高考总复习函数的奇偶性习题及详解

1、高考总复习高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()Ayxx3(xR)By3x(xR)Cylog2x(x>0，xR)Dy(xR，x0)答案A解析首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x0在定义域内，则应有f(0)0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()Af(x)sinx Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)ln答案D解析ysinx与yln为奇函数，而y(axax)为偶函数，y|x1|是非奇非偶函数ysinx在1,1上为增函数故选D

2、.2(2010·安徽理，4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1 B1C2 D2答案A解析f(3)f(4)f(2)f(1)f(2)f(1)211，故选A.3(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)g(x)log2(x2x2)，则f(1)等于()A B.C1 D.答案B解析由条件知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(1).4(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x2)，当1x2时，f(x)x2，则f(6.5)()A4.5 B4

3、.5C0.5 D0.5答案D解析f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)，f(x)周期为4，f(6.5)f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.520.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x2)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，则f(x)在2,3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数答案A解析由f(x2)f(x)得出周期T2，f(x)在1,0上为减函数，又f(x)为偶函数，f(x)在0,1上为增函数，从而f(x)在2,3上为增函数5(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间a，a(a>0)

4、上的奇函数，且存在最大值与最小值若g(x)f(x)2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A0 B2C4 D不能确定答案C解析f(x)是定义在a，a上的奇函数，f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)f(x)2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.6定义两种运算：ab，ab|ab|，则函数f(x)()A是偶函数B是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案B解析f(x)，x24，2x2，又x0，x2,0)(0,2则f(x)，f(x)f(x)0，故选B.7已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，

5、0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()Ac<b<a Bb<c<aCb<a<c Da<b<c答案C解析由题意知f(x)f(|x|)log47log2>1，|log3|log23>log2，0<0.20.6<1，|log3|>|log47|>|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函数，且f(x)为偶函数，f(x)在0，)上是减函数b<a<c.故选C.8已知函数f(x)满足：f(1)2，f(x1)，则f(2011)等于()A2B3CD.

6、答案C解析由条件知，f(2)3，f(3)，f(4)，f(5)f(1)2，故f(x4)f(x)(xN*)f(x)的周期为4，故f(2011)f(3).点评严格推证如下：f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)即f(x)周期为4.故f(4kx)f(x)，(xN*，kN*)，9设f(x)lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析f(x)为奇函数，f(0)0，a1.f(x)lg，由f(x)<0得0<<1，1<x<0，故选A.10(文)(09·全国)函数ylog2的图象()A关于原点

7、对称B关于直线yx对称C关于y轴对称D关于直线yx对称答案A解析首先由>0得，2<x<2，其次令f(x)log2，则f(x)f(x)log2log2log210.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.(理)函数y，x(，0)(0，)的图象可能是下列图象中的()答案C解析y是偶函数，排除A，当x2时，y>2，排除D，当x时，y>1，排除B，故选C.二、填空题11(文)已知f(x)，则ff的值为_答案2解析ff1f2sin2，fsinsin，原式2.(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(

8、5)_.答案0解析f(x)的图象关于直线x对称，ff，对任意xR都成立，f(x)f(1x)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1x)f(1x)f(2x)，周期T2f(0)f(2)f(4)0又f(1)与f(0)关于x对称f(1)0f(3)f(5)0填0.12(2010·深圳中学)已知函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域都是，且它们在x0，上的图象如图所示，则不等式<0的解集是_答案解析依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，<0，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，

9、<x<0或<x<.13(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x2对称，且当x(2,2)时，f(x)x21.则f(5)_.答案0解析由题意知f(5)f(5)f(23)f(23)f(1)(1)210.(理)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当1x1时，f(x)a，当x1时，f(x)(xb)2，则f(3)f(5)_.答案12解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，1x1时，f(x)a，a0.f(1)(1b)20，b1.当x1时，x1，f(x)(x1)2(x1)2，f(x)为奇函数，f(x)(x1)2，f(x)f(3)f(5)(31)2(51)212.点评求得

10、b1后，可直接由奇函数的性质得f(3)f(5)f(3)f(5)(31)2(51)212.14(文)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)lg(aR)是奇函数，则a_.答案1解析f(x)lg是奇函数，f(x)f(x)0恒成立，即lglglg0.1，(a24a3)x2(a21)0，上式对定义内的任意x都成立，a1.点评可以先将真数通分，再利用f(x)f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单f(x)lg为奇函数，显然x1不在f(x)的定义域内，故x1也不在f(x)的定义域内，令x1，得a1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力(

11、理)(2010·吉林长春质检)已知函数f(x)lg为奇函数，则使不等式f(x)<1成立的x的取值范围是_答案<x<2解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)0恒成立，lglglg0，1，a0，0，a4，f(x)lglg，由f(x)<1得，lg<1，0<<，由>0得，2<x<2，由<得，x<2或x>，<x<2.三、解答题15(2010·杭州外国语学校)已知f(x)x2bxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，g(x)(xa)f(x)(1)若曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值

12、范围；(2)若当x1时函数yg(x)取得极值，且方程g(x)b0有三个不同的实数解，求实数b的取值范围解析(1)由f(x)为偶函数知b0，又f(2)5，得c1，f(x)x21.g(x)(xa)(x21)x3ax2xa，因为曲线yg(x)有斜率为0的切线，所以g(x)3x22ax10有实数解4a2120，解得a或a.(2)由题意得g(1)0，得a2.g(x)x32x2x2，g(x)3x24x1(3x1)(x1)令g(x)0，得x11，x2.当x(，1)时，g(x)>0，当x(1，)时，g(x)<0，当x(，)时，g(x)>0，g(x)在x1处取得极大值，在x处取得极小值又g(1

13、)2，g()，且方程g(x)b0即g(x)b有三个不同的实数解，<b<2，解得2<b<.16(2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2011)分析由f(x2)f(x)可得f(x4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2上解析式可求f(x)在2,0上的解析式，进而可得f(x)在2,4上的解析式解析(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期

14、为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)x26x8.又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2011)0.17(文)已知函数f(x)

15、1(a>0且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x(0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围解析(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)y，2x，由2x>0知>0，1<y<1，即f(x)的值域为(1,1)(3)不等式tf(x)2x2即为2x2.即：(2x)2(t1)·2xt20.设2xu，x(0,1，u(1,2u(1,2时u2(t1)·ut20恒成立，解得t0.(理)设函数f(x)ax2bxc(a、b、c为实数，且a0)，F(

16、x).(1)若f(1)0，曲线yf(x)通过点(0,2a3)，且在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,1时，g(x)kxf(x)是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn<0，mn>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)F(n)>0.解析(1)因为f(x)ax2bxc，所以f (x)2axb.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故f (1)0，即2ab0，因此b2a.因为f(1)0，所以bac.又因为曲线yf(x)通过点(0,2a3)，所以c2a3.解由，组成的方程组得，a3，b6，c3.从而f(x)3