材力第5章：截面的几何性质

1、第5章 截面的几何性质 5-1 截面的静矩和形心位置设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。AySAxSAxAydd1. 静矩（或一次矩）静矩（或一次矩）( (常用单位：常用单位： m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可为正、负或。值：可为正、负或 0 0 。）。）2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）AAyyAAxxAAd dOxdAyyxCxyAAyyAAxxAAd d3. 静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系yASxASxy 结论：截面对形心轴的静矩恒为结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。，反之，亦然。4.

2、 组合截面的静矩组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和: :niiixniiiyyASxAS11 形心坐标）个简单图形的面积及其分别为第和iyxAiii,(5. 组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式yASxASxy niiixniiiyyASxAS11 将将代入代入解得组合截面的形心坐标公式为：解得组合截面的形心坐标公式为：niiniiiniiniiiAyAyAxAx1111 （注：被（注：被“减去减去”部分图形的面积应代入负值）部分图形的面积应代入负值

3、）例例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴轴的静矩。的静矩。 解：解： 取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d 因此所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAxOxyb ( y )yd yhb例例 试计算图示截面形心试计算图示截面形心C的位置。的位置。解：将截面分为解：将截面分为1、2两个矩形。两个矩形。建立坐标系如图示。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：各矩形的面积和形心坐标如下：mm602120mm5210mm120012010 1121yxAmm521

4、0mm4527010mm7007010 2222yxAOxyy112010 xx8010yC ( y ,x )矩形矩形I矩形矩形II代入组合截面的形心坐标公式代入组合截面的形心坐标公式21212121 iiiiiiiiiiAyAyAxAx解得：解得：mm40mm20yx 52 极惯性矩 惯性矩 惯性积 设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）AIAd2p2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）AyIAxIAxAydd22（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)222xy 由于所以所以IIAxyAIyxAAd

5、)(d222p（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） OxyyxdA3. 惯性积惯性积AxyIAxyd（其值可为正、负或（其值可为正、负或0，单位单位:m4 或或 mm4)截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0 0。结论：结论：4. 4. 惯性半径惯性半径AIiAIixxyy（单位（单位m 或或 mm）OxyyxdA例例 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和和y

6、的惯性矩。的惯性矩。 解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理同理123hbIyyhCx dyyb(a) 若截面是高度为若截面是高度为h的平行的平行四边形（图四边形（图b），则其对形心），则其对形心轴轴x 的的惯性矩惯性矩同样为同样为123bhIxhxyb(b)C例例 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。惯性矩。 xdyyx解：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，IIyz所以所以IIIyxp由于所以所以6424pdIIIyz5-3 惯性矩和惯性积的平移

7、轴公式1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的任意形状的截面。C为其形心，为其形心，Cxcyc为形心坐标为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为的任意坐标系为Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元任意微面元dA在两坐标系在两坐标系下的坐标关系为：下的坐标关系为：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyxAaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIc

8、xx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此为此为平行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。思考思考：O为直角三角形为直角三角形ABD斜边上的中点，斜边上的中点，x、y轴为轴为过点过点且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案积和惯性矩有四种答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正确答案是正确答案是(C)xABDyOab5-4 惯性矩和惯性积的

9、转轴公式组合截面的惯性矩和惯性积截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和新坐标系和新坐标系ox1y1的关系为：的关系为：sincossincos11xyyyxx代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：AyIAxd211xyOxyxy11ABCDEdAxy11cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221xyyxAAAxIIIAxyAxAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos2211

10、11xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII注：注：上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时逆时针为正，顺时针为负。针为正，顺时针为负。yxyxIIII11（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得思考：等腰直角三角形如图所示，思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中的任意

11、一对坐标轴（即图中 为任意值），该图形的为任意值），该图形的: :(1)(1)惯性积惯性积Ixy (2)(2)惯性矩惯性矩I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 2.2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某组合截面对于某轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一等于其各组成部分对于同一轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）之和之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1 由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，由惯性积的转轴公式可知

12、，当坐标轴旋转时，惯性积将随着惯性积将随着 角作周期性变化，且有正有负。因此，角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度必有一特定的角度 0，使截面对于新坐标轴，使截面对于新坐标轴x0、y0的的惯性积等于零。惯性积等于零。3.3.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1) 主惯性轴主惯性轴: :截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2) 主惯性矩主惯性矩: :截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4) 形心主惯性矩

13、形心主惯性矩: :截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。(5)确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则的角度，则由由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin200 xyyxIII可改写为可改写为yxxyIII22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限）(5) 由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，后，再代入再代入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式 ，

14、化简后可得，化简后可得主惯性矩的主惯性矩的计算公式：计算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120极大值Imax极小值Imin(6) 几个结论几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴

15、，且主惯性矩相等。画出下列图形形心主惯性轴的大致方位CCCCCCC例例 求图示直径为求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴xc的形心主的形心主惯惯性矩。性矩。解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移轴公式得：平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc例例 试求图试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的形心主的形心主惯

16、性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3p（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：

17、惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII例例 试计算组合截面的形心主惯性矩试计算组合截面的形心主惯性矩Ixc. 解：（1）求截面形心位置： mmy67.4620100201400201008020140_（2）求个简单截面对形心轴的惯性矩： 46232462311043. 41002067.46201001211068. 714020)67.4680(14020121mmImmIxcxc（3）求整个截面的惯性矩： 4666211011.121043. 41068. 7mmIIIxcxcxc例例 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d

18、)解： 建立坐标系如图。求形心位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy dddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222ppdb2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1)5 . 0(212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圆圆矩矩圆矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1dddddddddpp443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIxCxCyCp圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴yCxCCxCyCIIyxI、 C 0例： 求图示截面的形心主惯性矩。250125125500120580解：截面显然为一对称截面，对称轴即为形心主惯性轴(y轴)，找到形心，则过形心与y轴垂直的轴即为另一根形心主轴。(1) 求形心位置将截面分为、两部分，x1轴与下底边重合，根据形心与静矩的关系：25012512550