现代控制理论_线性控制系统的能控性与能观性基础知识

1、现代控制理论框架现代控制理论框架建模建模分析分析设计设计状态空间状态空间表达式表达式建立建立求解求解转换转换能控能控性性能观能观性性稳定稳定性性状态反馈状态反馈状态观测器状态观测器最优控制最优控制第三章第三章 线性控制系统线性控制系统的能控性与能观性的能控性与能观性2020世纪世纪6060年代初，由年代初，由卡尔曼卡尔曼提出，提出，与状态空间描述相对应。与状态空间描述相对应。能控性：反映了控制能控性：反映了控制输入输入对系统对系统状态状态的制约能力。的制约能力。 输入能否控制状态输入能否控制状态（控制问题）（控制问题）能观测性：反映了能观测性：反映了输出输出对系统对系统状态状态的判断能力。的判

2、断能力。 状态能否由输出反映状态能否由输出反映（估计问题）（估计问题）能控性和能观测性的能控性和能观测性的基本概念基本概念：卡尔曼 由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入- -输出输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态

3、的控制。还有态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到能否由测量到的输出量来确定出各状态分量的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。的问题，即能观测性问题。点击观看例例 函数记录仪（电桥控制式）函数记录仪（电桥控制式）本章本章主要内容主要内容： 线性线性定常定常系统的能控性的系统的能控性的定义定义及及判别判别 线性线性定常定常系统的能观性的系统的能观性的定义定义及及判别判别 能控性与能观性的能控性与能观性的对偶原理对偶原理 能控标准型和能观标准型能控标准型和能观标准型 线性系统的结构分解线性系统的结构分解例：已知系统的状态方程，判断其能控性，能观性。例：已知系统的状态

4、方程，判断其能控性，能观性。uxxxx11500421212160 xxyuxx114uxx225 系统系统完全能控！完全能控！ 可以控制可以控制 u21, xx 26xy 无法反映无法反映 y1x 系统系统不完全能观不完全能观！ 系统系统能控、能控、不能观测不能观测！4u5y62x 2x1x 1xuxx114uxx22526xy3.1 3.1 能控性定义能控性定义线性线性连续连续系统系统Ttttttt uBxAx),()()()()( 如果存在一个分段连续的如果存在一个分段连续的输入输入 ，能在，能在有限有限的时间区的时间区 内，使系统由某一初始状态内，使系统由某一初始状态 ，转移到一指定的

5、任一终端，转移到一指定的任一终端状态状态 ，则，则 在在 是能控的是能控的。( )u t,0ftt)(0tx0)(ftx)(tx0t状态能控状态能控系统能控系统能控若系统的若系统的所有非零状态所有非零状态状态在状态在 时刻都是能控的，则称此系时刻都是能控的，则称此系统在统在 时刻是时刻是完全能控完全能控的；的；0t0t如果系统在如果系统在所有时刻所有时刻都是能控的都是能控的则称系统则称系统一致能控一致能控。0 x)(tu()0ftx在在 时刻时刻能控能控0 x0t系统在系统在 时刻时刻能控能控0t所有所有非零状态非零状态1x2xt0t00)(xxt1t0)(1tx0 x)(tu()0ftx在在

6、 时刻时刻能控能控0 x0t系统在系统在 时刻时刻完全完全能控能控0t所有所有非零状态非零状态1x2xt0t)(0tx1t所有所有时刻时刻系统系统一致能控一致能控2t)(1tx0t线性线性定常定常系统的能系统的能控性与控性与无关无关)(2tx0)(0)(10txtx状态状态能控能控0)(0)(10txtx状态状态能达能达1x2xt0)(0tx0t1t0)(0tx0)(1tx0)(1tx线性线性定常定常系统：能控性与能达性系统：能控性与能达性等价等价 推论：推论： （1 1）根据定义，如果系统在（）根据定义，如果系统在（t0，tf）时间间）时间间隔内完全能控，那么对于隔内完全能控，那么对于t2

7、tf，该系统在（，该系统在（t0，t2）时间间隔内也一定完全能控。时间间隔内也一定完全能控。 （2 2）如果在系统的状态方程右边迭加一项不如果在系统的状态方程右边迭加一项不依赖于控制依赖于控制u(t)的干扰的干扰f(t)，那么，只要，那么，只要f(t)是绝对是绝对可积函数，就不会影响系统的能控性。可积函数，就不会影响系统的能控性。3.2 3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别 对角标准型对角标准型判据判据 约当标准型约当标准型判据判据 秩秩判据判据1 1 单输入系统单输入系统3.2.1 具有约当标准型系统的能控性具有约当标准型系统的能控性uxxb能控判据：能控判据：b b矩阵

