物理学毕业论文-线性动、非线性受迫振动及混沌效应

1、线性动、非线性受迫振动及混沌效应在这里我研究线性与非线性的单摆的运动, 对于存在阻尼及外力情况下, 将线性系统与非线性系统的振动情况作一比较, 从而了解非线性系统在某些临界状态时混沌现象.1 存在阻尼时的线性线性受迫振动对于线性系统, 根据牛顿第二定律得系统振动方程 (1)其中为外驱动力频率,、为系统参数.1.1 不存在阻尼及外驱动力假定, 此时系统作简谐振动.假定初始位移和初始速度分别为, .位移、速度与时间的关系如图1、图2. 这里质点作纯粹的简谐振动.对于简谐振动建立相同的函数程序: 程序1function Q=funxz(t,x,w0,b,f0,w)Q=x(2);-w02*x(1)-2

2、*b*x(2)+f0*cos(w*t);图1计算程序:clearw0=1*pi;b=0.0;f0=0.0;w=0*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:10,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color

3、','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图2计算程序:clearw0=

4、2*pi;b=0.0;f0=0.0;w=0*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:10,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,&#

5、39;xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图1对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图2对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线. title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'col

6、or','r') %设置标题1.2 存在阻尼但不存在外驱动力假定, 此时系统振幅很快衰减为0.假定初始位移和初始速度分别为, .位移、速度与时间的关系如图3、图4. 注意此时振动在时振动基本停止.图3计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=0.0;w=0*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant',

7、'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacemen

8、t versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图4计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=0.0;w=0*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,2),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel(

9、'fontsize18fontnameTime New Romanv', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图3对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图4对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线

10、. title('Linear vibration speed versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题1.3 存在阻尼及外驱动力时的情况假定,假定初始位移和初始速度分别为, . 此时系统固有振动的影响在时很快衰减为0. 位移、速度与时间的关系如图5、图6.在时基本以外驱动力的作用为主.图5计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20.0;w=1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(

11、:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid&#

12、39;,'on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图6计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20.0;w=1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,2),'-b','LineWidth&#

13、39;,2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanv', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyl

14、e','-')图5对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图6对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线. title('Linear vibration speed versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题1.4 存在外驱动力、阻尼为零时的情况假定,假定初始位移和初始速度分别为, .位移、速度与时间的关系如图7、图8. 由于不存在阻尼且外驱动力与固有频率相同, 位移、速度随时间均线性增大, 产生共振

15、效应.图7计算程序:clearw0=1*pi;b=0.0;f0=20.0;w=1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k'

16、;)grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图8计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20

17、.0;w=1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,2),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanv', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid',&

18、#39;on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图7对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图8对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线. title('Linear vibration speed versus time','fontsize',18,'color','r') %

19、设置标题title('Linear vibration speed versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题1.5 存在阻尼及外驱动力并且频率不同时的情况假定,假定初始位移和初始速度分别为, .位移、速度与时间的关系如图9、图10. 由于阻尼及外驱动力同时存在, 并且外驱动力频率与固有频率不同, 位移、速度随时间在固有振动影响消失后基本上以外驱动力的频率振动.图9计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20.0;w=1.1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0

20、.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyl

21、e','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图10计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20.0;w=1.1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);p

22、lot(t,x(:,2),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanv', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'

23、;ygrid','on','GridLineStyle','-')图9对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图10对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线. title('Linear vibration speed versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题假定,假定初始位移和初始速度分别为, .位移、速度与时间的关系如图11、图12. 外驱动力的频率与固有频率相差

24、变大时, 在固有频率参与振动期间, 位移、速度与时间的关系变的相对复杂.图11计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20.0;w=1.5*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Rom

25、anx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图11对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图12对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线. title('Linear vibration dis

26、placement versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图12计算程序:clearw0=1*pi;b=0.2;f0=20.0;w=1.5*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,2),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k&

27、#39;)ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanv', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration speed versus time','fontsi

