高中常见数列的公式及经典例题等差数列

1、 高中常见数列的公式及经典例题等差数列1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即=d ，（n2，nN），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2等差数列的通项公式： 或 =pn+q (p、q是常数) 3 有几种方法可以计算公差d d= d= d=4等差中项：成等差数列5等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )等差数列前n项和公式6.等差数列的前项和公式 （1） （2） （3），当d0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用：当>0，d<0，前

2、n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由二次函数配方法求得最值时n的值等比数列1等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）2.等比数列的通项公式: ， 3成等比数列=q（,q0） “0”是数列成等比数列的必要非充分条件4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 5等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）.6性质：若m+n=p+q，7判断等比数列的方法：定义法，

3、中项法，通项公式法8等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, 是递增数列; 当q>1, <0,或0<q<1, >0时, 是递减数列;当q=1时, 是常数列; 当q<0时, 是摆动数列;等比数列前n项和等比数列的前n项和公式： 当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.二、公式法若已知数列的前项

4、和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为(2004全国卷I.22)已知数列中,其中，求数列的通项公式。例3. 已知数列满足，求。类型2 （1）递推公式为例4. 已知数列满足，求。例5设数列：，求.类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。(2006. 重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项 例7. 已知数列中，求.类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均

5、为常数）（2006全国I.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项； 例8. 已知数列中，,，求。类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式； 例9. 已知数列中，,，求。类型6 递推公式为与的关系式。(或)例10. 已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.7 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例11. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观

6、察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k。例12、数列a满足a=1，a=a+1（n2），求数列a的通项公式。例13、数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。例14已知数列满足，且，求2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种

7、方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例16、数列满足=0，求数列a的通项公式。 例17、数列中，求数列的通项公式。五、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.例19已知数列满足：求例20：已知数列满足，求数列的通项公式。3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列

8、;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。(2006.重庆.文.22)（本小题满分12分）数列求数列的通项公式. 例21、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例22已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？六、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例24： 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.例25： 数列中前n项的和，求数列的通项公式.2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例26： 设是首项为1的正项数列，且，（nN*），求数列的通项公式an.3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数