工程数学—线性代数复习参考资料

1、工程数学线性代数复习参考资料线性代数的复习尤其要求详细阅读人手一册的综合练习题授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）第一章行列式一、全排列及其逆序数 （理解）1、把 n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的 全排列 。（也称 排列）2、对于 n 个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序） ，于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就说有一个 逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个 排列的逆序数 。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。例题求排列 32514 的逆序数解3 的逆序数为 0

2、；2 的逆序数为 1；5 的逆序数为 0；1 的逆序数为 3；4 的逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为t010315二、 n 阶行列式的定义 （理解）定义设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表，aaa11121na21a22a2nan1an2ann作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号( 1)t ，得到形如(1)t aa2panp（ ）1 p211n的项，其中 p1 p2pn 为自然数 1,2, n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（ 1）式的项共有 n！项，所有这 n！项的代数和( 1)ta a2 p2a1p1npn称为 n 阶行

3、列式 ，记作a11a12a1nDa 21a22a 2n，a n1a n2a nn简记为 det(aij ) ，数 aij称为行列式 det(aij) 的元素。元素 aij 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第 i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第 j 列，三、行列式的性质 （掌握）记a11a12a1na11a21an1a 21a22a 2 nD Ta12a22an 2D，a n1a n 2a nna1na2 nann行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式 。性质 1行列式与它的转置行列式相等。性质 2互换行列式的两行（列） ，行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，

4、则此行列式等于零。性质 3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数 k 乘以此行列式。第 i行（或列）乘以 k，记作 rik （或 ci k ）推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。第 i行（或列）提出公因子 k，记作 rik （或 cik ）。性质 4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质 5若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如aaaa/a11121i1i1nDa21a22a2ia2/ia2n，an1an2aniani/ann则 D 等于下列两个行列式之和：a11a12a1ia1na21a22a2ia2nDan1an

5、2aniannaaa/a11121i1naaa/a21222i2naaa/annn1n 2ni性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。以数k 乘第j列加到第i列上，记作cikc j；以数k 乘第j行加到第i行上，记作rikrj；计算行列式常用的一种方法就是利用运算行列式，从而算得行列式的值。P16 例（可以证明，对于上三角行列式D 有：ri7、8。kr j把行列式化为上三角形a11a12a1na22a2 na11a22annD0ann当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）四、行列式按行（列）展开（掌握）设a1

6、1a12a1na21a22a2 nDai 2aijainai1an1an 2ann在 n 阶行列式中，把 aij所在的第 i行和第j 列划去后，留下来的 n-1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij ；记A ( 1)ij Mij，ijAij 叫做元素 aij 的代数余子式 。引理一个 n 阶行列式，如果其中第 i行的元素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即a11a12a1na21a22a2 nD0aij0aijAij0an1an 2ann定理行列式等于它的任一行 （列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Dai1 Ai 1ai 2 Ai 2a

7、in Ain (i1,2, n)或Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj ( j1,2, n)推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即Dai1 A j 1ai 2Aj 2ain Ajn0,ij或 Da1i A1 ja2 iA2 jani Anj0, ij，。五、四阶行列式的计算 （重点掌握）例 1 计算行列式1234112321123211解：1 234 cc23c2c1 1311123 c44c1 12112232113111 c2 c1(1)3 35c3 c164811(1412)20001111111)1 135635(64811

8、48111001 1 23323( 1)47447例 2 计算行列式1234234134124123解：1 234 cc23c2c1 1000127312 341 c4 4c1 21271)1 128103412328(107101341234710133127 r2 2r11271 144(1)28r3 7r1044( 1)10436710130436( 144 116) 160五、克拉默法则 （注意，计算量比较大）设有 n 个未知数 x1 、 x2 、 xn 的 n 个线性方程的方程组a11 x1a12 x2a1n xnb1a21 x1a22 x2a2 n xnb2（1）an1 x1an

