多自由度系统的数值计算方法

1、返回总目录制作与设计 贾启芬振动理论与应用振动理论与应用Theory of Vibration with Applications 返回首页 第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商5.1.2瑞利第二商 返回首页Theory of Vibrati

2、on with Applications5.1.1瑞利第一商设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为KAAMAATTVpT2121max2maxmaxmaxVTpTT2A KAA MA对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方pi2RATT( ) A KAA MA若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。 MxKx 0 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于所取矢量A。如果A与某一主振

3、型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计，所以此方法常用于求基频，现推证如下。按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即 AAAAAA CCCCCNNnNniinNiN11221 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即 AAAAAA CCCCCNNnNniinNiN11221C CCCnT12 CiNiTNiTNiNiT()

4、()()AMAAMAAMA是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数Ci可用振型的正交条件求出。即 nNnNNCCCAAAA2211 MATiN)(前乘 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.1瑞利第一商CMAACCKAACNTNTNTNTAR)(ICCCPCTT2niiniiiCpC121222121321221212132132122122111CCCCCCppCCppCCppCCpnnn11121221212221221ppCCppCCpnn CiNiTNiTNiNiT()()()AMAAMAAMA AAAAAA CCCCCNNnNniin

5、NiN11221RATT( ) A KAA MA代入 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果。 RAp( ) 1211312,CCCCCCn1由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有， 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1 。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而

6、增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。 由于 11ppi), 3 , 2(ni 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 0 xxM xAsin ptAMA p2 A MAA M MATTp2 如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即A MT前乘以同理，若A A是任意的n矢量，则有pTT2A MAA M MA RATT( ) A MAA M MA 称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则 是基频 的近似值 RA( )p12给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。 返回首

7、页Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 例5-1 用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。 解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为 III000000 110121012kK3212211111k 逆矩阵A 1 1 1TA MAA KAA M MATTTIkIk3142； 计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 RATT( ) A MAA M MA RATT( ) A KAA M

8、AIkAR333. 0)(IkAR214. 0)(在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率 ，精确到第四位值的比较误差较大。pkI120198 . 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1.2瑞利第二商 如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型， 设A 356TA MAA KAA M MATTTIkIk70143532; RAkIRAkI( ).;( ).020001983显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。 返回首页Theory of Vibration with Ap

9、plications第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法 返回首页Theory of Vibration with Applications用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型在李兹法中，系统的近似主振型假设为A aaass1122 12,s 1212ssTaaa,aAa 是选取的s个线性独立的假设振型ns矩阵s维待定系数RApTTTT( ) aKaaMa 2 返回首页Theory of Vibra

10、tion with ApplicationsRAUaTap( )( )( )2RApTTTT( ) aKaaMa 2由于 在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方 ，所以a的各元素由下式确定RA( )pi20)()()()()(1)(2iiiaaTaUaaUaTaTaARis12 , ,0)()(2iiaaTpaaUaMaTTaT)(aKaTTaU)( 返回首页Theory of Vibration with ApplicationsRAUaTap( )( )( )20)()(2iiaaTpaaUaMTiiaaT2)(iaaU)(aKaKaaaKaaKaTiTiTiTTi

11、TiaaaaU22)( iTiTpKaMa20is12 , ,KKTK aM a0p2MMTn个自由度缩减至s 自由度。刚度矩阵质量矩阵 返回首页Theory of Vibration with Applications李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程KMp20 aiis(, , ) 12 K aM a0p2求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型 Aaii is 12 , , ()aM aiTjijij01 ()()AMAaMaiTjiTTjijij 01正交性 返回首页Theory of Vibration wit

12、h Applications2)(pARTTMAMAMAA 0aMMaM TTp2对于瑞利第二商Aa 利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式0aM)(2 p02 pM特征方程MM T aiis(, , ) 12 求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型 Aaii is 12 , ,MMT 返回首页Theory of Vibration with Applications例5-2 用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及主振型。 解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵43213321222111111,00200

