二项式展开定理

1、二项式展开定理一、定理及基本概念1. （a b）n Cn°an xbCnr anrbr Cnnnn（n N*）2. 项数:一共项；3. 通项：；一定注意两点：1）涉及“第几项”得时候，一定严格按照通项公式；2）注意项数与系数得关系。4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。二、性质1 .二项式系数得对称性:;2 .二项式系数与:3 .奇数项二项式系数与二偶数项二项式系数之与二；4 .二项式系数最大项：1）当就是偶数时，此时项数就是奇数，中间项得二项式系数最大；2）当就是奇数时，此时项数就是偶数，中间两项得二项式系数二最大。5 .系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大得区别。基本题

2、型解题思路及步骤一、利用通项公式求某项系数1.写出通项公式得时候注意：1）所有得系数写在最前面，包括符号； 2）所有根式都写出分数次数形式；3）明白什么就是有理项4）注意得取值范围。2 .只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件得项。3 .有两个式子相乘：1）分别用通项公式打开，组合后瞧满足条件得项；2）只打开一个，观察另一个得形式，判断满足条件得项；一定注意系数3）有多个得，注意各自得取值范围与相互之间得关系 。二、赋值求系数与1 .常用得赋值就是令，具体要通过所求得式子来判断赋值；2 .所有系数之与：令；二项式系数之与:3 .所有系数绝对值之与：令;变换原来式子里得符号，边为

3、相加；再令；4 .求导与积分得形式。三、对二项式定理得理解：组合项、整除1 . 二项式定理得理解：都表示一个整体；2 .根据所求得问题，对前面得进行重新组合。例题讲解一、求某项得系数1.求展开式中第几项为常数项，并求常数项得值。解：直接用通项公式打开：；（注意系数都放一起）常数项即得次数为0,也即：；所以常数项为第4项； 且常数项为2,在二项式得展开式中，第四项得系数为56,求得系数。解:第四项得系数为56:注意：项数与展开式中得取值得关系。此时：。二56,解得：；再利用通项公式：；要求得系数，所以：；故前得系数为：3 .求二项式展开式中常数项得值。解：，所以；常数项得值为：。（一定严格按步骤

4、来，注意系数得符号）4,求二项式展开式中有理项得系数与。解：什么就是有理项？，当时为有理项；用通项公式打开：；要满足有理项，即：且，所以：或当时，；当时，；故:有理项得系数与为。5 .求多项式展开后常数项。解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取得得取值范围；展开：；展开：所以：展开后：（）所以:,所以：或或；当时，；当时，；当时，；所以常数项为：。6 .求展开式中，得系数。解:展开：；展开：；所以：展开:，其中：；所以：或或；故系数为：7 .已知（）得展开式中没有常数项，则得值为。解：展开：；由题意可知，展开式中没有常数项。则，所以：，所以：o8 .求中，得系数。9 .求得展开式中，前

5、得系数为？10 .求得展开中得系数。二、系数最值1 .在得展开式中，二项式系数最大得项就是第几项。解：展开式式中一共有：项。所以中间项为：第项。一定要时刻注意项数与次数得关系。2 .在得展开式中，只有第4项得二项式系数最大，则展开式中得常数项为？解：只有第4项二项式系数最大，所以一共有7项，所以：。通项公式：，常数项，所以：。3 .已知，若展开式中第5,第6与第7项二项式系数为等差数列，求展开式中二项式系数最大项得系数就是多少？解：通项公式为：； 二项式系数为等差数列，所以：，解得或；当时，二项式系数最大就是第4项与第5项，故:，； 当，二项式系数最大就是第8项，故：。注意题目得问题：就是二项

6、式系数最大项得系数！4 .求得展开式中系数最大得项？解：通项公式为：，各项系数得通项为：则：解得：；所以系数最大项为第6项；。5 .求得展开式中系数最小得项就是第几项？三、赋值1 .若得展开式中偶数项系数与为，求得值。解:令，得所有项得系数与；故。注意“各项系数与”与“二项系数与”得联系与区别；注意“减号”与“加号”得联系与区别。2 .若得展开式中所有奇数项得系数与为，求它得中间项。解：由题可知所有奇数项得系数与即为所有奇数项得二项式系数与为所以：，所以中间项第6,7项；所以：,o3 .在得二项式展开中，记含得奇次鬲得项之与为，当时，求？解：令，则；令得偶次幕得项之与为令,则；则：。题目如果改

