生存模型与生命表

1、第三章 生存模型与生命表 一、关于生存模型T T0 0：一个刚出生的个体的寿命一个刚出生的个体的寿命00( ), ( ) (0),F tf tt 0000( ), ( ) ( ).F tP Ttf tFt下面引入生存分布概念。下面引入生存分布概念。 假定假定T T0 0的分布函数和密度函数的分布函数和密度函数 生存函数（或生存分布）生存函数（或生存分布）定义：寿命定义：寿命X X的生存函数（或分布）为的生存函数（或分布）为与分布函数的关系：与分布函数的关系：与密度函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在新生儿将在m m岁至岁至n n岁之间死亡的概率：岁之间死亡的概率：00( )P(), 0,)

2、StTtt00( )1( )S tF t 00( )( )ftSt 000Pr()( )( )( )nmmXnF nF mf t dt注：生存函数注：生存函数 的性质的性质0( )S t0( )110S0( )0,3Sxx 时。02( )Sx单调下降，右连续 例如：（例如：（1）一个）一个0岁的人在岁的人在50岁之后死亡的岁之后死亡的概率是概率是 ；（；（2）而在）而在60岁之前死亡的概率可表示成岁之前死亡的概率可表示成 00(50)(50)P TS00(60)(60)P XF000(5060)(60)(50)PXFF（3）而在）而在50岁到岁到60岁之间死亡的概率可表示为岁之间死亡的概率可表

3、示为一个刚出生的个体生存至一个刚出生的个体生存至x x岁，记此时的个体用符号岁，记此时的个体用符号(x)(x)表示，假设表示，假设x x为整数。个体为整数。个体(x)(x)的未来生存时间为的未来生存时间为一随机变量，记为一随机变量，记为 ，则，则 。又记又记 的整数部分为的整数部分为 ，小数部分为，小数部分为 则则xxxTKS0 xTTxxTxTxKxSx( )()xxF tP TtTx的分布函数：生存函数（生存分布）：密度函数：( )()1( )xxxS tP TtF t ( )( )( )xxxf tF tS t ( ),( )( )xxxF t S tf t和同时，同时， 的分布函数、生

4、存函数及密度函数分别用的分布函数、生存函数及密度函数分别用 表示。表示。xT0000000( )()()()()()( )1( )xxF tP TtP xTxt TxP xTxtP TxF xtF xF x0( )( )xF tF t与的关系：000000( )()()()()()( )xxStP TtP Txt TxP TxtSxtP TxSx0( )( )xS tS t与的关系：00()( )( )xSxtSxS t()( )( )( )( )xxx txx uS tuS tSuS uSt所以有，所以有，0( ),0tS tet其中其中 为参数，求为参数，求 。例例1 1 设生存分布函数为

5、设生存分布函数为0( )( )xxF tf t和00()( )11( )( )( )1.txtxxtSxtF teSxf tF tee 解：1 1） 个体个体(x)(x)在在x+1x+1岁仍然生存岁仍然生存的概率；被称为的概率；被称为生存概率生存概率。 (1)(1)xxxpSP T注明注明 从定义中可以看出：从定义中可以看出：1xxpq (1)(1)xxxqFP T2 2） 个体个体(x)(x)在未来一年内死亡在未来一年内死亡的概率；的概率； 称为称为死亡概率死亡概率。 （一）未来一年的生存与死亡概率（一）未来一年的生存与死亡概率1 1） : : 个体个体(x)(x)活过年龄活过年龄x+tx+

6、t岁的概率，即岁的概率，即(x)(x)至少再至少再活活t t年的概率；年的概率； xtp2 2） : : 个体个体(x)(x)未来未来t t年内死亡的概率；年内死亡的概率； xtq3 3） : : 个体个体(x)(x)在年龄段（在年龄段（x+u,x+u+tx+u,x+u+t死亡的概率，死亡的概率，即即(x)(x)活过活过x+ux+u岁，但在接下来的岁，但在接下来的t t年内死亡的概率。年内死亡的概率。特别地，特别地， | u txq注明注明 从定义中可以看出：从定义中可以看出：( )(); ( )()txxxtxxxpS tP TtqF tP Tt（二）未来任意期限内的生存与死亡概率（二）未来

7、任意期限内的生存与死亡概率|1=.uxuxqq定理定理1 1 （1 1）生存概率）生存概率（2 2）对）对 生存概率与死亡概率有如下生存概率与死亡概率有如下的关系：的关系：0,0,tu00()( )txSxtpSx|1, , txtxt uxtxux tuxtx uu txuxtx uu txuxu txqpPppppqpqqpp th 0txhxt hx hppp定理证明定理证明: : (1)(1)()1()1;txxxtxqP TtP Ttp (2)(2)由由 的定义可知的定义可知txq()Pr()Pr()( )txxs xtpTtXxt Xxs x又由条件概率公式，有又由条件概率公式，有