13、2002,000000000000kkkkkkkkkkkmmmm KM 12025050075 100000020060100.TT设振型 返回首页Theory of Vibration with ApplicationsMMKK TTmk188155155140025025025036.04.1035.1235.1236.152kmTMM 求出02518802515502515503614002222.kmpkmpkmpkmp02518802515502515503614000222212.kmpkmpkmpkmpaa pkmpkmaaaa12221121122201240010008010

14、0 .,.,.求出2个固有频率，即5自由度系统的前5阶固有频率。 返回首页Theory of Vibration with Applications Aa11025000050020075060100100400100079140180220220036064082100 . A1036064082100.T Aa22100100000100 .T求出系统的前二阶主振型 返回首页Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法 返回首页Theory of Vibration with Applicati

15、ons邓克莱法是求多圆盘的轴的横向振动系统基频近似值的一种方法。当其它各阶频率远远高于基频时，利用此法估算基频较为方便。由表示位移方程得到的频率方程，即 MI102p并展开得nnnnnnmmm111122221012p令120n1122222111pppnn,根为式又可写成各因式连乘积的形式，即展开得nnn1210 返回首页Theory of Vibration with Applicationsnnnnnnmmm1111222210nnn12101211112222nnnnnmmm1111222211112222pppmmmnnnnn比较，得到若基频p1远低于高阶频率，即1121111222

16、2pmmmnnnnkii是第i个质量产生单位位移时，在第i个质量上所需加的力。 iiiik1 返回首页Theory of Vibration with Applications11211112222pmmmnnnn称为邓克莱公式邓克莱公式。由于略去了高阶频率的成分，所以求得的基频总是低于精确值。 iiiiiiiiiiiiiimmkkmp1121111121122222ppppnnpii表示只有mi存在时，系统的固有频率。 返回首页Theory of Vibration with Applications例5-3 用邓克莱公式计算例5-1中的三圆盘转轴系统的基频。112233123123kkkI

17、III,11112366016671211222233212ppppIkIkIkIkpkIkI .解：由例5-1所解可知显然用邓克莱法求基频十分方便，但误差较大，故仅适用于初步估算。 返回首页Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频

18、率和主振型矩阵迭代法，亦称振型迭代法是采用逐步逼近的方法来确定系统的主振型和频率。0AIM)1(2p AMA21p MD 系统的动力矩阵求系统的基频时，矩阵迭代法用的基本方程是由位移方程，即用动力矩阵D前乘以假设振型A0 ，然后归一化，可得A1，即DAA011 a矩阵迭代法的过程是：（1）选取某个经过归一化的假设振型A0 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型（2）如果 ，就再以A1为假设振型进行迭代，并且归一化得到A2，AA10DAA122 a（3）若 ，则继续重复上述迭代步骤，得AA21DAAkkka1直至 时

19、停止AAkk1apk12 AA1k第一阶主振型 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型根据振型展开定理，任意的假设振型可以表示为各阶主振型的线性组合，即 AAAA01122CCCnn（A）可以证明，上述过程一定收敛于最低固有频率及第一阶主振型。经过第一次迭代后，即 DADAAADADADA011221122()CCCCCCnnnn（B）根据主振型应满足的关系，即 DAAiiip12in12 3, , ,（C） 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有

20、频率和主振型 AAAA01122CCCnn（A） DAAiiip12in12 3, , ,（C）也即是每迭代一次等于在A(i)之前乘以系数 ，12pi DAAAA0112122222111CpCpCpnnn（D） 所以式（B） DADAAADADADA011221122()CCCCCCnnnn可写为 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型 AAAA01122CCCnn（A） DAAAA0112122222111CpCpCpnnn（D） 由于p1 p2 pn，所以每迭代一次以后式（D）与式（A）的区别是，各振型前的系

21、数不一样，经过一次迭代，第一阶主振型的成分得到比其它主振型更大的加强，反复迭代下去，一直到第一阶主振型成分占绝对优势为止，此时即有 AAk1 DAAAkkkap11211apk112 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型可以看出：尽管开始假设的振型不理想，它包含了各阶主振型，而且第一阶主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代过程中，高阶振型的分量逐渐衰减，低阶振型的分量逐渐增强，最终收敛于第一阶主振型最终收敛于第一阶主振型。假设振型越接近A(1)则迭代过程快；假设振型与A(1)相差较大则迭代过程收敛的慢，但最终仍