8、矩阵没有没有全为零全为零的的行行。n00000021（1 1）对角型）对角型ub2210 xxx21ccy111xxubxx22222211xcxcy1x 1x1c2c122by2x 2x与与 无任何联系无任何联系u1x系统不能控！系统不能控！ub22101xxx21ccy2111xxxubxx22222211xcxcy系统能控！系统能控！ub01121xxx21ccyubxxx12111222xx2211xcxcy系统不能控！系统不能控！例：判别下列例：判别下列对角标准型对角标准型线性定常系统的能控性。线性定常系统的能控性。1、uxxxx0110022121没有全零行没有全零行系统系统能控能

9、控！1、2、uxxxxxx200310200010008321321有全零行有全零行系统系统不能控不能控！写成微分方程组来证明写成微分方程组来证明b b阵中，对应于每一个阵中，对应于每一个约当块的最后一行约当块的最后一行元素元素不全为零不全为零。uJxxb（2 2）约当型）约当型nnlJJJ00J21rnl21BBBBrii2i1iiBBBBiiiiiii111J考察以下系统的能控性：考察以下系统的能控性：状态状态完全完全能控能控状态状态完全完全能控能控uxxxxxxxx 010000200101101100401443214321uxxxxxx 340200040014321321 结论：结

10、论： （1 1）系统能控性取决于系统矩阵）系统能控性取决于系统矩阵A A和控制矩阵和控制矩阵b,b,即取即取决于系统的结构、参数及控制作用施加点。决于系统的结构、参数及控制作用施加点。 （2 2）A A若为对角型，能控判据为若为对角型，能控判据为b b不能有全不能有全0 0行。行。 （3 3）A A为约当型，为约当型，b b中对应约当块的最行一行不能全中对应约当块的最行一行不能全0 0 （4 4）若存在于输入无关的孤立结构，系统不能控。）若存在于输入无关的孤立结构，系统不能控。2 2、具有、具有一般系统矩阵一般系统矩阵的多输入系统的多输入系统系统的线性变换系统的线性变换不改变不改变系统的能控性

11、。系统的能控性。设线性系统设线性系统 具有具有两两相异的特征两两相异的特征值值 ，则其状态，则其状态完全能控完全能控的的充分必充分必要条件要条件是系统经线性是系统经线性非奇异变换非奇异变换后的对角线后的对角线标准型：标准型：BuAxxn ,.,21uBxxn0021 中，中， 不包含不包含元素全为元素全为0 0的行。的行。B 首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 由前章可知，系统由前章可知，系统 (A，B)和和 ( ( ， ) )之间做线性之间做线性非奇异变换时有：非奇异变换时有：AB变换前后秩不变变换前后秩不变 BBAAxx11TTTT

12、， 将对角标准形的每一行写成如下展开形式将对角标准形的每一行写成如下展开形式)(2211ririiiiiubububxx 显然，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，显然，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此， ( i = 1，2，n)能控的充要条件是下列元素能控的充要条件是下列元素 不同时为零。不同时为零。ixiriibbb,21 其次证明不包含元素为零的行是系统其次证明不包含元素为零的行是系统 ( (A A，B B) )状态完全能控的充要条件。状态完全能控的充要条件。)(902)(157)(tuttxx (2)(570410)(157)(tttuxx(3)(752)(157)(tuttxx

13、 (1)例：判别下列例：判别下列对角标准型对角标准型线性定常系统的能控性。线性定常系统的能控性。能控能控不能控不能控能控能控 （2 2）若线性连续系统若线性连续系统 ( (A A，B B) )有相重的特征值时，有相重的特征值时，即即A A为约当型时，则系统能控的充要条件是：为约当型时，则系统能控的充要条件是： 控制矩阵控制矩阵B B中对应于互异的特征值的各行，没中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；有一行的元素全为零； 控制矩阵控制矩阵B B中与每个约当块最后一行相对应的中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。各行，没有一行的元素全为零。 上述结论的证明与具有两两

