概论与统计第一章 随机事件及概率ppt课件

1、.课程引见.第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 引引 言言 确定性景象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生确定性景象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的景象的景象 随机景象：在一定条件下能够发生也能够不发生的景象随机景象：在一定条件下能够发生也能够不发生的景象例例 1 (1)太阳从东方升起太阳从东方升起 (2)边长为边长为a的正方形的面积为的正方形的面积为a2 (3)一袋中有一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球个白球，今从中任取一球为白球 1)2)3为确定性景象为确定性景象 随机景象：在一定条件下能够发生也能够不发生的景象随机景象：在一定条件下能够发生也能够不发生的景象

2、例例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上掷一枚硬币，正面向上 (5)掷一枚骰子，向上的点数为掷一枚骰子，向上的点数为2 (6)一袋中有一袋中有5个白球个白球3个黑球，今从中任取一球为白球个黑球，今从中任取一球为白球456为随机景象为随机景象.参考书：参考书：人大版人大版 山经数学教研室山经数学教研室 编编学习根底方法：学习根底方法：1 陈列组合陈列组合 2 微积分微积分概率论与数理统计：研讨和提示随机景象概率论与数理统计：研讨和提示随机景象的统计规律性的一门数学学科的统计规律性的一门数学学科. 1 随随 机机 事事 件件 1.1 随机实验与样本空间随机实验与样本空间实验：为了研讨随机景象，对客观事

3、物进展察看的过程实验：为了研讨随机景象，对客观事物进展察看的过程 1. 随机实随机实验验随机实验：具有以下特点的实验称为随机实验，用随机实验：具有以下特点的实验称为随机实验，用E表示：表示： 1在一样的条件下可以反复进展；可反复性在一样的条件下可以反复进展；可反复性 2每次实验的结果不止一个，并且在实验之前可以明确每次实验的结果不止一个，并且在实验之前可以明确 实验一切能够的结果；结果的非单一性实验一切能够的结果；结果的非单一性 3在每次实验之前不能准确地预言该次实验将出现那一在每次实验之前不能准确地预言该次实验将出现那一 种结果。随机性种结果。随机性留意：今后所说的实验留意：今后所说的实验

4、均指随机实验均指随机实验. E1 E1：抛一枚硬币，察看正面、反面出现的情况。：抛一枚硬币，察看正面、反面出现的情况。 E2 E2：将一枚硬币抛掷三次，察看出现正面的次数。：将一枚硬币抛掷三次，察看出现正面的次数。 E3 E3：抛一颗骰子，察看出现的点数。：抛一颗骰子，察看出现的点数。 在下面给出的实验中，讨论实验的结果。在下面给出的实验中，讨论实验的结果。 E4 E4：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E5 E5：在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。：在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。 E6 E6：在区间：在区间0,10,1上任取一点，记录它的

5、坐标。上任取一点，记录它的坐标。. 的集合的集合的所有可能结果所组成的所有可能结果所组成一个随机试验一个随机试验E 的的称为随机试验称为随机试验E 记为记为 . , 样本空间例例:掷硬币掷硬币1=正面，反面正面，反面 掷骰子掷骰子3=1,2,3,4,5,62 : 1,2,3 , 0 4 : . E呼唤台一分钟内接到的呼唤次数 4 : 3, 1,2, , 0 某灯泡的寿命：某灯泡的寿命：5 = t ：t 0由以上例子可见由以上例子可见,样本空间的构造随着实验的要求不同而有所不同，样本空间的构造随着实验的要求不同而有所不同，样本空间的元素是由实验的目的所确定的样本空间的元素是由实验的目的所确定的.

6、 , , 称为称为的每个结果的每个结果即即样本空间中的元素样本空间中的元素E . 样本点记为记为。样本点样本点. 随机事件：实验随机事件：实验E E所对应的样本空间所对应的样本空间的子集称为的子集称为E E的随机事件的随机事件，称事件，通常用大写字母，称事件，通常用大写字母A,B,CA,B,C等表示。等表示。实验实验E E的任何事件的任何事件A A都可表示为其样本空间的子集。都可表示为其样本空间的子集。 样本空间样本空间的仅包含一个样本点的仅包含一个样本点的单点集的单点集称为根本称为根本事件，也是一种随机事件。否那么，称为复合事件事件，也是一种随机事件。否那么，称为复合事件(由两个或由两个或两