22、然得到基频和第一阶主振型。如果在整个迭代过程中，第一阶主振型的分量始终为零，则收敛于第二阶主振型；如果前s 阶主振型的分量为零，则收敛于第s+1阶主振型。应当指出，若用作用力方程进行迭代，则收敛于最高固有频率和最高阶主振型。 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型例5-4 用矩阵迭代法求例5-1所示系统的第一阶固有频率及振型。 解： 由例5-1中计算的结果可得到动力矩阵DM Ik111122123A01 1 1T取初始假设振型DAA0111112212311135631000016667200003IkIkIkIk

23、.A1100001666720000.T进行迭代，经过第一次迭代后，得 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型第二次迭代DAA1211112212310000166672000046667833441033344666710000178582214346667IkIkIkIk.继续迭代下去320000. 52429. 28000. 10000. 10000. 5ADAkIkI430429. 52465. 28017. 10000. 10479. 5ADAkIkI540482. 52469. 28019. 10000

24、. 10482. 5ADAkIkI650488. 52470. 28019. 10000. 10488. 5ADAkIkI760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIkI 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.1 求第一阶固有频率和主振型760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIkIAA76150489019801212pIkpkI.,. A1100001801922470.T与之对应的第一阶主振型为 返回首页Theory of Vibration with A

25、pplications5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 当需用矩阵迭代法求第二阶、第三阶等高阶频率及振型时，其关键步骤是要在所设振型中消去较低阶主振型的成分。如由展开定理 AAAACCCnn1122由正交性 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA MATi)(前乘 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 AAAACCCnn1122 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA如果要在A中消去A(1)的成分，则只需取假设振型为 AAAAAMAIAAMAQ ACMMTT11111111

26、1()() QIAAM1111()TM其中称为前P阶清除矩阵。应用QP A作为假设振型进行迭代，将得到第P+1阶固有频率及主振型。 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 应当注意到，在运算中不可避免地存在舍入误差，即在迭代过程中难免会引入一些低阶主振型分量，所以在每一次迭代前都必须重新进行清除运算。实际上，可以把迭代运算和清除低阶振型运算合并在一起，即将清除矩阵并入动力矩阵D中去，并入原理如下。 DADAAA()CCCnn1122所以 DAADAA1121211ppiii, DAAAACpCpCpnnn1121

27、22222因为从DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()() 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 从DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()()称之为已含清除矩阵的新动力矩阵。用矩阵D*进行迭代将得到第二阶主振型及第二阶固有频率。 DDAAM11112()TM p因此，包含前P阶清除矩阵的动力矩阵为 DDAAMjjTjjjPM p()21 返回首页Theory of Vibratio

28、n with Applications5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 例5-5 用矩阵迭代法求例5-4系统中的第二阶固有频率及主振型。 pkIT12101980100001801922470.,.A解：在例5-4中，用矩阵迭代法已求出系统的第一阶固有频率和主振型为 IMT2959. 9)(111MAA于是，可计算出 0490. 50489. 42479. 20489. 42468. 38019. 12479. 28019. 10000. 1)(11ITMAA 返回首页Theory of Vibration with Applications5.4.2 求较高阶的固有频率及主振型 DDA

29、AM11112045670201002208020100235901998022080199802569().TM pIk得到含清除矩阵的动力矩阵 A021 11T pkIT22215552100000445208020.,.A选取初始假设振型现经过十二次迭代后，得到 返回首页Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法 返回首页Theory of Vibration with Applications将矩阵迭代法与李兹法结合起来，可以得到一种新的计算将矩阵迭代法与李兹法结合起来，可以得到一种新的计

30、算方法，即子空间迭代法。方法，即子空间迭代法。它对求解自由度数较大系统的较低的前若干阶固有频率及它对求解自由度数较大系统的较低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。主振型非常有效。 返回首页Theory of Vibration with Applications李兹法：李兹法：假设系统的近似主振型为A aaass1122 12,s 1212ssTaaa,a是选取的s个线性独立的假设振型ns矩阵s维待定系数 返回首页Theory of Vibration with Applications iTiTpKaMa20is12 , ,KKTK aM a0p2MMTn个自由度缩减至s 自由度。刚度矩阵质

