解三角形应用举例(3)课件

1、角度角度距离距离有关三角形计算有关三角形计算解斜三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：三角形边与角的关系：RCcBbAa2sinsinsin Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 1801CBA、2、 大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边 。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos2222.余弦定理的作用余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角； （3）判

2、断三角形的形状。）判断三角形的形状。中，在ABC推论推论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222三角形的面积公式三角形的面积公式BacAbcCabSsinsinsin212121斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然后用正弦定理求出第三边。后用正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出两边。用正弦定理求出

3、两边。用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA) 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。创设情境创设情境测量问题：测量问题：1 1、水平距离的测量、水平距离的测量两点间不能到

4、达，又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理， 可求得AB的长。 2222cosABCACBCA CBC两点能相互看到，但不能到达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理， 可求边AB的长。sinsinABBCCA两点都不能到达两点都不能到达第一步第一步:在ACD中，测角DAC，由正弦定理 sin ADCsinDACACDC求出AC的长； 第二步第二步:在BCD中求出角DBC，由正弦定理 sin BDCsinDBCBCDC求出BC的长； 第三步第三步: :在ABC中,由余弦定理 2222cosABCACBCA CBC求得AB的长。

5、 在测量上，根据测量需要适当确在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做定的线段叫做基线基线, ,如例如例1 1中的中的ACAC，例例2 2中的中的CD.CD.基线的选取不唯一，基线的选取不唯一，一般一般基线越长，测量的精确度越基线越长，测量的精确度越高高. .形成结论形成结论实例讲解实例讲解解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达

6、），两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。设计一种测量两点间的距离的方法。分析：分析：用例用例1的方法，可以计算出河的的方法，可以计算出河的这一岸的一点这一岸的一点C到对岸两点的距离，再到对岸两点的距离，再测出测出BCA的大小，借助于余弦定理的大小，借助于余弦定理可以计算出可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得)sin()sin()(1

7、80sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离cos222BCACBCACAB例题例题2:2:要测量河对岸两地要测量河对岸两地A A、B B之间的距离，在岸边之间的距离，在岸边选取相距选取相距 米的米的C C、D D两地，并测得两地，并测得ADC=30ADC=30、ADB=45ADB=45、ACB=75ACB=75、BCD=45BCD=45，A A、B B、C C、D D四点在同一平面上，求四点在同一平面上，求A A、B B两地的距离。两地的距离。

8、100 3解：在解：在ACDACD中，中，DAC=180DAC=180（ACD+ADCACD+ADC）=180=180(75(75+45+45+30+30)=30)=30AC=CD=AC=CD=100 3在在BCDBCD中，中，CBD=180CBD=180（BCD+BDCBCD+BDC）=180=180（4545+45+45+30+30）=60=60 由正弦定理由正弦定理 ， 得得sin BDCsinDBCBCDCsin BDC100 3sin75200sin75sinDBCsin60DCBC在在ABCABC中由余弦定理，中由余弦定理， 2222cosABCACBCA CBC222(100 3

9、)(200sin75 )2 100 3200sin75 cos755 100 100 5AB 所求所求A A、B B两地间的距离为米。两地间的距离为米。 100 5选定选定两个可到达点两个可到达点C C、D D； 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.测量两个不可到达点之间的距离方案：测量两个不可到达点之间的距离方案：形成规律形成规律两点之间不可通也不可视两点之间可视不可达 两点都不可达求距离kABCABCbaaABCDa1121

10、234测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的；、底部可以到达的； 测量出角测量出角C C和和BCBC的长度，解直的长度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 测量边测量边CDCD，测量，测量CC和和ADBADB， cotcotCDABCADB3 3 设设ABAB是一个底部不可到达的竖直是一个底部不可到达的竖直建筑物，建筑物，A A为建筑物的最高点，如何测为建筑物的最高点，如何测量和计算建筑物量和计算建筑物ABAB的高度的高度C CA AB B问题探究问题探究D DE EH HG G设在点设在点C C、D D处测得处测得A A

11、的仰角分别为的仰角分别为、，CD=aCD=a，测角仪器的高度为，测角仪器的高度为h h，试求，试求建筑物高度建筑物高度ABABsinsinsin()ahC CA AB BE EH HG G问题探究问题探究D DsinABACh例例3、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是和4560CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求求烟囱的高。烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？

12、已知什么，求什么？求什么？想一想想一想AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：烟囱的高为 29.9m.4 4 如图，在山顶上有一座铁塔如图，在山顶上有一座铁塔BCBC，塔顶和塔底都可到达，塔顶和塔底都可到达，A A为地面上一点，为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶通过

13、测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？的高度？A AB BC C问题探求问题探求设在点设在点A A处测得点处测得点B B、C C的仰角分别为的仰角分别为、，铁塔的高，铁塔的高BC=aBC=a，测角仪的高，测角仪的高度忽略不计，试求山顶高度度忽略不计，试求山顶高度CD CD A AB BC CD Dcossinsin()a问题解决问题解决sinCDAC练习练习: 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面处测得地面上一点上一点A的俯角的俯角 60 ，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角30。已。已知铁塔知铁塔BC部分的高为部分的高为28m，求出，求出山高山高CD.分析：根据已知条件，应该设分析

14、：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根根据正弦定理，据正弦定理，)90sin()sin(ABBCDABC )(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为答：山的高度约为14米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，例例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时处时测得公路南侧远处一山顶测得公路南

15、侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰的方向上，仰角角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。的长。解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan8

16、1047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。BDAC5km15258方向角方向角是指从指定方向线到目标方向线是指从指定方向线到目标方向线的水平角的水平角,如北偏东如北偏东30,南偏西南偏西45.、方位角方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目是指从正北方向是顺时针旋转到目 标方向线的水平角标方向线的水平角.练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的

17、方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？北方向航行答：此船可以继续沿正向航行此船可以继续沿正北方则的距离为到直线设点，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin45115练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角

18、是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆B

19、C的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得571. 3 0266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89

20、. 1m BC答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB例、某渔轮在航行中不幸遇险，发出例、某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为渔轮在方位角为，距离为10n mile的的处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，的方向，以以10n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以立即以10 n mile/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 ,时间精确到时间精确

21、到min）方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角的水平角100 3例、某渔轮在航行中不幸遇险，发出例、某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为渔轮在方位角为，距离为，距离为10n mile的的处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的

22、时间（角度精确到0.1 ,时间精确到时间精确到min）北北北北BC105方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角的水平角北北北北BC105解：设舰艇收到信号后解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则在处靠拢渔轮，则21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化简得：化简得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）负值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，

23、得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角为，方位角为45 +21.8 =66.8 答：舰艇应沿着方位角答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行，的方向航行，经过经过min就可靠近渔轮就可靠近渔轮课堂小结课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意分析题意，分清已知分清已知 与所求与所求，根据题意，根据题意画出

24、示意图画出示意图，并正确运用正弦定理和余，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模数学建模的思想，其流程的思想，其流程 图可表示为：图可表示为：实际问题实际问题数学模型数学模型实际问题的解实际问题的解数学模型的解数学模型的解画图形画图形解三角形解三角形检验（答）检验（答）P19 1.2A 1、 3、 91.1.在测量上，根据测量需要适当确在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线定的线段叫做基线. .课堂小结课堂小结2.2.距离测量问题包括一个不可到达距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种，设计测点和两个不可到达点两种，设计测量