第五章误差椭圆

1、编辑ppt1 误差理论与测量平差误差理论与测量平差主 编：夏春林副 主 编：钱建国、张恒璟参 编：李伟东、文晔编写高校：辽宁工程技术大学 吉林建筑大学 大连理工大学城市学院第第5章章 误误 差差 椭椭 圆圆【学习要点及目标】了解点位误差的基本概念；熟悉点位误差计算步骤与方法；熟悉误差曲线、误差椭圆、相对误差椭圆的计算步骤。编辑ppt35.1 点位误差概述点位误差概述平面控制测量的目的是确定待定控制点的一对平面直角坐标。由于观测值总是带有误差，因而根据观测值，通过平差计算所得的是待定点的最或然坐标x、y，并不是其坐标真值、。如图5-1所示，P为某待定点的真实位置，为平差计算所求得的最或然点位，那

2、么点相对P点的偏移量就是P点的点位真误差(简称真位差)。在x、y坐标轴上的投影分别为xxxyyy(5-1) 编辑ppt45.1 点位误差概述点位误差概述由图5-1可知5-2图5-1 点位真误差编辑ppt5,5.1 点位误差概述点位误差概述P点的最或然坐标x、y都是由同一组观测值通过平差计算所求得的。设平差后的坐标x、y与观测值向量之间的线性函数关为 0=+xL0=+yL显然，随着观测值的不同，x和y也将取得不同的数值。换言之，对应于不同的子样观测值，将得到不同的x、y值，因 而就出现不同的 xyP所以它们都是随机变量。对该函数关系取数学期望，得值0000( )+()+()+()+E x =E=

3、 xEy =E= yLLLL编辑ppt6根据方差的定义，并顾及式(5-1)，则有5.1 点位误差概述点位误差概述对式(5-2)两边取数学期望，得22222222( ) () ()( ) () ()xyExE xExxExEyE yEyyEy22222()()()xyEPExEy式中， 2()EP2P，则 是P点真位差平方的理论平均值，即P点的点位方差，若记为 则 222Pxy (5-3) 编辑ppt7式中， xy分别为P点在x、y方向上的中误差，或称为x、y方向上的位差。将式(5-3) 开方即得P点的点位中误差 P如果将图5-1中的坐标系旋转某一个角度，即以 x Oy为坐标系(图5-2)，则P

4、、P点的 坐标分别为 ( ,) ( ,)x yx y和虽然在新坐标系中对应的真误差 xy的大小变了，但 P的大小将不因坐标轴的变动而发生变化，此时 5.1 点位误差概述点位误差概述222Pxy 据式(5-2)、式(5-3)可以直接写出222Pxy可见，点位方差 2P总是等于两个相互垂直方向上的位差的平方和，与坐标系的选择无关 5.1 点位误差概述点位误差概述图5-2 位差大小与坐标系无关5.1 点位误差概述点位误差概述编辑ppt10如图5-1所示，如果再将P点的真位差 P投影于AP方向和垂直于AP的方向上，则得 su和此时有 222Psu 仿式(5-4)的由来，又可以写出222Psu (5-5

5、)s为纵向位差 u为横向位差。通过纵、横向位差来求点位误差，这在测量工作中是一种常用的方法。 5.1 点位误差概述点位误差概述编辑ppt115.2 点位误差计算点位误差计算5.2.1 点位方差因为待定点的x、y坐标平差值的方差可表达为222002220011xxxxyyyyQpQp(5-6)xxQyyQ就是该点最或然坐标x和y的权倒数。 (2) 按条件平差时。当三角网按条件平差时，因待定点的坐标平差值是观测值的函数，这时可根据第1章中的协因数传播律来求待定点坐标平差值的协因数。编辑ppt125.2.2 任意方向的位差任意方向的位差如图5-3所示，设某任意方向与x轴夹角为 为求待定点P在方向 上

6、的真位差 需先找出 与x、y方向上的真位差 xy的函数关系 P点在 方向上的真位差，实际上就是P点的真位差 PP在 方向上的投影值 PP由图5-3可以看出 xy的关系为 cossinPPP Pxy 编辑ppt13xy5-3 、的关系根据广义传播律，得22222cossinsin2 xyxy顾及式(5-6)，又得 2222200(cossinsin2 )xxyyxyQQQQ式(5-11)就是求任意方位 方向上点位方差的基本公式 5.2.2 任意方向的位差任意方向的位差编辑ppt145.2.3 位差的极大值、极小值与极值方向位差的极大值、极小值与极值方向在式(5-11)中，对于某具体平差问题 0和