7、两个以上的根身手件构成的事件个以上的根身手件构成的事件)。. 事件发生：假设当且仅当样本点事件发生：假设当且仅当样本点1,2,k1,2,k有一个出有一个出现时，事件现时，事件A A就发生。就发生。 用事件用事件A A中的样本点的全体来表示事件中的样本点的全体来表示事件A A，即，即 A= A=1 1， 2 2，. . kk 必然事件：每次实验中一定发生的事件，用必然事件：每次实验中一定发生的事件，用表示；表示； 不能够事件：每次实验中一定不发生的事件，用不能够事件：每次实验中一定不发生的事件，用 表示表示.例：察看掷一枚均匀的骰子出现点数的实验中，例：察看掷一枚均匀的骰子出现点数的实验中， “

8、点数小于点数小于7 是必然事件，是必然事件， “点数不小于点数不小于7 是不能够事件。是不能够事件。. 事事 件件样本点的集合样本点的集合 子集子集 样本空间样本空间全部样本点的集合全部样本点的集合 选集选集 根身手件根身手件一个样本点的集合一个样本点的集合 单点集单点集 复合事件复合事件多个样本点的集合多个样本点的集合 不能够事件不能够事件不包含任何样本点的集合不包含任何样本点的集合 空集空集 必然事件必然事件全体样本点的集合即样本空间全体样本点的集合即样本空间 选集选集 事件与集合的对应事件与集合的对应.例例5 知一批产品共知一批产品共100个个, 其中有其中有95个合格品和个合格品和5个

9、次品。个次品。检查检查产质量量时，产质量量时，从这批产品中任一抽取从这批产品中任一抽取10个来检查，个来检查，那么在抽取那么在抽取的产品中，的产品中，“次品数不多于次品数不多于5个个“次品数多于次品数多于5个个不能够事件不能够事件 ：事件事件 A： “恰有一个次品恰有一个次品事件事件 B：“至少有一个次品至少有一个次品事件事件 C：“没有次品没有次品 随机事随机事 件件必然事件必然事件 ：根身手件根身手件根身手件根身手件包含包含5个根身手件个根身手件包含包含2个根身手件个根身手件:事件事件 D： “有有2个或个或3个次品个次品.1.3 1.3 事件间的关系及运算事件间的关系及运算v 引言引言

10、由于任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事由于任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。1 1、事件的包含与相等、事件的包含与相等 * 事件事件 A 的发生必然导致事件的发生必然导致事件 B 的发生，那么的发生，那么称事件称事件 B 包含包含 事件事件 A，或称事件，或称事件 A 包含于包含于 事件事件 B ，记为，记为 ：A B 或或 B A。样本空间样本空间BA属于属于 A A 的的 必然属于必然属于 B B 注：对任一事件注：对任一事件 A 有：有： A . 例例1 1：一袋子中有分别编号为：一袋子中

11、有分别编号为 1 1、2 2、10 10 的十个的十个球，现从中任取一球，设球，现从中任取一球，设 A = A = 取到取到5 5号球号球 ，B = B = 取取到编号是奇数的球到编号是奇数的球 ，C = C = 取到编号是取到编号是 1, 3, 5, 7, 9 1, 3, 5, 7, 9 的球的球 ，D = D = 取到编号取到编号 3 3 的球的球 ，E = E = 取到编号是偶取到编号是偶数的球数的球 。 那么：事件那么：事件 A A 的发生必然导致事件的发生必然导致事件 B B 的发生。故的发生。故事件事件 B B 包含事件包含事件 A A，即：，即：B B A A。. 在例在例1中，

12、中，B =取到编号是奇数的取到编号是奇数的球球，C=取到编号是取到编号是1,3,5,7,9的球的球。那么：事件与事件含有一样的样本点，故：那么：事件与事件含有一样的样本点，故： = =。v 事件的相等事件的相等 当事件包含事件且事件也包含事件时，那当事件包含事件且事件也包含事件时，那么称：事件与事件相等。记为么称：事件与事件相等。记为=。、中含有一样的、中含有一样的注：相等的两事件总是同时发生或同时不发生注：相等的两事件总是同时发生或同时不发生.样本空间 “ “两事件与中至少有一个发生两事件与中至少有一个发生 这一事件称为这一事件称为事件与的和并。记为：事件与的和并。记为： 或或+ +。中的样

13、本点是中的中的样本点是中的样本点与中的样本点的和样本点与中的样本点的和 在例在例1中，中，B =取到编号是奇数的取到编号是奇数的球球，D=取到编号取到编号3的球的球。那么：那么：=取到编号为取到编号为1,2,3,5,7,91,2,3,5,7,9的球的球 留意： 样本点反复时只写一次！注：对任合事件注：对任合事件 A，B 有有 (1)A A+B ， B A+B (2)A+A=A， (3)A+= (4)A+=2、事件的和并、事件的和并. n个事件 2中至少有一个发中至少有一个发、nAAA1 生的事件称为事件12 .nAAA、的和事件、 、记之为记之为12, nAAA 无限可列个事件12 AA 、