9、2 x2ann xn bn克拉默法则如果线性方程组（ 1）的系数笔列式不等于零，即a11a1nD0an1ann那么，方程组（ 1）有唯一解x1D1， x2D 2， x nD nDDD 。其中 D j ( j1,2, n) 是把第数行列式中第 j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即a11a1, j ib1a1,j 1a1nDjan1an, j 1bnan, j 1ann第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念 （理解）1、由 mn个数 aij (i1,2, , m; j 1,2, , n) 组成的 m 行 n 列的数表a11a12a1na21a22a 2 na m1am 2a mn

10、称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵，记作a11a12a1na21a22a2nAam1am2amn也常记作 Am n 。这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称元，数 aij 称为 (i , j ) 元。以数 aij 为 (i , j ) 元的矩阵可简记作（ aij ）或 (aij ) m n 。2、行数和列数都等于n 的矩阵 A 称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵，n 阶方阵 A 也记作An 。3、只有一行的矩阵Aa1a2an称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作A(a1, a2 , an )只有一列的矩阵Bb1b2bm称为列矩阵，又称列向量。4、两个矩阵的行数相等，就称

11、它们是同型矩阵 ，如果 Aaij 与 Bbij 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aijbij (i1,2, m; j1,2, n)那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作AB5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。注意不同型的零矩阵是不同的。6、单位矩阵简记作 E，即100010En0017、对角矩阵简记作 A diag (11, 2, n ) 即100020A00n二、矩阵的运算与性质 （掌握）1、矩阵的加法设有两个矩阵 mn A aij、 Bbij，那么矩阵 A 与 B的和记作A+B ，规定为a11b11a12b12a1nb1nnAa21b21a22b22a2nb2 nBam1bm

12、1am2bm2amnbmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律：设 A 、B、C 都是 m×n 矩阵，则（1）AB B A；（2）(AB)CA(BC)（3） ABA (B)设设矩阵 Aaij，记AaijA 称为矩阵 A 的负矩阵 。2、数与矩阵相乘数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A，规定为a11a12a1nAa21a22a2nAam1am2amn数乘矩阵满足下列运算规律：设 A 、B、为 m×n 矩阵， 、为数，则（ 1）（ 2）（ 3）()A(A)；()AAA；(AB)AB。3、矩阵与矩阵相乘设 A aij 是一个 m

13、 s矩阵， B bij 是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m n 矩阵 C cij ,其中cijai 1b1 j ai 2 b2 jais bsj并把此乘积记作C=AB必须注意： 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。矩阵的乘法不满足交换律 ，即一般情况下 ABBA ，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的） ：（ 1）（ 2）( AB)CA(BC)( AB)( A)BA( B), （其中 为数）（3） A( BC)ABAC(B C)A BA CA（重要）例 1 已知矩阵131116A 013B25001，0

14、4求 AB。解：113(2)1101635114AB01(1)(2)3006(1)534010(2)(1)00605(1)45652 70 44、方阵的行列式、伴随矩阵定义由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 （各元素位置不变），称为方阵 A 的行列式。 记作 A 。行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵A11a2 nan1A12a22an2AA1na2 nann称为方阵 A 的伴随矩阵 ，记为A。5、逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B，使ABBAE则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。定理若 A0 ，则矩阵 A 可逆，且A11AA。重要例题P56-57 例 10方阵的逆矩阵满足下述运算规律：1）若 A 可逆，则A 1亦可逆，且 ( A 1) 1A 。2）若 A 可逆，数0 则 A 可逆，且 (A)1 1A。3）若 A ，B 为同阶矩阵，且均可逆，则 AB 亦可逆，且(AB) 1B1A1。例题：设 n 阶方阵 A 满足 A 2A 2E = 0，证明： AE 是可逆矩阵，并求 A E 的逆矩阵。证明：由 A2A2E = 0 得A2A = 2EA（AE）= 2E1 A(A