28、ze',18,'color','r') %设置标题1.6 阻尼为零及外驱动力频率不同时的情况图13对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图14对于线性系统, 系统参数为, ,初始条件为,时的速度与时间的关系曲线. 假定,假定初始位移和初始速度分别为, .位移、速度与时间的关系如图13、图14. 由于不存在阻尼, 固有振动始终参与振动, 但固有振动频率与外驱动力的频率不同, 振动表现为拍振动.图13计算程序:clearw0=1*pi;b=0.0;f0=20.0;w=1.1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.00

29、1:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle&#

30、39;,'-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题图14计算程序:clearw0=1*pi;b=0.0;f0=20.0;w=1.1*pi;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,1.0 0.0, , w0,b,f0,w);plot

31、(t,x(:,2),'-b','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanv', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'yg

32、rid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration speed versus time','fontsize',18,'color','r') %设置标题2 线性与非线性振动比较对于线性系统, 根据牛顿第二定律得系统振动方程对于线性系统, 上述方程左端的第三项改为, 根据牛顿第二定律得系统振动方程 (2)下面我们分别不同情况比较线性与非线性系统的差别.1.1 存在阻尼及外驱动力假定,假定初始位移和初始速度分别为, . 对

33、于线性系统与非线性系统,工程位移与时间的关系如图13、图14所示. 非线性系统与线性系统比较, 发现非线性系统的振幅比线性系统的振动振幅大。 但两者的振动均可预见。对于非线性系统, 函数文件程序1应改为程序2:function Q=funfxz(t,x,w0,b,f0,w)Q=x(2);-w02*sin(x(1)-2*b*x(2)+f0*cos(w*t);图13计算程序(线性系统):clearw0=1.0;b=0.25;f0=0.9;w=0.6667;t,x=ode45(funxz,0:0.001:50,0.0 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b&#

34、39;,'LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on

35、9;,'GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r') 图14计算程序(非线性系统):w0=1.0;b=0.25;f0=0.9;w=0.6667;t,x=ode45(funfxz,0:0.001:80,0.0 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t,x(:,1),'-b','LineWidth',2)xlabel(&

36、#39;fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-&

37、#39;)图15对于线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图16对于非线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. title(' Nonlinear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')1.2 加大外驱动力时的情况如果我们将系统参数改变成, 而保持其它参数与图15、图16一样. 而初始条件仍然分别取、和, 线性系统与非线性系统的振动曲线如图17、图18所示. 其中初始位移分别为的位移与时间的关系

38、曲线分别使用蓝、红、黑实线绘制. 我们发现此时对于线性系统三条线完全重合在一起, 只能看到最后绘制的黑色曲线, 而非线性系统初始位移不同时, 开始还重合, 但随时间的推移逐渐分离, 并且未来的走向不可预见. 对于初始状态发生微小改变而使得结果完全不同的情况说明非线性系统进入混沌状态. 图17计算程序:clearw0=1.0;b=0.25;f0=1.79;w=0.6667;t1,x1=ode45(funxz,0:0.001:80,0.000 0.2, , w0,b,f0,w);t2,x2=ode45(funxz,0:0.001:80,0.001 0.2, , w0,b,f0,w);t3,x3=o

39、de45(funxz,0:0.001:80,-0.001 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t1,x1(:,1),'-b',t2,x2(:,1),'-r',t3,x3(:,1),'-k','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k

40、')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')图18计算程序:clearw0=1.0;b=0.25;f0=1.7

41、9;w=0.6667;t1,x1=ode45(funfxz,0:0.001:80,0.000 0.2, , w0,b,f0,w);t2,x2=ode45(funfxz,0:0.001:80,0.001 0.2, , w0,b,f0,w);t3,x3=ode45(funfxz,0:0.001:80,-0.001 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t1,x1(:,1),'-b',t2,x2(:,1),'-r',t3,x3(:,1),'-k','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontn

42、ameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图17对于线性系统, 系统参

43、数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图18对于非线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. title(' Nonlinear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')1.3 阻尼为零时的情况如果我们将系统参数改变成, 而初始条件仍然分别取、, 和, 而保持其它参数与图17、图18一样. 线性系统与非线性系统的振动曲线如图19、图20所示. 其中初始位移分别为的位移与时间的关系曲线分别使用蓝、红、黑实线绘制. 我们