7、为：时，得值呢?还就是要注意：奇次幕与偶次幕，对于取相反数得时候得影响。4 .若二项式中所有项得系数与为，所有项得系数得绝对值之与为，则得最小值为(B )解:所有项 得系数与即令，所以；所有项绝对值得与就就是要把系数就是负得变成正得，令，所以：；所以：。注意。5 .若展开式中各项系数绝对值之与为，则展开式中得一次项系数为？解：由上一题可知，尝试令，发现不可行，原式没有意义；发现与展开式中各项系数得绝对值相等；故得绝对值之与等价于得各项系数与；所以：令，；展开得通项公式：故得一次项系数为：o上述两个例题就就是求各项系数绝对值之与得两个思想。6 .得展开式中不含得项得系数与为？解:不含得项，可令；

8、则题目等价于得各项系数与；令,则。要消除，可以令。ai3 (x 1) a 14 ,则(D)7 .设多项式展开：(1 x)5(3 2x)9 ao(x I)14 ai (x I)13A.B、C、解:观察右边得形式：可令，则；此时，离目标多了一个；再令，则；所以：。8 .若，则得值为？解:观察所求得形式：令，则；再令，则；所以：。9 .已知就是函数图象得一条对称轴，则得为？解：由题意可知：；令,则；令,则；所以：。10 .若,则得值。解：发现要求得就是得奇数次幕得系数与；令,则；令,则；所以：。11 .设，求得值。解：(a。a2 a1) 2佝 加)？ 七”+ ai) (ao y 吃 2 ai);即：

9、12 .若，则得值。解：发现所求得式子分母中都有，所以:令,则：;令,则；所以：；又；所以：。13.已知则(D)A.B、C、D、解：发现求得形式，用常规得思想不好解，令不行;令也不行;再观察发现前面得系数，正好就是对应得得次数；所以两边都时求导，即：828_ (1 2x) 了 (a0 a,x a2xa8x )716(1 2x)a,2a2x8a8X此时，令，则：o14.若,则求得值。解：由上一题得解法，发现每个要求得前得系数正好就是对应得次数加1;联想到可求积分，即：(ao axa2014x2014a° x“20142014一 X2015则：；令,则;令,则；所以：。四、组合、整除1

10、.已知，则()A. B、C、D、解：二项式展开中得仅仅就是字母得表示，可以代表一个整体观察右边得形式，可以发现应该就是中得一个；所以。也可根据次数，直接定位出得值。2 .已知，则得值。解：由题意发现，得值与无关；且应该就是中得一个；所以：；所以。3 .将表示为，则二？解：由题意可知：应该就是中得一个 所以：；所以：。4 .展开式中得常数项为(C )A.B、C、D、解法一：由展开式得原理可知：要出现常数项，要么都就是常数，要么得次 数与为。所以：。解法二：把三项中得两项瞧成一个整体，再利用二项式展开定理进行展开所以通项为：；又展开得通项为：所以：得展开式为：（）所以常数项可能得情况为：或；故常数

11、项为：；解法三：；故展开式得通项为：；所以常数项为；O5 .得展开式中，项得系数为？解：由上题解法一思想：在9个括号中，分别去取项；则得系数为：。6 .求得值。（用含有得式子来表示）解:观察形势，发现与二项式展开得形式比较接近，但就是得次数不匹配所以 Cl 6c26nlCn J （Co 6Cn 62Cn6nC； 1）；6则可发现肯定就是中得一个；所以：；7 .证明：能被整除。解：要证明能被64整数，希望原来得式子化简完后每个因式都能被结合二项式展开定理得形式，希望中得一个为或得某个因子；J则；所以:;所以：；所以能被64整除。课后练习1 .求展开式中得系数。2 .求二项式得展开式中第几项为常数项，并求出常数项得值。第四项3 .若得展开式中，第5项为常数项，求得值。64 .展开式中各项系数绝对值之与。5 .求展开式中得系数。6 .在展开式中，只有第6项得二项式系数最大，则展开式中常数项为？7 .