31、量矩阵 返回首页Theory of Vibration with Applications李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程KMp20 aiis(, , ) 12 K aM a0p2求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型 Aaii is 12 , , 返回首页Theory of Vibration with Applications计算系统的前P阶固有频率和主振型，按照李兹法，可假设s个振型且sP。将这些假设振型排列成ns阶矩阵，即A012 s其中每个 都包含有前P阶振型的成分，也含有高阶振型的成分。 返回首页Theo

32、ry of Vibration with Applications为了提高李兹法求得的振型和频率的精确度，将A0代入动力矩阵中进行迭代，并对各列阵分别归一化后得 MA0MD 目的是使 比A0含有较强的低阶振型成分，缩小高阶成分。但如果继续用 进行迭代，所有各阶振型即 的各列都将趋于A(1)。 为了避免这一点，可以在迭代过程中进行振型的正交化。用李兹法进行振型正交化具有收敛快的特点。因为它是利用瑞利取驻值的条件，寻求s2个aij的系数，使得 的每一列都成为相对应振型A(i)的最佳近似。 返回首页Theory of Vibration with Applications所以用 作为假设振型，再按李

33、兹法求解，即设 Aa 可求得广义质量矩阵和广义刚度矩阵MM TKKss阶待定系数方阵KaM a p2得到s个值 及对应的特征矢量 p2a再由李兹法特征值问题，即求解方程A从而求出 返回首页Theory of Vibration with Applications然后，以求出的 作为假设振型进行迭代，可求得A MAAa 与李兹法特征值问题，解出 。aA,由李兹法，即不断地重复矩阵迭代和李兹法的过程，就可以得到所需精度的振型和固有频率。迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放大，即向 张成的子空间靠拢。 返回首页Theory of Vibration with Applications 子空

34、间迭代法是对一组假设振型反复地使用迭代法和李兹法的运算。 从几何观点上看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。 AAA12、n 12、s而假设的s个线性无关的n维矢量 张成一个s 维子空间， AAA12、s 如果只迭代不进行正交化，最后这s个矢量将指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李兹法作了正交处理，则这些矢量不断旋转，最后分别指向前s个特征值的方向。 返回首页Theory of Vibration with Applications 12、s AAA12、s即由张成的一个s 维子空间，经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由所张成的子空间。 返回首页

35、Theory of Vibration with Applications 在实践中发现，最低的几阶振型一般收敛很快，经过二至三次迭代便已稳定在某一数值。 在以后的迭代中不能使这几个低阶振型值的精度进一步提高，只是随着迭代次数的增加，将有越来越多的低阶振型值稳定下来。 所以，在计算时要多取几个假设振型，如果所需求的是P个振型，则假设振型个数s一般应在2P与2P+8之间取值。 返回首页Theory of Vibration with Applications 子空间迭代法有很大的优点，它可以有效地克服由于等固有频率或几个频率非常接近时收敛速度慢的困难。 同时，在大型复杂结构的振动分析中，系统的自

36、由度数目可达几百甚至上千，但是，实际需用的固有频率与主振型只是最低的三、四十个，通常对此系统要进行坐标缩聚。 与其它方法相比，子空间迭代法具有精度高和可靠的优点。因此，它已成为大型复杂结构振动分析的最有效的方法之一。 返回首页Theory of Vibration with Applications例5-6 用子空间迭代法求例5-2中所示系统的前二阶固有频率及振型。A002500250075010001000100000000900.T解：系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵已由前例求出。现取假设振型由动力矩阵迭代得到Tkm600. 0300. 0200. 1100. 1500. 7500. 6

37、750. 4500. 20MA 返回首页Theory of Vibration with Applications将各列分别归一化得 0333306333086671000009167100000250005000.T求得MK、MMKK TTmk2263306556065560152802733005560055619722.()KMa0p2 027332363300556065560055606556197222152800121.aa再由李兹法特征值问题为其中 mpk2 返回首页Theory of Vibration with Applications44427497940536002.