14、、 中至少有一个发生的事件称为12 .AA 事、的和事件件、 记之为记之为12, AA 简记为简记为1 i=1. iiiAA或11 nniiiiAA简记为或事件和的推行事件和的推行.样本空间A B “ “两事件与都发生两事件与都发生 这一事件称为事件这一事件称为事件与的积交。与的积交。记为：记为：或。或。中的样本点是中的样本点是与所共有的样本点。与所共有的样本点。 在例在例1中，中， A=取到取到5号球号球，B =取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 ABA那么：那么： =取到编号为取到编号为 5 5 的的球球 注：对任合事件注：对任合事件 A，B 有有 (1)A B A ，(2)AA=A，3

15、A = ,4A=A3、事件的积交、事件的积交.事件交的推行事件交的推行 “n “n 个事件个事件 A1,A2, A1,A2,An ,An 都发生都发生 这一事件称为事这一事件称为事件件A1,A2,A1,A2,An,An的交。记为：的交。记为： A1A2 A1A2An An 或或 AiAi。 i=1 i=1* 类似地，也可定义无限多个事件的的交类似地，也可定义无限多个事件的的交 Ai。 .4.事件的差事件的差样本空间样本空间在例在例1 1中中 A= A=取到取到5 5号球号球 B = B =取到编号是奇数的球取到编号是奇数的球 事件发生而事件不发生，这一新事件称为事件事件发生而事件不发生，这一新

16、事件称为事件与事件的差，记为：。即：是把中属于与事件的差，记为：。即：是把中属于的元素去掉的元素去掉留意：普通留意：普通= =特别地：特别地： 1 1=时，时，= = 2 2= =时，即时，即时，时， = 3 3= =时，即时，即时，时，= =A 那么那么 取到编号是取到编号是1,3,7,91,3,7,9的球的球 B样本空间样本空间AB样本空间样本空间AB样本空间样本空间BA.在例在例1 1中中 A= A=取到取到5 5号球号球 ，B=B=取到编号是偶数的球取到编号是偶数的球 假设两事件与不能够同时发生，即假设两事件与不能够同时发生，即AB=AB=，那么，那么称事件与互不相容或互斥；否那么称与

17、是相容称事件与互不相容或互斥；否那么称与是相容。注：根身手件之间互不相容注：根身手件之间互不相容那么：事件与事件那么：事件与事件B B互不相容。即互不相容。即B B。样本空间样本空间AB5、事件的互不相容互斥、事件的互不相容互斥. 假设假设 n n 个事件个事件 A1 A1，A2A2，An An 中任两个都不能够同时发中任两个都不能够同时发生，即：生，即： AiAj= AiAj=，(1ijn(1ijn， ij) ij)，那么称这那么称这 n n 个事件是两两互不相容的或互斥的。它们的个事件是两两互不相容的或互斥的。它们的和记为：和记为： A1+A2+An A1+A2+An * 事件的互不相容的

18、推行事件的互不相容的推行 此概念还可以推行到此概念还可以推行到 A1 A1，A2A2，AnAn， 的情形。的情形。 .样本空间样本空间 A 假设两事件与是互不相容的，且它们的和是必然假设两事件与是互不相容的，且它们的和是必然事件，事件，即即 1 AB=2 AB=或或A+B=那么：那么： 称事件与是对立事件，称事件称事件与是对立事件，称事件(事件事件)是事件是事件 (事件事件)的对立事件的对立事件(逆事件逆事件)。 记为：记为：=或或 =A6、 对立事件逆事件对立事件逆事件. 注注 (1对立事件是相互的对立事件是相互的:A是是A的逆，的逆，A也是也是A的逆的逆 在例在例1中，中， A=取到编号是

19、奇数的球取到编号是奇数的球， B =取到编号是偶数的球取到编号是偶数的球 那么：事件那么：事件A与事件是对立事件与事件是对立事件, 即即= A。AA 2普通普通 A B = A-AB =AB,AAAA .样本空间样本空间 A3 两事件互不相容只阐明不能同时发生即：至多只能两事件互不相容只阐明不能同时发生即：至多只能发生其中之一，但可以都不发生；而对立那么表示有发生其中之一，但可以都不发生；而对立那么表示有且仅有一个发生即：一定了至少有一个发生。且仅有一个发生即：一定了至少有一个发生。* 对立事件与互不相容事件的联络与区别对立事件与互不相容事件的联络与区别1 两事件对立，必定互不相容，反之不然。