8、|()()(|)u txxxxxqP uTtuP TuP Ttu Tu ()();xx uuxtx uP TuP Ttpq|(,)()()u txxxxxuxt uxqP Ttu TuP TuP Ttupp （3 3）对）对 ，th 0()()(|)txxxxxhxt hx hpP TtP ThP Tt Thpp(,)()|)()()()xxxxxxxP Tt ThP TtThP ThP TtP Th例例2 2 已知生存函数已知生存函数 计算计算 和和 。1/20( )(1),0100100 xSxx17191536, pq15|1336q解解: :001719000153615360(17

9、19)(36)8(19)(19)9(51)71111(36)88SSpSSSqpS 015|13361536135115360(64)1(1)(1)(51)8SqpqqS例例3 3已知已知1818岁的小王，再生存岁的小王，再生存1010年的概率为年的概率为0.950.95，再生存，再生存3030年的概率为年的概率为5.则其现年则其现年2828岁岁在在4848岁之前的死亡概率为。岁之前的死亡概率为。解解: :已知已知101830180.950.75pp，202820280.751-10.21050.95qp 30181018 2028ppp第二节第二节 死亡力（或死亡效力）死亡力

10、（或死亡效力）寿命寿命X X的瞬时死亡率（或死亡力（度）的瞬时死亡率（或死亡力（度） 定义为定义为x00( ), (0,)1( )xfxxF x当当 为连续函数时，有下面关系式成立，即为连续函数时，有下面关系式成立，即0( )fx000000(|)()limlim()ttP xTxt TxP xTxttP Txt 0000000000( )( )1limlim1( )1( )( )1lim, 1( )1( )1( )xtxtxxttotf u duf u duF xtF xttfxxtF xtfxF x 00000( )( )lim1( )1( )xtxxtf u duf xF xtF x 注

11、：注：（1 1）从以上关系式可以把从以上关系式可以把 解释为一个活到解释为一个活到x x岁岁的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概率）。xx000,.xxxdx ，（2 2） 应满足的条件：应满足的条件：死亡力、密度函数及生存函数三者关系：死亡力、密度函数及生存函数三者关系：00( )( )xfxSx定理定理 和和 可由死亡力函数表示，即可由死亡力函数表示，即0( )Sx0( )f x0000( ), ( )xxttdtdtxSxefxe定理证明定理证明：由死亡力的定义可知：由死亡力的定义可知0000( ), ( )( )( )lnxxxSxfxFxSx

12、S 00(0)1, (0)(0)( )1)SSP tP 解这个微分方程可知，存在常数解这个微分方程可知，存在常数C C，使得满足，使得满足取取x=0,x=0,则则00 ln( )xuSxduC 将这个关系式代入到将这个关系式代入到 ，可得，可得00( ). xuduxfxe00( )( )xfxSx所以当所以当x x=0=0时，时，C C=0=0，由此可知，由此可知00) (xuduSxe0( ).tx sdsxSte00()( );( )xfxtftSx( )( )xxx ttxx tf tS tp000()(2)( ).( )x ttsx sxdsdsxSxtSteeSx000000()(

13、1)( )1( )1( )()( )( )()( )( );xxxxfxtftFtSxSxtF tStSxSxtSx 000000(3)( )( ),()( ),( )( )( )xxxxx ttxx tfxSxSxtS tf tSxSfxttpSx证明：0010(1)( )( ) d(2)(),exp()dtttxxxsxx sxsxx sx ttxtxx ttxsxqF tfs dspdsqpdspppdst 特别地，即0(2)( )tx sdsxSte证明：由，对t求导可得，d()dtxtxx tppt ，exp()x ttxsxpds即。三个函数之间转换的例子三个函数之间转换的例子求生

14、存分布和死亡力。求生存分布和死亡力。例例4 4 设密度函数为设密度函数为01( ), (0, )f ttww0000001( )( )( )1 ( )tttF tf u duduwwwtS tF tw 根据死亡力函数的定义，对根据死亡力函数的定义，对 ，00( )11 ( )tf tF twt(0,)tw0 ( ), 0tS tet例例5 5 设生存分布为如下形式，即服从指数分设生存分布为如下形式，即服从指数分布（其中布（其中 为参数）为参数）0求出相应的死亡力。求出相应的死亡力。00( )( )tttSteSte00(0,),()()( )11( )xtwxwxtSxtwF twxSxw 解

15、：对由例1的结果有下面求下面求x x岁个体的分布函数和密度函数。岁个体的分布函数和密度函数。例例6 6 设密度函数为设密度函数为01 ( ), (0, )f ttww( )1xwtxtF twxwx ( )( )1xxtf tF twxwx例例7 7 已知当已知当 时，时， 计算计算 和和 。0.01x2|222 q520p2030 x002|22222222400(24)(26)(1)0.0196(22)(24)SSqpqSS00520(25)0.9512(20)SSp00.010(30)20 xtdtxxSxee解：）0.90.9( )1095( )950,=0.06Z.xxtf t 例8

