定积分的背景-面积和路程问题

1、定积分的背景问题引入：圆的面积公式圆的面积公式s=r*r如何推导？如何推导？小资料：小资料： 也可以从圆内接正多边形和外切正多边形同也可以从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。面去逼近圆面积。xoy 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形称这样的平面图形为曲边梯形. .)(xfy ab 由直线由直线 x = ax = a，x =b (ab)x =b (ab)， y = 0y = 0和曲线和曲线y y = f (x) = f (x) 所

2、围成的图形所围成的图形 曲边梯形的定义曲边梯形的定义 y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积? y = f(x)bax yO A1A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积? y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4如何求曲边梯形如

3、何求曲边梯形的面积的面积? y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积? n1n2nknnxyO n1n2nknnxOy不足估计不足估计过剩估计过剩估计问题问题1 图中阴影部分由抛物线图中阴影部分由抛物线 ，直线，直线 及及 x 轴轴围成的平面图

4、形，试估计这个曲边梯形的围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积面积 S 。 2xy 1xxoy12xy xoy1(1) 将将区间区间0，1平均分成平均分成 5 份，如图所示。份，如图所示。1S 图图 (1) 中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然大于所显然大于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的过剩估计值过剩估计值，则有则有1S1S44. 02 . 0)18 . 06 . 04 . 02 . 0(222221Sxoy1(2) 图图 (2) 中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然小于所显然小于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们

5、称 为为 S 的的不足估计值不足估计值，则有则有1s1s1s24. 02 . 0)8 . 06 . 04 . 02 . 00(222221sxoy1(3) 我们可以用我们可以用 或或 近似表示近似表示 S ，但是都存在，但是都存在误差，二者之差为误差，二者之差为 ，但是无论是用，但是无论是用 还还是是 来表示曲边梯形的面积，来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过误差都不会超过0.2，如图如图(3)所示。所示。1S1s2 . 011sS1S1sxoy1(4) 为减小误差，我们将区间为减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为385. 01 . 0)

6、12 . 01 . 0(2222S285. 01 . 0)9 . 02 . 01 . 00(22222s不足估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为 ，此时，无，此时，无论用论用 还是还是 来来表示表示 S ，误差都不超过，误差都不超过 0.1 。1 . 022sS2S2s 区间分的越细，误差越小。当所区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度分隔的区间长度趋于趋于 0 ，过剩估计值，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。和不足估计值都趋于曲边梯形面积。通过下面的演示我们如何做到使误差小于通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.0.01.输入数字，输入数字，点击确定点击确定.

7、. 问题问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过后停下，此过程中汽车的速度程中汽车的速度 v 是时间是时间 t 的函数：的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的请估计汽车在刹车过程中滑行的距离距离 s 。)50(2510)(2ttttv 分析：分析：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs)(2511mss此时误差不超过：此时误差不超过： 将将滑行的滑行的 5s 平分成平分成 5 份份。用。用 ， ， ， 近似代替汽车在近似代替汽车在01、12、23、34、45s内内的平均速度，则滑行距离的的平

8、均速度，则滑行距离的过剩估计值过剩估计值为为 ：1s)0( v)1( v)2( v)3( v)4( v 用用 ， ， ， ， 近似代替汽车在近似代替汽车在01、12、23、34、45s内的平均速度，则滑行距离的内的平均速度，则滑行距离的不足估计值不足估计值为为 ：1s)1( v)2( v)3( v)4( v)5( v 滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度小时间段长度趋于趋于0，则过剩估计值和不足估计值都，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。趋于汽车滑行路程。若将若将 5 秒平分成秒平分成10份，则得到份，则得到过剩估计值过剩估计值为为 ：2s)(625.355 . 0)5()2()5 . 1()1()5 . 0(2mvvvvvs)(5 .12625.35125.4822mss)(125.485 . 0)5 . 4()4()1()5 . 0()0(2mvvvvvs不足估计值不足估计值为为 ：2s此时，误差都不超过此时，误差都不超过概括概括 曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：分割区间分割区间过剩估计值过剩