20、两事件对立，必定互不相容，反之不然。A2 互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件。只适用于两个事件。 这是由于：这是由于： 。样本空间样本空间A.7、完备事件组、完备事件组P18 定义定义4.2)在例在例1 1中，设：中，设：Fi=Fi=取到取到 i i 号球号球 ，(i=1,2,10)(i=1,2,10) n假设假设 n 个事件个事件A1，A2，An两两互不相容，且两两互不相容，且 Ai = i=1 1 A1A2An = (2) AiAj=，(1i0P(A)0，在事件，在事件A A曾经曾经发生的条件下发生的条件下, ,事件事件B

21、B发生的概率发生的概率, ,称为条件概率称为条件概率, , 记作记作P(B|A).P(B|A).注注: : (2) P(B) (2) P(B)称为无条件概率称为无条件概率(1) P(BA)(1) P(BA)的直观含义的直观含义 (3) (3)普通地，普通地， P(BA) P(B) P(BA) P(B)(4)(4)性质：设性质：设P(A)0P(A)0 (2) P(|A)=1 (3)假设假设Ak (k=1，2，) 两两互不相容，那两两互不相容，那么么 (Ai |A) = (Ai |A) i=1 i=1 (1)对于任一事件对于任一事件B，都有，都有 0P(B|A)1例例2 P16-172 P16-1

22、7.4.2 条件概率的计算公式条件概率的计算公式 定例理定例理4.1 4.1 设设A,BA,B是恣意两个事件，那么是恣意两个事件，那么()(|)( ( )0)( )P ABP B AP AP A)B(P()B(P)AB(P)B|A(P0 证明证明 以古典概型为例以古典概型为例样本空间A B B 新样本 空间A 条件概率P(A|B)的本质是样本空间起了变化。新的样本空间减少为只取所包含的样本点。有利事件为新的样本空间减少为只取所包含的样本点。有利事件为ABAB。AB)B(P()B(P)AB(P)B|A(P0 即即：/()(|)=/( )ABABBBnnnABP ABP A BBnnnP B所包含

23、的样本点数所包含的样本点数留意留意:运用此公式时运用此公式时P(B) P(AB)都是在原来的样本空间中思索都是在原来的样本空间中思索. 例例2 在件产品中，有件不合格品，任取两次，在件产品中，有件不合格品，任取两次，每次取件，取出后不放回，假设曾经发现第件是合每次取件，取出后不放回，假设曾经发现第件是合格品，求第件也是合格品的概率。格品，求第件也是合格品的概率。解：设解：设i = 第第 i 次取到合格品次取到合格品，i = 1，2。方法方法1 (利用公式利用公式)(2|1) = 6/9(1) = (12) = 910679612112 )A(P)AA(P)A|A(P方法方法2 (直接求直接求)

24、107. 定理4.2 对恣意两事件A、B，都有P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 ) P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 )注：当注：当P(AB)P(AB)不容易直接求得时，可思索利用不容易直接求得时，可思索利用P(A) P(A) 与与P(B|A)P(B|A)的乘积或的乘积或P(B)P(B)与与P(A|B)P(A|B)的乘积间接求得。的乘积间接求得。 对于恣意对于恣意n个事件个事件A1,A2, ,An, 且且 P(A1A2 An-1)0 , 那么有那么有 P(A1A2An)=P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)P(An|A1A2 An-1)推行的乘法公

25、式推行的乘法公式4.3 乘法公式乘法公式.4%4%次次品品96% 96% 正品正品75% 75% 一等品一等品例：一批产品的次品率为例：一批产品的次品率为4，正品中一等品率为，正品中一等品率为75，现从这批产品中恣意取一件，试求恰好取到一等品的概率。现从这批产品中恣意取一件，试求恰好取到一等品的概率。 解：解：记记A取到一等品取到一等品， B取到次品取到次品， 取到正品取到正品。B那么有：那么有： P(B)=4/100 P( )=96/100 P(A| )=75/100BB由于：由于：故：，于是：故：，于是：BB. 例2 10张考签中有4张难签，甲、乙、丙 3人参与抽签不放回，甲先，乙次，丙后

26、， 求甲、乙、丙都抽到难签的概率？ 记A甲抽到难签， B乙抽到难签， C丙抽到难签， P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)= 3018293104 P(A)= P(B|A)= P(C|AB)= 8210493.4.4 全概率公式与贝叶斯公式定义定义4.2 样本空间样本空间的一个划分的一个划分) n假设假设 n 个事件个事件A1，A2，An两两互不相容，且两两互不相容，且 Ai = i=1 1 A1A2An = (2) AiAj=，(1ijn)，称这称这 n 个事件构成个事件构成的一个划分或一个完备事件的一个划分或一个完备事件组组例如：一盒子中有编号为例如：一盒子中有编号为15的的5