38、1212012061000210000001370301510000.,.;.,.aa由上述方程有非零解的条件，得频率方程为各列分别归一化后，得 a0333309167063331000008667025001000005000100000301500137100000345908162064720809008701001130993108015.A0348310000065150991308761001391000009820. 返回首页Theory of Vibration with Applications MAmk287600995454036099807279800051827980

39、9871. 0347306526087921000010000099540005109917.T重复上述过程进行第二次迭代，由归一化后得则有MMKK TTmk2219600007000072974302788000010000129744.()KMa0p222798231960000100007000010000729744297430012.aa由 返回首页Theory of Vibration with Applications22798231960000100007000010000729744297430012.aa解得68991773150832102. 12110120610000

40、10000000010000310000.,.;.,.aa得频率方程为a034731000006526099540879200051100000991710000000030000110000.由于 近似于单位矩阵，所以有aAa 返回首页Theory of Vibration with Applications由于 近似于单位矩阵，所以有a034731000006526099540879200051100000991710000000030000110000.aAa 结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型为 pkmpkmTT122212012060347306526087921000

41、010000099540005109917.,.AA 返回首页Theory of Vibration with Applications第第5 5章多自由度系统的数值计算方法章多自由度系统的数值计算方法 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.1 弹簧质量链状系统5.6.2 轴盘扭转振动系统 5.6.3 梁的横向弯曲振动系统 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.1 弹簧质量链状系统工程上有些结构是由具有重复性的相同区段象链条那样组合而成的。例如弹簧质量系统，它是由一个弹簧和一个质量依次组合而

42、成的链状系统。对于这类系统，可将其分成有限单元或段，每一单元包含一个无重弹簧和一个质量块。类似的系统还有轴盘扭转振动系统；连续梁的横向弯曲振动系统等等。计算这类链状结构固有频率和主振型时，宜采用传递矩阵法。采用传递矩阵法进行振动分析时，只需要对一些低阶次的矩阵进行乘法运算，数值解时也只需计算低阶次的矩阵及行列式。计算工作大大简化，并可推广来求系统的响应。 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.1 弹簧质量链状系统图是弹簧质量链状系统的一部分。质量mi和弹簧ki组成一个单元。画出质量块的受力图。其位移为xi，上标L和R是左边和右边的标记。由于质

43、量块是刚体，所以iiixxx LRLRiiiiFFxm 运动方程为 xp xii 2设质量块作频率为p的简谐振动，其加速度为L2LRiiiixpmFF L2R101iiiFxmpFx 写成矩阵形式 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.1 弹簧质量链状系统iiixxx LRL2LRiiiixpmFF 矩阵形式L2R101iiiFxmpFx 点传递矩阵xFT向量称为状态向量点传递矩阵把质量两边的状态向量联系起来。 P 1012mp画出i段弹簧的受力图。由于不计弹簧的质量，所以 返回首页Theory of Vibration with Appli

44、cations5.6.1 弹簧质量链状系统R1L iiFFR1R1LL)( iiiiiFxxkFiiiikFxxR1R1L R1L1011 iiiFxkFx场传递矩阵 F 1101kR1L1011 iiiFxkFxL2R101iiiFxmpFx 场传递矩阵把弹簧两边的状态向量联系起来代入 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.1 弹簧质量链状系统R1L1011 iiiFxkFxL2R101iiiFxmpFx R12R1011101 iiiiFxkmpFx代入R122R111 iiiFxkmpmpkFxR1R iiiFxFxH把位置i和i1的右

45、边的状态向量直接联系起来Hiikmpmpk11122i段传递矩阵 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.1 弹簧质量链状系统RiFx R0 FxHiikmpmpk11122i段传递矩阵递推公式能使典型位置i处的状态向量将边界条件代入式得到频率方程，从而求得系统的各阶固有频率和主振型。 R0121R FxFxiiiHHHH与系统的边界处的状态向量发生联系，即 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 设各圆盘可以和轴一起转动(略去横向运动)，它们对转动轴线的转动惯量分别为I0