16、 设的未来寿命的密度函数为，其他利息力， 保额为一个单位的终身寿险的现值随机变量为 ，求满足P(Z)=0.9的分位数1329( )( )( )+ ( )0,75( )S xxxxs xS x例设是生存函数，函数且则生存函数的极限年龄 为多少？提出者提出者参数的要求参数的要求De Moivre（1729）Gompertz（1825）Makeham（1860）Weibull（1939）x0( )Sx1() xxBCnkxxABC00,1BC0,1BAB C 0,1kn,log( )1BkmuCn其中练习：1、验证函数 可作为生存函数，并给出对应的死亡力，T0的密度函数与分布函数.2、设3、设420

17、( ),0 xSxex5,0,( ),( ),( ).1xxxxxS tf tF tx求2,0,( ),( ).x txxttf tF t求4 已知生存函数 计算 和 。0100( ),010012xSxx17191536, pq(36)017( )100,0100.101936sxxx、已知则年龄为岁的人在岁至75岁之间死亡的概率。00T/100,0100( )1,1003050ttF tt 6、已知 的分布函数为求新生婴儿在岁和岁之间死亡的概率。0.3555510158( )0.3,0.xfxexq、已知求520108,.100 xxq、已知求第三节第三节 生命期望值生命期望值定义（两个期

18、望生存时间）定义（两个期望生存时间） 其中，前者为其中，前者为(x)(x)个体寿命的期望值（个体寿命的期望值（完全生完全生命期望值命期望值），后者为（），后者为（x x）个体生存整年数的）个体生存整年数的期望值（期望值（简单生命期望值简单生命期望值），且两者之间满足），且两者之间满足不等式不等式(), xxxxeE TeE K1xxxeee下面讨论这两个期望值的具体表达式：下面讨论这两个期望值的具体表达式：xTxKxexe010( ), ( )xxxneS t dteS n2210()2( ), ()(21)( )xxxxnE TtS t dtE KnS n10()( ), nnxxE Tnt

19、S t dt()nxE T ( )(), ( )()xxxxS tP TtF tP TtxT101()()nxxxnneP Kt dtP Kt dt定理的证明：定理的证明：（1 1）由于）由于 ，利用前述补充定理可得，利用前述补充定理可得00()()( )xxxxeE TP Tt dtS t dt()xE T 又由于假定又由于假定 是连续型随机变量，故在单点上是连续型随机变量，故在单点上的概率等于的概率等于0 0，即，即()0,0,1,.xP TnnxT11111111(1)()()()()( )nnxxnnnnxxxnnnxnP KndtP KndtP KnP TnP TnS n（2 2）2

20、00()2()2( )xxxE TtP Tt dttSt dt21111111221111()2()2()2()2()( )2( )(1) (21)( )nnxxxnnnnnxxnnnnnxxxnnnnE KtP Kt dttP Kt dttP Tn dttP Tn dtS ntdtS n nnnS n定理得证。定理得证。例例8 8 设密度函数为设密度函数为 ，计算计算01( ), (0,)fttwwo200()eE T和00( ) 1( ),(0, )w tS tF ttww o00002200001( ),21()2( )23wwwteSt dtdtwwwtE TtSt dttdtww例例

21、9 9 设设 ，计算，计算 。5, 01xxx00,var(0)eeK和解解500055ln(1)|ln(1)105( )(1)xxxududuuxuSxeeeex4000055001101(1)11( );( )(1)5 14(1)nnxeSx dxdxeS nxn 20511(21)(0) )(21)( )(1)nnnE KnS nn22205121var(0)(0) )(0)(1)nnKE KE Ken3X( ),0.()90s xaxbxkE X例10设某随机变量 的生存函数为：若，则求Var(X)。1125DeMoivre=100例刘先生今年岁，死亡服从规则，若他下一年从事登山运动，

22、则他的死亡假设在下一年内变为常值死亡0.12，则若从事登山运动，他在11年内的预期寿命将减少多少？11, (1)xxxxxxxep epppP Td()(); dtxtxxx tppxdx tuxutxpeddd()(d )ddx tuxux ttxuxpeuxx()|x ttxuxtxxx tpp 11,1sxxsxppps111111101111()(1)xsxxsxxsxsssxxsxxxsepppppppppe1xxxxep ep , 1)xx1 xxp p10 xxxpqp 1 , )x1xexp1xxepxxxxpepe11.1. 试说明生存函数所应满足的条件为：试说明生存函数所应满足的条件为：)0)(3)( )21)0( ) 1时（）连续；是单调递减函数，且又；xxsxss解解 事实上，由分布函数的性质和分布事实上，由分布函数的性质和分布函数与生存函数之间的关系直接可导出：函数与生存函数之间的关系直接可导出：011)(lim1)(lim1)()(limxFxsPXPxFXxxXx101)0(1)0(1)0(0XPFsxX又因为又因为 是单调不减且左连续函数，所是单调不减且左连续函数，所以以 是单调下降且又连续函数。是