7、协因数Q为与 角无关的定值，即 是以为单一自变量的函数。因此，只要将 QQ对 求导，并令其为零，即可求出取得极值时的方向 0也就是使22d(cossinsin2 )0dxxyyxyQQQ即000002cossin2sincos2cos20 xxyyxyQQQ由此得02tan2xyxxyyQQQ(5-12) 编辑ppt155.2.3 位差的极大值、极小值与极值方向位差的极大值、极小值与极值方向根据式(5-12)可得两个解 0022180和极值方向为 0090和为判断哪一个是极大值方向，哪一个是极小值方向，将 0代入式(5-11)，得022220000222000020(cossinsin2)2t

8、an cossin1tanxxyyxyxxyyxyQQQQQQ上式中，括号内前两项恒为正值，因此，当 0tanxyQ与同号时， 02为极大值 而 0290为极小值；当 0tanxyQ与异号时， 02为极小值，而 0290编辑ppt16为极大值。习惯上，用E表示极大值，F表示极小值， E表示极大值方向， F表示极小值方向。 EF总是互差 90即 FE90将 EF分别代入式(5-11)，得两个位差极值的初步表达式为22220EEE22220FFF(cossinsin2)(cossinsin2)xxyyxyxxyyxyEQQQFQQQ下面导出计算位差极值的常用公式。将 0代入式(5-11)，并考虑到

9、 2001cos2cos22001cos2sin25.2.3 位差的极大值、极小值与极值方向位差的极大值、极小值与极值方向编辑ppt17得022000020001cos21cos2sin222 ()()cos22sin22xxyyxyxxyyxxyyxyQQQQQQQQ顾及式(5-12)，则022000020021()cos22sin22tan221 ()2sin2xyxxyyxyxyxxyyQQQQQQQ由三角学知 20011cot 2sin2 则0222001()21cot 22xxyyxyQQQ5.2.3 位差的极大值、极小值与极值方向位差的极大值、极小值与极值方向编辑ppt185.2.

10、3 位差的极大值、极小值与极值方向位差的极大值、极小值与极值方向2202()1()212(2)xxyyxxyyxyxyQQQQQQ22201()()42xxyyxxyyxyQQQQQ令22()4xxyyxyKQQQ则2202201()21()2xxyyxxyyEQQKFQQK这就是求极值 E、F 的常用公式。不难看出， P与 E、F 间存在以下关系，即222PEF(5-14) (5-15) (5-16) 编辑ppt195.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差任意方向位差计算公式(5-11)中，方向 是从x轴算起的，并且是通过协因数来计算位差。但既然已经算得了极值和极值方

11、位，那么很多时候，以极值方向作为起始方向并通过极值来 上的位差计算公式，此处方向 是以极大值E的方向为起始轴的 即把xOy坐标系旋转 E角后形成 eex Oy坐标系，见图5-4 编辑ppt20图5-4 以E为起始轴时的角度关系5.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差编辑ppt21由图5-4中可知，任意方向在两个坐标系中的方位角有以下关系，即EE把 代入式(5-10)，得 222222EEE22222EEE22222EEE22EEcos ()sin ()sin(22)1 coscossinsinsin2sin221 sincoscossinsin2sin22 (sin2c

12、os2cossin2sinxyxyxyxyE22222EEE22222EEE22EEsin2) cos(cossinsin2)sin(sincossin2)1sin2 ()sin22cos22xyxyxyxyxyxy 5.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差编辑ppt22顾及 EF90以及式(5-6)，有 222220EEE22220FFF20Ecos(cossinsin2)sin(cossinsin2)1sin2 ()sin22cos22xxyyxyxxyyxyxxyyExyQQQQQQQQQ由式(5-12)知EEE2sin2tan2cos2xyxxyyQQQ显然，

13、EE()sin22cos20 xxyyxyQQQ再顾及式(5-13)，则得 再顾及式(5-13)，则得 22222cossinEF此即以极大值方向为起始轴，用E、F表示的任意方向 上位差 的实用公式 (5-17)5.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差编辑ppt23例5-1 如图5-5所示，在固定三角形内插入一点P，经过平差后得P点坐标的协因数阵为3.810.36 0.362.93xxxyyxyyQQQQ(cm2/) 单位权方差为 20=1.962。试求:(1) 位差的极值方向 EF和(2) 位差的极大值E、极小值F与P点的点位中误差。(3) 已算出PM方向的方位角 P

14、M7529T求PM方向上的位差。5.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差编辑ppt24图5-5 三角形内插一点解 (1) 由式(5-12)得0220.36tan20.818183.812.93xyxxyyQQQ则E1938 4019938 40F10938 4028938 405.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差编辑ppt25(2)由式(5-14)和式(5-15)得2222()4(3.182.93)40.361.14xxyyxyKQQQ222022201()7.72 cm21()5.49cm2xxyyxxyyEQQKFQQK所以2 .7 8