27、个球，现从中任取一球，调查所个球，现从中任取一球，调查所获得球的号码获得球的号码X。那么样本空间那么样本空间=1，2，3，4，5而而A=X3为为的一个划分的一个划分A1=X为偶数为偶数，B1=X为奇数为奇数也是也是的一个划分的一个划分.A1A2An :注意12 , , , nA AA若为样本空间的一个划分 , 事件组事件组则对每次试验则对每次试验12 , , nA AA中必有且仅有一个事件发生一个事件发生. , . .AA可见的划分是将分割成若干个互斥事件而 与 始终为 的一个划分.定理定理4. 3 设设A1, A2, , A n 构成样本空间的一个划分，构成样本空间的一个划分，并且并且 P(

28、Ai)0, i=1,2, n, 那么对恣意事件那么对恣意事件B，有，有H 全概率公式全概率公式)1iniiP(B|A)P(AP(B) 证明：证明：BAPnii 1 ) B(P)B(P)A|B(P)A(Pinii 1)A(BPnii 1 nii)BA(P1推论推论 假设事件假设事件A满足满足 0P(A)0(i=1,2, n), 那么对恣意一概率不为零的事那么对恣意一概率不为零的事件件B，有，有 1() (|)(|)( k=1,2,n) () (|)kkkniiiP A P B AP ABP A P B A2. 贝叶斯公式贝叶斯公式证明证明: )B|A(Pk)B(P)BA(Pk 1 niii)A|

29、B(P)A(P )A|B(P)A(Pkk .1() (|)(|)( k=1,2,n) () (|)kkkniiiP A P B AP ABP A P B A 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在它是在察看到事件察看到事件B已发生的条件下，寻觅导致已发生的条件下，寻觅导致B发生的每发生的每个缘由的概率个缘由的概率.在实践中有很多运用，它可以协助人在实践中有很多运用，它可以协助人们确定某结果事件们确定某结果事件 B发生的最能够缘由发生的最能够缘由.在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)P(Ai)i=1i=1，2 2，是在没有新的信是在没有新的信息不知

30、道结果息不知道结果B B能否发生的情况下，人们对缘由能否发生的情况下，人们对缘由AiAi发生能发生能够性大小的认识。够性大小的认识。 当有了新的信息知道结果当有了新的信息知道结果B B发生，发生， P( P(i|i|) )是人们对缘由是人们对缘由AiAi发生能够性大小的新的认识。发生能够性大小的新的认识。 P(Ai) P(Ai) 和和 P(Ai|B) P(Ai|B) 分别称为缘由分别称为缘由AiAi的先验概率和后验概率。的先验概率和后验概率。 运用贝叶斯公式计算后验概率，以此作出某种判别或决策运用贝叶斯公式计算后验概率，以此作出某种判别或决策 贝叶斯公式的意义：贝叶斯公式的意义： 假设导致假设

31、导致“结果结果B发生的发生的“缘由缘由Ai(i=1，2，两两不相容，两两不相容，现知事件现知事件B发生了，假设要计算导致发生了，假设要计算导致B出现的出现的“缘由缘由Ai的概率，的概率，那么可用贝叶斯公式求。即可从结果分析缘由，所以又称为逆概率那么可用贝叶斯公式求。即可从结果分析缘由，所以又称为逆概率公式。公式。.P21例例8 某医院对某疾病有一种有效的检验方法，可对某医院对某疾病有一种有效的检验方法，可对0.95的该病患者和的该病患者和0.9的无该病者诊断无误，又由历史资料知道该的无该病者诊断无误，又由历史资料知道该病的发病率为病的发病率为0.0004,现有一人用这种方法检验出患该病，求此现

32、有一人用这种方法检验出患该病，求此人确患该病的概率。人确患该病的概率。由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：0038010999609500004095000040. )AB(P)A(P)AB(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P 要求要求P(A|B)解：设解：设A=A=患病患病 ，A=A=无病无病 ，B=B=检查出患病检查出患病 ，B=B=检查出无病检查出无病 那么那么 P(A)=0.0004 P(A)=0.0004， P(A)=0.9996 P(A)=0.9996 P(B|A)=0.95 P(B|A)=0.95， P(B|A)=0.9 P(B|A)=0.9 P(B|A)=

