c，dR，且 a0)。重根判别式：A=b 3ac；B=bc 9ad；C=c 3bd，总判别式： =B 4AC 。当 A=B=0 时，盛金公式( WhenA=B=0 ， Shengjin ' Fsormula )： X1=X2=X3= b/(3a)= c/b= 3d/c。当 =B 4AC>0 时，盛金公式( When=B 4AC>0 ， Shengjin ' F

5、sormula )： X1=( b (Y1 Y2)/(3a) ；X2，3=(2bY1Y2±3 (Y1 Y2)i)/(6a) ；其中 Y1 ，2=Ab 3a (B±(B4AC)/2 ，i=1。当 =B4AC=0 时，盛金公式( When=B 4AC =0 ，Shengjin ' Fsormula)： X1= b/a K ； X2=X3= K/2，其中 K=B/A ， (A0。)当 =B 4AC<0 时，盛金公式( When=B 4AC<0 ， Shengjin ' Fsormula )：X1= （ b2Acos（/3 ）/（3a）；X2，3= （b

6、A（cos（/3）±3sin（ /3）；/（3a）其中 =arccosT， T= （2Ab 3aB）/（2A） ， （A>0 ， 1<T<1） 。盛金判别法Shengjin ' Dsistinguishing Means ：当 A=B=0 时，方程有一个三重实根； ：当 =B 4AC>0 时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ：当 =B 4AC=0 时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ：当 =B 4AC<0 时，方程有三个不相等的实根。 盛金定理Shengjin ' Tsheorems当 b=0 ，c=0 时，盛金公式无意义；当 A=0

7、 时，盛金公式无意义；当A0时，盛金公式无意义；当 T<-1或 T>1时，盛金公式无意义。当 b=0，c=0 时，盛金公式是否成立？盛金公式与盛金公式是否存在A0的值？盛金公式是否存在 T<-1或 T>1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理 1：当 A=B=0 时，若 b=0 ，则必定有 c=d=0（此时，方程有一个三重实根 0， 盛金公式仍成立） 。盛金定理 2：当 A=B=0 时，若 b0，则必定有 c0（此时 ,适用盛金公式解题） 。 盛金定理 3：当 A=B=0 时，则必定有 C=0 （此时 ,适用盛金公式解题） 。盛金定理 4：当 A=0 时，若 B0，则必定

8、有 > 0（此时，适用盛金公式解题） 。 盛金定理 5：当 A < 0时，则必定有 > 0（此时，适用盛金公式解题） 。盛金定理 6：当 =0时，若 B=0 ，则必定有 A=0 （此时，适用盛金公式解题） 。盛金定理 7：当 =0时，若 B0，盛金公式一定不存在 A0的值（此时，适用盛金 公式解题） 。盛金定理 8：当 < 0 时，盛金公式一定不存在 A0的值。（此时，适用盛金公式 解题）。盛金定理 9：当 < 0时，盛金公式一定不存在 T-1或 T1的值，即 T出现的值必 定是 -1< T< 1。显然，当 A0时，都有相应的盛金公式解题。当 =0（d 0时） ，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表 达形式较简明， 使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重 根判别式 A=b23ac；B=bc9ad；C=c23bd是最简明的式子，由 A、B、C