15、c mE2 .3 4 c mF 22P3.63cmEF5.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差编辑ppt26(3) 将PM的方位角 PM7529T直接代入式(5-11)，得22222PM0PMPMPM(cossinsin2)6.19cmxxyyxyQTQTQT或者，因为EPME75291938 405550 20T所以将E、F和 值代入式(5-17)同样可得222222PMcossin6.19cmEF即P M2 .4 9 cm5.2.4 用极值表示任意方向上的位差用极值表示任意方向上的位差5.3 误 差 曲 线应该看到，点位中误差 虽然可以评定待定点的点位精度，但它却不

16、能全面反映该点在任意方向上的位差大小。即使上面提到的 、 、 、 、以及E、F、 。等，也只是待定点在几个特定方向上的位差。在工程控制测量中，除了计算待定点在某给定方向上的位差外，有时为了更清楚、直观地了解某些待定点的位差在平面各方向上的分布情况，需要把待定点在各方向上的位差都图解出来，以便分析研究其点位误差特性，优化测量方案。P xysu 编辑ppt28如果以不同的 值代入式(5-17)，算出各个方向的值，则以 和 为极坐标的点的轨迹必为一闭合曲线(图5-6)，称为误差曲线，它把各方向的位差清楚地图解了出来。很显然，误差曲线是关于极值方向(即 轴、 轴)对称的，而且这条曲线在任意方向 上的向

17、径 就是点P在该方向的位差。 (0360 )exeyPM5.3 误 差 曲 线编辑ppt295.3 误 差 曲 线 图5-6 点的误差曲线编辑ppt305.3 误 差 曲 线 利用误差曲线图不但可以得到坐标平差值在各个方向上的位差，甚至可以得到坐标平差值函数的中误差。例如，图5-7所示为控制网中P点的点位误差曲线，A、B和C为已知点。在该图中可以确定以下误差信息：图5-7 特定方向方差的图解编辑ppt315.3 误 差 曲 线 (1) 待定点任意方向的位差。EFxyPPPaPbPcEPdF(5-18)(2) 待定点P至任意已知三角点(视为无误差)的边长中误差。例如，PA边SPA平差后的边长中误

18、差为PASPe (5-19)编辑ppt325.3 误 差 曲 线 (3) 待定点P至任意已知三角点的平差后方位角的中误差。例如，欲求PA边平差后方位角 的中误差 ，则可先在图中量出垂直于PA方向上的位差 ，这就是PA边的横向位差，于是可求得PAPAPfPAPAPfS (5-20)式中， 为常数206265。编辑ppt335.4 误 差 椭 圆 误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降低了它的实用价值。但其形状与以E、F为长、短半轴的椭圆很相似，如图5-8所示。而椭圆是一种规则图形，作图也比较容易，所以实际上常用以E、F为长、短半轴的椭圆来代替误差曲线，并称为误差椭圆。因此一般情况下，总是

19、先求出待定点的点位误差椭圆，再通过误差椭圆求得待定点在任意方向上的误差，起到与误差曲线同样的作用，方便而又全面地反映点位误差在各个方向上的分布情况。如图5-8所示，在以 为轴的坐标系中，误差椭圆的方程为eexy、22ee221xyEF (5-21)编辑ppt345.4 误 差 椭 圆 图5-8 误差曲线与误差椭圆编辑ppt355.4 误 差 椭 圆 可见，在平面上确定误差椭圆的参数为 、E、F。有了这3个参数，便可以在控制网图上绘制出待定点的误差椭圆。为了更清晰地表达误差大小，具体绘制时，对误差椭圆要使用和控制网图形不同的更大的比例尺进行夸张显示。E为了说明如何在误差椭圆上图解误差信息而达到在

20、误差曲线上一样的效果，就必须讨论误差椭圆与误差曲线之间的图解关系：对于与 轴夹角为 的某个方向，过椭圆上适当一点T ( )作切线TQ与其垂直，相交于垂足D点。那么，线段 的长度就一定是误差曲线上 方向的位差 。下面就来证明 。ex11ee,xyODOD编辑ppt365.4 误 差 椭 圆 由图5-8可知11eecossinODOCCDxy将上式平方，得111122222eeeecossin2sincosODxyx y (5-22)设过椭圆上点T的切线的斜率为K，由式(5-21)得112ee2eeddF xykxE y 又知切线TD与直线OD垂直，则切线斜率又应为1tank 则有112e2e1t