44、发现此时对于线性系统三条线同样完全重合在一起, 只能看到最后绘制的黑色曲线, 而非线性系统初始位移不同时, 开始还重合, 但随时间的推移逐渐分离, 并且未来的走向不可预见. 这说明此时非线性系统进入混沌状态.图19计算程序:clearw0=1.0;b=0.0;f0=1.79;w=0.6667;t1,x1=ode45(funxz,0:0.001:80,pi+0.000 0.2, , w0,b,f0,w);t2,x2=ode45(funxz,0:0.001:80, pi+0.001 0.2, , w0,b,f0,w);t3,x3=ode45(funxz,0:0.001:80, pi-0.001 0

45、.2, , w0,b,f0,w);plot(t1,x1(:,1),'-b',t2,x2(:,1),'-r',t3,x3(:,1),'-k','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgri

46、d','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')图20计算程序:clearw0=1.0;b=0.0;f0=1.79;w=0.6667;t1,x1=ode45(funfxz,0

47、:0.001:80,pi+0.000 0.2, , w0,b,f0,w);t2,x2=ode45(funfxz,0:0.001:80,pi+0.001 0.2, , w0,b,f0,w);t3,x3=ode45(funfxz,0:0.001:80,pi-0.001 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t1,x1(:,1),'-b',t2,x2(:,1),'-r',t3,x3(:,1),'-k','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant'

48、, 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图19对于线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线.

49、 图20对于非线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. title(' Nonlinear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')1.4 增加阻尼、减小外驱动力时的情况如果我们将系统参数重新改为原来的, 外驱动力从减小为. 而初始条件仍然分别取、, 和, 保持其它参数与图19、图20一样. 线性系统与非线性系统的振动曲线如图21、图22所示. 其中初始位移分别为的位移与时间的关系曲线分别使用蓝、红、黑实线绘制. 我们发现此

50、时对于线性系统与非线性系统三条线同样完全重合在一起, 只能看到最后绘制的黑色曲线, 并且未来的走向是可预见的. 这说明此时线性与非线性系统均为稳定状态.图19计算程序:clearw0=1.0;b=0.25;f0=0.9;w=0.6667;t1,x1=ode45(funxz,0:0.001:80,pi+0.000 0.2, , w0,b,f0,w);t2,x2=ode45(funxz,0:0.001:80, pi+0.001 0.2, , w0,b,f0,w);t3,x3=ode45(funxz,0:0.001:80, pi-0.001 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t1,x1(

51、:,1),'-b',t2,x2(:,1),'-r',t3,x3(:,1),'-k','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k')ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','Gri

52、dLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')title('Linear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')图20计算程序:clearw0=1.0;b=0.25;f0=0.9;w=0.6667;t1,x1=ode45(funfxz,0:0.001:80,pi+0.000 0.2, , w0

53、,b,f0,w);t2,x2=ode45(funfxz,0:0.001:80,pi+0.001 0.2, , w0,b,f0,w);t3,x3=ode45(funfxz,0:0.001:80,pi-0.001 0.2, , w0,b,f0,w);plot(t1,x1(:,1),'-b',t2,x2(:,1),'-r',t3,x3(:,1),'-k','LineWidth',2)xlabel('fontsize18fontnameTime New Romant', 'Color','k'

54、;)ylabel('fontsize18fontnameTime New Romanx', 'Color','k')grid onset(gca,'xgrid','on','GridLineStyle','-')set(gca,'ygrid','on','GridLineStyle','-')图21对于线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. 图22对于非线性系统, 系统参数为 ,初始条件为,时的位移与时间的关系曲线. title(' Nonlinear vibration displacement versus time','fontsize',18,'color','r')1.5 增加外驱动力时的情况如果我们将外驱动力从增加为. 而初始条件仍然分别取、, 和, 保持其它参数与图21、图22一样. 线性系统与非线性系统的振动曲线如图23、图24所示. 其中初始位移分别为的位移与时间的关系曲线分别使用蓝、红、黑