理论力学第2版11质点动力学基本方程

1、1动动 力力 学学已知运动求力已知运动求力动力学：动力学： 研究力与运动之间的关系研究力与运动之间的关系 动力学第动力学第类问题：类问题： 已知力求运动已知力求运动动力学第动力学第类问题：类问题： 第十一章第十一章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程一、质点动力学基本方程一、质点动力学基本方程 amF FiFF为作用于质点上的合力，即为作用于质点上的合力，即a其中，其中，m 为质点质量、为质点质量、为质点加速度、为质点加速度、2amF 3）仅适用于单个质点。）仅适用于单个质点。说明：说明： 1）在国际单位制中，）在国际单位制中，m 的单位为的单位为 kg 、a 的单位为的单位为 m / s2

2、、F 的单位为的单位为N ；2）成立于惯性参考系（即相对于地球静止或作匀速直线）成立于惯性参考系（即相对于地球静止或作匀速直线平移的参考系）；平移的参考系）；3二、直角坐标形式的质点运动微分方程二、直角坐标形式的质点运动微分方程 2222ddddddddxixxyi yyvxFmammttvyFmammtt4三、自然坐标形式的质点运动微分方程三、自然坐标形式的质点运动微分方程 2tt22nnddddiivsFmammttvFmam5四、求解动力学问题的一般步骤四、求解动力学问题的一般步骤 1）选取研究对象；）选取研究对象；2）受力分析；）受力分析；3）运动分析；）运动分析；4）建立动力学方程；

3、）建立动力学方程；5）解方程，求出未知量。）解方程，求出未知量。60am例例1 图示小车以等加速度图示小车以等加速度 a0 沿平直路面行驶，车厢内用一细绳悬沿平直路面行驶，车厢内用一细绳悬挂一质量为挂一质量为 m 的小球。试求绳的倾角的小球。试求绳的倾角 以及绳中的张力以及绳中的张力。 7例例2 如图，质量为如图，质量为 m 的质点在的质点在 Oxy 平面内运动平面内运动, 已知其运动轨已知其运动轨迹为一椭圆，直角坐标系形式的运动方程为迹为一椭圆，直角坐标系形式的运动方程为cossinxatybt其中其中 a、b 和和 均为常数。试求小球在均为常数。试求小球在 Oxy 平面内所受的力。平面内所

4、受的力。 解：本题为动力学第一类问解：本题为动力学第一类问题，即已知质点的运动，求题，即已知质点的运动，求作用于质点上的力。作用于质点上的力。8取小球为研究对象。对其运动方取小球为研究对象。对其运动方程求导两次，可得小球的加速度程求导两次，可得小球的加速度在直角坐标轴上的投影在直角坐标轴上的投影 22cossinxyaxataybt 根据直角坐标形式的质点运动微分方程，即有根据直角坐标形式的质点运动微分方程，即有2sinyFmbt 2cosxFmat ixxFma:iyyFma:cossinxatybt92sinyFmbt 2cosxFmat 故得小球在故得小球在 Oxy 平面内所受的平面内所

5、受的力的矢量表达式为力的矢量表达式为2cossinxyFFmatbt Fijij2mxy ij2m r可见，力可见，力 F 的方向与矢径的方向与矢径 r 相反，即力的方向恒指向椭圆中心相反，即力的方向恒指向椭圆中心rF这种力称为有心力。这种力称为有心力。O ，10例例3 如图，从某处抛射一质量为如图，从某处抛射一质量为 m 的物体，已知初速度为的物体，已知初速度为 v0 ；抛射角，即初速度抛射角，即初速度 v0 对水平线的仰角为对水平线的仰角为 。若不计空气阻力，试。若不计空气阻力，试求物体的运动方程和轨迹方程。求物体的运动方程和轨迹方程。Oxy解：本题属于动力学解：本题属于动力学第二类问题，

6、即已知第二类问题，即已知力求运动。力求运动。建立图示直角坐标系，建立图示直角坐标系，受力分析受力分析0mx ixmxF:iymyF:mymg 根据质点运动微分方程，有根据质点运动微分方程，有运动分析运动分析mgv0v11Oxy0mxmymg 积分两次，得到积分两次，得到 1322412xC tCygtC tC 根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程为根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程为 020cos1sin2xvtyvtgt从运动方程中消去时间参数从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程为，即得物体的轨迹方程为2220tan2cosgyxxv可见，其轨迹为抛物

7、线可见，其轨迹为抛物线 12例例4 摆动输送机由曲柄带动货架摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为输送质量为 m 的木箱。已知的木箱。已知两曲柄的长度两曲柄的长度 O1A = O2B = 1.5 m、O1O2 = AB ；在；在 = 45处，输处，输送机由静止开始启动，曲柄送机由静止开始启动，曲柄 O1A 的初角加速度的初角加速度 0 = 5 rad/s。若启。若启动时木箱与货架间没有相对滑动，试确定木箱与货架间静摩擦因动时木箱与货架间没有相对滑动，试确定木箱与货架间静摩擦因数的最小值。数的最小值。 mBA1O2O0解：解： 研究木箱。木箱与货架研究木箱。木箱与货架AB 一起作曲线平移，故

8、可将一起作曲线平移，故可将木箱视为质点木箱视为质点受力分析受力分析mgNFsF13mgNFsFmBA1O2O0运动分析运动分析t0AAaaalAaa建立直角坐标系，建立直角坐标系，xy0scosmlFxixmaF:0NsinmlFmgyiymaF:又有又有ssN Ff F0s0cos0.35sinlfgl 联立解得联立解得smin0.35f所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值运动微分方程，有运动微分方程，有根据质点根据质点14例例5 桥式起重机上跑车悬吊一质量为桥式起重机上跑车悬吊一质量为 m 的重物，沿水平横梁以速度的重物，沿水平横梁以速度 v0 作匀速运

9、动，重物的重心至悬挂点的距离为作匀速运动，重物的重心至悬挂点的距离为 l 。由于突然刹车，重。由于突然刹车，重物因惯性绕悬挂点物因惯性绕悬挂点 O 向前摆动，试求钢绳的拉力随摆角向前摆动，试求钢绳的拉力随摆角 的变化规律，的变化规律，并求钢绳的最大拉力。并求钢绳的最大拉力。解：解： 研究重物研究重物受力分析受力分析运动分析运动分析:运动轨迹为以运动轨迹为以悬挂点悬挂点 O 为圆心、为圆心、l 为半径为半径的圆弧。的圆弧。选取自然坐标系，选取自然坐标系， 根据质点运动微分根据质点运动微分方程，有方程，有 tt imaF:nnimaF:sinmsmg 2TcossmFmglmgTFnOls152TsincosmsmgsmFmgl 解方程，并带入初始条件，解方程，并带入初始条件，得钢绳拉力为得钢绳拉力为mgTFnOls20T3cos2mvFmgl20TmaxvFmgml此时，钢绳拉力有两部分：此时，钢绳拉力有两部分： 因重物重量引起的静拉力因重物重量引起的静拉力 mg ；当当 = 0 ，即，即在初始