14、相异特征值的证明类同，上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。故省略。例例 考察下列各系统的状态能控性。考察下列各系统的状态能控性。（1）)(340)(200040014)(tuttxx （2）)(030024)(200040014)(tttuxx 最后指出一点，当系统矩阵最后指出一点，当系统矩阵A为对角标准形，但在为对角标准形，但在含有相同的对角元素情况下，或系统矩阵含有相同的对角元素情况下，或系统矩阵A为约当标准为约当标准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，单形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，单输入系统不能控，多输入系统需考察相同特征值对应约输入系统不能

15、控，多输入系统需考察相同特征值对应约当快最后一行矢量的线性无关性。当快最后一行矢量的线性无关性。)(15)(0154)(tuttxx 例：判别下列系统的能控性。例：判别下列系统的能控性。解解: :1) 1) 特征值特征值2 2）特征向量特征向量151p112p3 3）1115T656161611T011bT)(01)(1005tutzz能控还是不能控？能控还是不能控？不能控！不能控！)()()(tbttuAxx3.2.2 直接从直接从A与与B判别系统的能控性判别系统的能控性1. 1.单单输入系统输入系统ttdbttttt0)()()()()(00uxx证明：已知上面状态方程的解为证明：已知上面

16、状态方程的解为即：即：fttdbtt0)()()(00ux需用到一个新定理需用到一个新定理10njjjkkAA依据标量微分方程解式依据标量微分方程解式0!)(kkkAtktetA 利用凯莱利用凯莱- -哈密尔顿（哈密尔顿（Cayley-HamiltonCayley-Hamilton）定理）定理A A的任何次幂，可以用的任何次幂，可以用A A的的0 0到到n-1n-1次幂线性表示次幂线性表示故故100!)(njjjkkkAktt10)(njjit A100!)(njjjkkkAktt10)(njjit Afttdbtt0)()()(00ux fttnjjidbAtt0)()()(1000uxft

17、tinjjdtbA0)()(010uinjjbA10injjbAtx100)(标量标量11012100 )(nninjjbbbbbtAAAAx 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(t0)都应从上述方程中解出都应从上述方程中解出 0， 1， n 1 1来。来。 阶阶能控性矩阵能控性矩阵nrankrankMbAbAAbb1n2即：nn满足条件即可，不必写出所有列满足条件即可，不必写出所有列！)()()( 00201112110txtxtxbbbbnnnAAAuxaaax100100010210 例例 判别如下系统的能控性判别如下系统的能控性bAA

18、bbM2 解解 ：故系统的状态故系统的状态完全能控！完全能控！nrank 3M22122110100aaaa此形式的状态方程为能控标准型此形式的状态方程为能控标准型uxxxxxx 102101110221321321 例例 判别如下系统的能控性判别如下系统的能控性bAAbbM2 解解 ：故系统的状态故系统的状态完全能控！完全能控！nrank 3M511010042推论：系统能控，则传递函数阵无零极点对消推论：系统能控，则传递函数阵无零极点对消观察例观察例3-23-2为不能控极点极点1)()()(tttBuAxxnrankrank)dim(ABABAABBM1n2 阶阶能控性矩阵能控性矩阵npn

19、2. 2.多多输入系统输入系统 21321321111112310020231uuxxxxxx 例例 判别如下线性连续定常系统的能控性判别如下线性连续定常系统的能控性 解解 ：系统系统不能控不能控！BAABBM24422114422114523122Mrank3dimA 例例 1, 5 . 0, 121kmm 分析系统能控性。分析系统能控性。11( ), ( ),s ts t1m2m)(1tf22( ), ( ),s ts t)(2tfk选取：选取：4321)(xxxxtx1122ssss1 11212 2221()()m sfk ssm sfk ss21uuu21ff21ssy31xx223

20、21244311311122111umxmkxmkxxxumxmkxmkxxx 0202100001010010A20000100B 例例 1, 5 . 0, 121kmm 分析系统能控性。分析系统能控性。),(),(11txtx 1m2m)(1tf),(),(22txtx )(2tfk0202100001010010A20000100BBABAABB32rank0020200000010100rank4系统系统能控能控！满足条件即可，不满足条件即可，不必写出所有列必写出所有列！3.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量有时不是系统的状态，而是系统的输出，因此控制量有时不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。有必要研究系统的输出是否能控的问题。 定义定义 对于系统对于系统 ( (A A，B B，C C，D D) )，如果存在一，如果存在一个无约束的控制矢量个