21、anF xE y即11ee22sincos0 xyEF编辑ppt375.4 误 差 椭 圆 将上式平方并两端同乘以E2F2，并移项得111122ee2222ee222sincossincosxyx yFEEF将上式代入式(5-22)，有11111111222ee22222222ee2222ee222222222222ee222222cossinsincos (cossin)(cossin) (cossin)xyODxyFEEFxyEFEFEFxyEFEF因T ( )是椭圆上的点，故其坐标满足方程11ee,xy1122ee221xyEF则22222cossinODEF将式(5-23)与式(5-1

22、7)对比，可知OD编辑ppt385.4 误 差 椭 圆 以上的证明也间接说明了如何利用误差椭圆求某点在任意方向 上的位差 的方法。即在求 时，只要作椭圆的切线与 方向垂直，则垂足与原点的连线长度就是 方向上的位差。在以上讨论中，都是以一个待定点为例。如果网中有多个待定点，可以利用上述方法，依次为每一个待定点确定一个误差椭圆并求解误差信息。编辑ppt395.5 相对误差椭圆 在平面控制网中，有时不仅需要了解待定点相对于起始点的精度，还要研究任意两个待定点之间相对位置的精度。前面讨论了利用点位误差椭圆求解某些量的中误差的方法，但却不能确定待定点与待定点之间的某些精度指标，因为这些待定点间的坐标是相

23、关的。为了直观展示两个待定点之间的相对精度，就需要进一步作出两待定点之间的相对误差椭圆。设有两个待定点为Pi和Pk，其坐标平差值的协因数阵为iiiiikikiiiiikikkikikkkkkikikkkkx xxyx xxyyxyyyxyyxxxyxxxyyxyyyxyyQQQQQQQQQQQQQQQQ编辑ppt405.5 相对误差椭圆 两待定点平差后的相对位置可通过坐标差来表示，即ikkiikkixxxyyy其矩阵表达式为10100101iikiikkkxxyyxy (5-24)根据协因数传播律，得22iikkikiikkikiikkikkixxx xxxx xyyy yyyy yxyx y

24、xyx yxyQQQQQQQQQQQQQ (5-25)利用这些协因数，根据式(5-12)和式(5-14)、式(5-15)，就可得到计算Pi和Pk点间相对误差椭圆元素的3个公式，即022220222202tan 21()421()42xyxxyyxxyyxxyyxyxxyyxxyyxyQQQEQQQQQFQQQQQ (5-26)编辑ppt415.5 相对误差椭圆 在计算出相对误差椭圆元素以后，便可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。只是误差椭圆是以待定点为中心绘制的，而相对误差椭圆则通常以两待定点连线的中点为中心绘制。根据相对误差椭圆便可图解出所需要的任意方向上的相对位差大小。例5-2 如图5

25、-9所示的测角网中，已知点为A、B、C，其坐标分别为A(14899.84 m，130.81 m)、B(22939.70 m，2136.89 m)、C(51721.82 m，15542.85 m)；待定点为P1、P2，平差后坐标分别为P1(16467.745 m，4986.847 m)、P2(6126.997 m，5957.482 m)；单位权中误差 为 ；未知数的协因数阵为02.41 0 . 6 10 . 8 10 . 6 00 . 1 20 . 8 11 3 . 4 80 . 5 20 . 9 40 . 6 00 . 5 21 1 . 7 22 . 8 60 . 1 20 . 9 42 .

26、8 61 4 . 2 1编辑ppt425.5 相对误差椭圆 试作出P1、P2点间的相对误差椭圆。图5-9 测角网示意图编辑ppt435.5 相对误差椭圆 解 由式(5-25)和式(5-26)得23.532.692.6925.81x xx yy xy yQQQQ 022( 2.69)tan22.359623.5325.81x yx xy yQQQ 121233100E22120221()()421 2.4(23.5325.81)(23.5325.81)4( 2.69 ) 212.6cm x xy yx xy yx yEQQQQQ 编辑ppt445.5 相对误差椭圆 22120221()()421

27、 2.4(23.5325.81)(23.5325.81)4( 2.69)211.2cmx xy yx xy yx yFQQQQQ 根据以上数据，即可以适当的比例尺，在两待定点连线的中点上绘相对误差椭圆(图5-10中P1、P2点连线的中间)。图5-10 误差椭圆与相对误差椭圆编辑ppt455.5 相对误差椭圆 有了P1、P2点的相对误差椭圆，就可以按5.4节所述方法，图解得到所需要的任意方向上的位差。例如，要确定P1、P2点间边长误差 ，它就是 方向上的位差，只要在相对误差椭圆上作垂直于 的椭圆切线，交 于a点，则 = ；同样，在相对误差椭圆上作平行于 的椭圆的切线，与过 点且垂直于 的射线交于b点，则可得P1P