33、1-0.9=0.1 P(B|A)=1-0.9=0.1P21P21例例9 9 .例：例： 有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的能够性有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的能够性分别是分别是0.3、0.2、0.1和和0.4，假设他坐火车、船、汽车来的话，假设他坐火车、船、汽车来的话，迟到的概率分别是迟到的概率分别是 1/4、1/3、1/12，而坐飞机不会迟到。结果，而坐飞机不会迟到。结果他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？解：设解：设A1=A1=坐火车坐火车 ，A2=A2=坐船坐船 ，A3=A3=坐汽车坐汽车 ，A4=A4=坐飞机坐飞机 ， B= B=

34、迟到迟到 。 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：5004010203030121314141. 那么那么 P(A1)=0.3 P(A1)=0.3， P(A2)=0.2 P(A2)=0.2， P(A3)=0.1 P(A3)=0.1， P(A4)=0.4 P(A4)=0.4 P(B|A1)=1/4 P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3 P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12 P(B|A3)=1/12， P(B|A4)=0 P(B|A4)=0 411111 iii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(P要求要求P(A1|B).课堂练习：市场供应的灯

35、泡中甲厂产品课堂练习：市场供应的灯泡中甲厂产品0.6,乙厂产品占乙厂产品占0.4,甲厂甲厂产品的次品率为产品的次品率为0.05,乙厂产品的次品率为乙厂产品的次品率为0.1, 假设买到一只灯泡假设买到一只灯泡是是合格品，求它是由甲厂消费的概率。合格品，求它是由甲厂消费的概率。解：设解：设A1=A1=甲厂消费甲厂消费 ， A2= A2=乙厂消费乙厂消费 ， B= B=合格品合格品 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：61090409506095060. 那么那么 P(A1)=0.6 P(A1)=0.6， P(A2)=0.4 P(A2)=0.4 P(B|A1)=1-0.05=0.95 P(B|A1)=1

36、-0.05=0.95， P(B|A2)=1- P(B|A2)=1-0.1=0.90.1=0.9要求要求P(A1|B) 211111 iii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B(P)BA(P)B|A(PP22 Ex 6-10 P22 Ex 6-10 .P22P22第第6 6题题 两台车床加工同一种零件，第一台出现废品的概率两台车床加工同一种零件，第一台出现废品的概率是是0.030.03，第二台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是0.020.02，加工的零件放一同，加工的零件放一同，并且知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任并且知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任

37、取一零件是合格品的概率。取一零件是合格品的概率。设设i=第第 i 台车床加工的零件台车床加工的零件 ( i =1, 2)，B = 零件是合格品零件是合格品解：解：那么那么 P(A1)= ，P(A2)=3132 P(B|A1)=1-0.03=0.97 P(B|A1)=1-0.03=0.97 P(B|A2)=1-0.02=0.98 P(B|A2)=1-0.02=0.98 那么那么 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)P(A2)P(B|A2) 9809703132.=0.973=0.973.5 事件的独立性事件的独立性 设事件设事件

38、A A和和B B，我们知道条件概率，我们知道条件概率P(A|B)P(A|B)和无条件概率和无条件概率P(A)P(A)能够相等或不相等。能够相等或不相等。显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,知事件知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概率发生的概率,这时称这时称事件事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 . 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划

39、独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约. P ABP A B P B .P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)定义定义5.15.1：事件的独立性：事件的独立性那么称事件与相互独立，简称独立。那么称事件与相互独立，简称独立。假设事件假设事件A，B，满足：，满足：1 5.定理 独立的充要条件为独立的充要条件为、事件事件BA 0,|0, | APBPABPBPAPBAP 或或注：当注：当P(B)P(B)时，时，P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)

40、等价于等价于P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A) 当当P(A)0P(A)0时，时，P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)等价于等价于P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B). 证证 . 先证必要性先证必要性 , 由独立定义知由独立定义知独立独立、设事件设事件BA BPAPABP | , 0 , BPABPBAPBP 时时当当所以所以 BPBPAP AP | , 0 , APABPABPAP 时时当当或者或者 APBPAP BP : 再证充分性再证充分性 , | 则有则有成立成立设设APBAP BPBAPABP| BPAP . , 相互独立相互独立、事件事件由定义可

41、知由定义可知BA. 例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B能否独立？能否独立？解解1:P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2, 可见可见 P(A)= P(A|B), 由定理由定理5.1知事件知事件A、B独立独立.P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13解解2: 两事件能否独立可由定义或经过计算条件两事件能否独立可由定义或经过计算条

