回归模型的残差分析

1、回归模型的残差分析山东胡大波判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常川残差分析來判 断回归模型的拟合效果。下而具体分析残差分析的途径及具体例子。一、残差分析的两种方法1、差分析的基木方法是由回归方程作出残差图，通过观测残羌图，以分析和发现观测 数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落 在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说叨模型的拟合精 度越高，冋归方程的预报精度越高。“a£（开 _z）22、可以进一步通过相关指数二1_ 来衡量回归模型的拟合效果，一般- a），规律是a?越人，残差平方和就越小，

2、从而冋归模型的拟合效果越好。二、典例分析：204060图丄（2）列表计算:次数兀成绩yf彳并30309009009003334108911561122353712251369129537391369152114433942152117641638444619362116202446482116230422085051250()26012550_ _ 8 8由上表可求得兀= 39.25= 40.875,工彳=12656,工y；=13731,1=1 1=18 工 i二u 1.0415.8 _ _8z=1工(兀一兀)(y, y)= 1318(),所以0=1=1a = -/3x -0.00302 ,所

3、以回归直线方程为 y = 1.0415 兀 0.00302.（3）计算相关系数82x,.y.-8xy将上述数据代入r = |得厂=0.992704 ,查表可知88_9、£(兀-8x_)(xz2 y)v /=!i=l厂o.o5 = 0.707，而厂厂oo5，故y与x之间存在显著的相关关系。（4）残差分析：作残差图如图2,山图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比 较合适。计算残差的方差得t2 =0.884113,说明预报的精度较高。（5）计算相关指数a?计算相关指数/?2 =0.9855.说明该运动员的成绩的差开有98.55%是由训练次数引起的。（6）做出预报a由

4、上述分析可知，我们可用回归方程y = 1.0415x-0.00302.作为该运动员成绩的预报值。 将x=47和x=55分別代入该方程可得y=49和y=57,故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.点评：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对彖，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）应出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们z间的关系（如是否存在 线性关系等）；（3）山经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，贝u选用线性回归方 程 y=bx + a）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否有界常

5、（个別数据对应残差过大，或残差呈现不随机 的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例2、某城区为研究城锁居民月家庭人均牛活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下:月人均收入x/元月人均生活费y/元3002553903244203355203605704507005207605808006008506301080750试预测人均月收入为1100元和人均月收入为1200元的两个家庭的月人均生活费。解答：作出散点分布图如图，由图可知，月人均生活费与人均收入z间具有线性相关 关系。_ _ 10 10通过计算可知x = 639,y = 480.4,工彳

6、二 4610300 ,工y；二 2540526 ,z=1f=l1010/=!»必-10厂= 3417560,所以 0=二u 0.6599.f x/-10x2a = y-f3x 58.751,所以回归直线方程为 y = 0.6599% + 58.751.计算相关系数得r = 0.993136,而查表知厂。厶=0.632 ,故月人均收入与月人均生活费之间具有显苦相关关系。作残差图如图，由图可知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模 型比较合适。计算相关指数得/?2 =0.9863,说明城镇居民的月人均牛活费的差界有98.63%是由月人 均收入引起的。a由以上分析可知，我们可以利用回归方程y = 0.6599% + 58.751.來作为月生活费的预 报值。将x=l 1(x)