46、，I1，Ii，Ii+1 ，圆盘间各段轴的扭转刚度系数为k0，k1，ki，k+1 。以第i个圆盘和第i段轴组成分段单元。分别画出受力图。1. 单支轴盘扭转振动系统图是轴盘扭转振动系统的一部分。由受力分析可得到 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 由受力分析可得到L2R101iiiMIpM R1L1011 iiiMkMMi称为i点的状态向量P 1012IpF 1101k点传递矩阵场传递矩阵R122R12R1111011101 iiiiiiMkIpIpkMkIpM类似地可以得到各段向量的转换关系 返回首页Theory of

47、Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 R122R12R1111011101 iiiiiiMkIpIpkMkIpMHiikIpIpk11122分段传递矩阵 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 有些轴盘扭转振动系统是带有分支的链状结构，这时需要选择其中部分链状结构作为主系统，其它分支作为分支系统。在主系统上推导分支点两侧状态向量的传递关系时，要考虑分支系统对支点的影响。2. 具有分支的轴盘扭转振动系统具有分支的轴盘扭转振动系统以图示的分支链状系统为例。选择圆盘I1，I3，I4所

48、在的轴作为主系统以(A)表示；圆盘I5所在的轴作为分支系统以(B)表示。 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 2. 具有分支的轴盘扭转振动系统以图示的分支链状系统为例。选择圆盘I1，I3，I4所在的轴作为主系统以(A)表示；圆盘I5所在的轴作为分支系统以(B)表示。分支系统(B)对主系统(A)的影响只是在主轴系(A)中的A齿轮上作用有附加力矩。在分析传递矩阵时，应将该附加力矩考虑进传递矩阵中去。 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 2. 具有分

49、支的轴盘扭转振动系统假设齿轮A、B的转动惯量可忽略不计，齿轮A与齿轮B的传动比为n。由于是外啮合，两个齿轮的转角有如下关系22BAn 对于(B)轴系，有R2525255R5111BMkpIpIkM 在该式前乘以传递矩阵的逆矩阵，并考虑到在自由端的扭矩 ，则有0R5 MR525525R5255525R21111 pIkpIMpIkkpIMB 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 2. 具有分支的轴盘扭转振动系统R525525R5255525R21111 pIkpIMpIkkpIMBR252525R525R21BBkpIpI

50、pIM R2L2R2R2L2R2AABBAAnnnMMM对于(A)轴系，由作用在(A)轴系上齿轮A的力矩平衡方程，有R2525255R5111BMkpIpIkM 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 2. 具有分支的轴盘扭转振动系统 R2L2R2R2L2R2AABBAAnnnMMM对于(A)轴系，由作用在(A)轴系上齿轮A的力矩平衡方程，有L2525252R21101AAMkpIpInM R12L21011 MkMA式中的矩阵，即为在2处的点传递矩阵，再加上轴段的传递关系1101525252R2kpIpInMAR12R1

51、21011MMkH 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 2. 具有分支的轴盘扭转振动系统R12R12525252R210111101 MMkkpIpInMAHH2225252525252511111 kn I pI pkn I pI pk考虑了分支系统经过齿轮A对主系统的影响的分段传递矩阵。轴间的刚度为 ， ， 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 例5-7 图示系统是一个由四圆盘组成的扭转振动系统，各圆盘的转动惯量分别为 ；242231mkg1

52、 . 0,mkg4 . 0IIII051 kkradmkN1042 kkradmkN203k试求系统的固有频率及主振型。解： 从圆盘1开始，由边界条件 ，于是01L11 M， 2L12L121R14 . 0114 . 001101ppMpIM 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 圆盘2的状态矢量为R1222222R2111 MkpIpIkMR2323233R3111 MkpIpIkM圆盘3的状态矢量为圆盘5的状态矢量为R3424244R4111 MkpIpIkM 返回首页Theory of Vibration with Applications5.6.2 轴盘扭转振动系统 将以上四式连接起来，有4424244R4111 kpIpIkM3323233111kpIpIkR12222222111 MkpIpIk代入数据，并由边界条件 ，可得频率方程，即0R4 M0108 . 01041055. 4815610452R4 ppppM解出s