42、件概率来判别概率来判别: . 在实践运用中在实践运用中,往往根据问题的实践意义去判往往根据问题的实践意义去判别两事件能否独立别两事件能否独立. 由于由于“甲命中并不影响甲命中并不影响“乙命中的概率，乙命中的概率，故以为故以为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目的射击甲、乙两人向同一目的射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B能否独立？能否独立？例如例如即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率 .一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2假设抽取是有放回的假设抽取是有放回

43、的, 那么那么A1与与A2独立独立.由于第二次抽取的结果由于第二次抽取的结果遭到第一次遭到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：由于第二次抽取的结果由于第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.假设抽取是无放回的，那么假设抽取是无放回的，那么A1与与A2不独立不独立.=P(A)1- P(B)= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B独立独立概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)仅证仅证A与与 独立独立B定理定理 5.2 假设两事件假设两事件A、B独立独立, 那么那么 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.证明证明B= P(A)

44、P( )故故 A与与 独立独立B.多个事件的独立性多个事件的独立性 5.2定义 , , , 21如果对于任意如果对于任意个事件个事件为为设设nAAAn 1 , 1 21有等式有等式和任意的和任意的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 212112 , , . nA AA则称为相互独立的事件那么称事件那么称事件A1 ,A2 ,An A1 ,A2 ,An 相互独立相互独立 即：即： 对于事件对于事件A1 ,A2 ,An ,A1 ,A2 ,An ,假设满足假设满足: : P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P

45、(Aj)P(Ak) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An) P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An). 对于三个事件对于三个事件A、B、C，假设，假设 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,那么称事件那么称事件A、B、C相互独相互独立立.那么称事件那么称事件A1 ,A2 ,An两两独立。两两独立。 留意：留意： 对于事件对于事件A1 ,A2 ,An ,假设只满足假设只满足: P(AiA

46、j)=P(Ai)P(Aj) 即即A1A1，An An 中恣意两个是独立的，中恣意两个是独立的，例如 , 如果满足等式如果满足等式为三事件为三事件、设设CBA CPBPBCPCPAPACPBPAPABP . ABC则三事件 、 、为两两独立的事件 , 等式等式两两独立时两两独立时、当事件当事件CBA CPBPAPABCP . 不一定成立不一定成立两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n (n 2)个事件个事件?.多个事件相互独立的性质：多个事件相互独立的性质：2假设事件假设事件A1 ,A2 ,An 相互独立，那么它们及它们的相互独立，那么它们及它们的对立事件中恣意一部分也是相互独立。对立事件中恣

47、意一部分也是相互独立。 niiniiniinii)A(P)A(P)A(P)A(P11111113假设事件假设事件A1 ,A2 ,An 相互独立，那么相互独立，那么1假设事件假设事件A1 ,A2 ,An 相互独立，那么相互独立，那么A1 ,A2 ,An 中中恣意恣意k(k2)个事件也相互独立。个事件也相互独立。.独立性独立性: :是相对于概率是相对于概率P P而言的而言的, ,指两事件的发生互不影响。指两事件的发生互不影响。互不相容互不相容: : 是两个事件不能够同时发生，即没有公共的是两个事件不能够同时发生，即没有公共的 样本点，但并不涉及到事件的概率样本点，但并不涉及到事件的概率。两事件独立

48、与两事件互不相容的区别两事件独立与两事件互不相容的区别假设假设A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,那么那么A与与B不独不独立立.反之，假设反之，假设A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,那么那么A 、B不互斥不互斥.对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化独立性的概念在计算概率中的运用独立性的概念在计算概率中的运用解：设解：设A=A=甲投中甲投中 B= B=乙投中乙投中 C= C=丙投中丙投中 例例1 1： 补充甲、乙、丙三人各投篮一次，他们投中的补充甲、乙、丙三人各投篮一次，他们投中的概率分别为概率分别为 0.7 , 0.8 , 0.75,

49、求求1三人中恰好有一人投中的概率三人中恰好有一人投中的概率2三人都投中的概率三人都投中的概率3三人中至少有一人投中的概率三人中至少有一人投中的概率ABC=ABC=三人都投中三人都投中 A+B+C= A+B+C=三人中至少有一人投中三人中至少有一人投中 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25 =

50、0.985 =0.985ABC+ ABC + ABC =ABC+ ABC + ABC =三人恰好有一人投中三人恰好有一人投中 P PABC+ ABC + ABCABC+ ABC + ABC = = P PABCABC+P+PABCABC + P + PABCABC =0.7=0.70.20.20.25+0.30.25+0.30.80.80.25+0.30.25+0.30.20.20.75=0.0.75=0.1414.P(A1)=0.4 P(A2)=0.5 P(A3)=0.7 P(A1)=0.4 P(A2)=0.5 P(A3)=0.7 P28P28第第9 9题题 甲乙丙三人向同一飞机射击，击中的

51、概率分别为甲乙丙三人向同一飞机射击，击中的概率分别为 0.4, 0.4,0.5,0.7,0.5,0.7,假设只需一人击中，那么飞机被击落的概率是假设只需一人击中，那么飞机被击落的概率是0.20.2；假设有；假设有二人击中，那么飞机被击落的概率为二人击中，那么飞机被击落的概率为0.60.6；假设三人都击中，那么飞机；假设三人都击中，那么飞机必被击落。求飞机被击落的概率。必被击落。求飞机被击落的概率。 解：设解：设A1=A1=甲击中敌机甲击中敌机 A2= A2=乙击中敌机乙击中敌机 A3= A3=丙击中敌机丙击中敌机 B1=B1=只需一人击中飞机只需一人击中飞机B2=B2=只需两人击中飞机只需两人

52、击中飞机B3=B3=三人击中飞机三人击中飞机 B4=B4=三人全没击中飞机三人全没击中飞机C=C=飞机被击落飞机被击落 P(B1)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.3+0.6 0.5 P(B1)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7=0.36 0.7=0.36 P(B2)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7+0.4 0.5 P(B2)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7+0.4 0.5 0.7=0.41 0.7=0.41 P(C|B1)=0.2 P(C|B2)=0.6 P(C|B3)=1 P(C|B4)=0 P(C|B1)=

53、0.2 P(C|B2)=0.6 P(C|B3)=1 P(C|B4)=0 P(B3)=0.4 0.5 0.7=0.14 P(B3)=0.4 0.5 0.7=0.14 由全概率公式由全概率公式:P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3):P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3) +P(B4)P(C|B4 +P(B4)P(C|B4= 0.2 0.36+0.6 0.41+1 0.14=0.458 = 0.2 0.36+0.6 0.41+1 0.14=0.458 B1=A1 A 2 A 3 + A1A2A3+ B1

54、=A1 A 2 A 3 + A1A2A3+ A1A2A3 A1A2A3 P(B4)=0.6 0.5 0.3=0.09 P(B4)=0.6 0.5 0.3=0.09 .解：解：(1)(1)、当事件与互不相容时，、当事件与互不相容时，AB=AB= ，P(AB)=0P(AB)=0，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7 例例2 2：补充知：补充知 P(A)=0.3,P(B)=0.4, P(A)=0.3,P(B)=0.4,在以下两在以下两 种情况下，求种情况下，求 P(A+B),P(AB) P(A+B),P(AB) (1) (

55、1)当事件当事件A A与与B B互不相容时；互不相容时；(2)(2)当事件当事件A A与与B B独立时独立时 (2)(2)、当事件与独立时，那么：、当事件与独立时，那么：P(AB) = P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12P(AB) = P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12(2)(2)、当事件与独立时，那么：、当事件与独立时，那么：P(AB) = P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12P(AB) = P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0

56、.4-0.12=0.58 P24 Ex1 P24 Ex1 .解：解：知知解得解得 例：课本例：课本P27P271010设两事件设两事件A,B, 0P(A)1, 0P(B)1,A,B, 0P(A)1, 0P(B)1,且且 ，证明，证明A A与与B B相互独立。相互独立。 1 )BA(P)BA(P)BA(P)BA(P 1)BA(P)BA(P )B(P)BA(P)B(P)AB(P )B(P)B(P 1)AB(P)A(P)ABA(P)BA(P)BA(P )B(P)AB(P)A(P)B(P)AB(P 1)B(P)A(P)AB(P 故故A A与与B B独立独立 P29第第10题题.伯努里实验伯努里实验(P

57、33)实验的独立性：实验的独立性： 所谓两个实验所谓两个实验E1和和E2 独立，是指实验独立，是指实验E1 的结果的发生的结果的发生和实验和实验E2 的结果的发生互不影响。即实验的结果的发生互不影响。即实验E1 的任一事件和的任一事件和实验实验E2 的任一事件是相互独立的。的任一事件是相互独立的。 独立实验序列：独立实验序列： 多个实验多个实验E1，E2 ，. En , A1 , A2 , ,An 分别是实验分别是实验E1，E2 ，. En 的任一事件，假设的任一事件，假设A1 , A2 , ,An是相互独立的，那是相互独立的，那么称实验么称实验E1，E2 ，. En 独立实验序列。独立实验序列。 将一个实验将一个实验 E 反复进展反复进展 n 次所得的独立实验