2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案新人教A版选修2-1

1、【学习目标：加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题U问题导学知识点 椭圆标准方程的认识与推导思考1椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？答案 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴或y轴上.标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于彳与召的平方和，并且分母为不相等的正值 a b思考2依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？答案 把方程化为标准形式，与 x 2 2 2 2 2 2 2(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a c)x + a y = a (a c )，为使方程简单、对称、, y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上思考3观察椭圆的形状，你

2、认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程答案 如下图，以经过椭圆两焦点 Fi, F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点 Mx，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为Fi( c, 0) , F2(c, 0).列式：依据椭圆的定义式| MF| + | MF| = 2a列方程，并将其坐标化为.x+ c 2 + y2 +便于记忆，引入字母b,令b2= a2 c2,可得椭圆标准方程为x y 孑+ b= 1( a>b>0).5从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解x，y为坐标的点到椭圆的两个焦点 Fi

3、 c，0，F2 c， 0的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点 都在椭圆上由曲线与方程的关系可知， 方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程梳理1椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0， b2 = a2 c2，焦距为 2cR( c，0)，F2(c，0)22x y0+ 左=1( a>b>0)焦点在y轴上F10， c，F20，c22右+b= 1( a>b>0)2 22方程Ax + By= 1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且 2 B.3椭圆方程中参数a，b, c之间的关系为a2= b2+ c

4、2.例1求焦点在坐标轴上，且经过 A 3， 2和耳2 3，1两点的椭圆的标准方程 解 方法一 1当焦点在x轴上时，2 2一x y依题意有设椭圆的标准方程为 g+詁=1 a>b>0，解得*15,b = 5.2 2一x y故所求椭圆的标准方程为+t= 1.155当焦点在y轴上时，2 2y x设椭圆的标准方程为 J+ 2= 1 a>b>0，依题意有解得a b2a = 5，2b = 15.此时不符合a>b>0，所以方程组无解2 2故所求椭圆的标准方程为 x+y = 1.155方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2+时=1( A>0, B>0且E),依题意有3

5、A 4B= 1,12A+ B= 1,解得1B= 5.2 2故所求椭圆的标准方程为15+倉=1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法 时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置跟踪训练1求适合以下条件的椭圆的标准方程 .35(1)两个焦点的坐标分别是(0，- 2) , (0 , 2)，并且椭圆经过点(一2, 2)； 焦点在y轴上，且经过两点(0, 2)和(1 , 0).解(1) 椭圆的焦点在y轴上，2 2y x设它的标准方程为 g+ £= 1( a>b>0).由椭圆的定义知:2a=3 2522 + 2 + 2 +-32+5

6、22= 2航，即 a=V10又 c = 2,2 2 2 b = a c = 6.所求的椭圆的标准方程为2 2二+x-= 1106(2) 椭圆的焦点在y轴上，2 2y x设它的标准方程为 2+口= 1( a>b>0).a b又椭圆经过点(0 , 2)和(1 , 0),a2= 4,b2= 1.所求的椭圆的标准方程为2y 1 2彳 + x = 1.4类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用2 2例2如图，在圆x + y = 4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD D为垂足当点P在圆上运动时，求线段 PD的中点M的轨迹.解 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(xo, yo),yo22那

7、么 x = xo, y =.因为点 P(xo, yo)在圆 x + y = 4 上，所以xo+ yo= 4.把xo= x, yo= 2y代入方程，2 得 x2+ 4y2= 4，即 半 + y2= 1.所以点M的轨迹是一个焦点在 x轴上的椭圆引申探究假设本例中“过点 P作x轴的垂线段PD，改为“过点 P作y轴的垂线段PD .那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？解设 Mx, y), P(xo, yo),22那么 xo + yo= 4, (*)xox=，2代入(*)式得4+x2= i.y= yo故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.反思与感悟如果一个动点P随着另一个在曲线上运动的动点Q而运动，那么求

8、 P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.根本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x, y)，曲线上动点坐标为Qxi, yi).xi = g x, y ,求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式yi = h x, y .代换：将上述关系式代入曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化简即可.跟踪训练2如下图，B点坐标为(2 , Q) , P是以O为圆心的单位圆上的动点，/POB勺平分线交直线PB于点Q求点Q的轨迹方程.解 由三角形角平分线性质得LBQQ =2.1 Qp 1 Op设 Qx,y),P(xo,y。)，那么(x 2,y)= 2(xo-x,y。一y),x 2 = 2xo

9、 2x,3x 2X0=,y= 2yo 2y,y0= 3y.又点P在单位圆x 23x 2 23 2-) + (2y) = 1.3x 2 2 94y2= 1.点Q的轨迹方程为那么椭圆方程为25+ 9 = 1. 当点a在直线 4 2 +当堂训练1. 方程m+y = 1表示焦点在x轴上的椭圆，那么m的取值范围为()A.(1 ,-,+) Q.1,+s) D.(m, 1)答案解析因为焦点在x轴上，故m>1,应选A.2.设B( 4, 0) , C(4 , 0)，且 ABC的周长等于18,那么动点A的轨迹方程为()2y_2x JAw+ g= 1(尸0)2 2x VQ.亦 + 16 = 1(y 主 0)答

10、案 A解析由| AB + | AQ + |BQ = 18,IBQ = 8,A的轨迹是椭圆的一局部，且2a = 10,2c = 8,即得| AB + I AQ = 10.由椭圆的定义可知，点2 2 2a= 5, c = 4,所以 b = a c = 25 16 = 9,BQ上，即y= 0时，A, B, Q三点不能构成三角形.因2 2x y此，顶点a的轨迹方程是25+ g = 1(yz0).2 2x y3. 椭圆E:孑+ 萨1( a>b>0)的右焦点为 F(3 , 0)，过点F的直线交E于A, B两点假设AB的中点坐标为(1 , 1)，那么椭圆E的方程为答案x y18 + 9 = 12

11、 2解析设 A(xi, yi), B(x2, y2)，那么X2 y a+ 芦1,-得 X1+ X2 2X1-X2 + yi + y2 yi- y2o,2,yi y2b xi + X2-kAB='=严Xi X2a yi + y2由题意，得 Xi + X2 = 2, yi + y2 = 2,b2kAB=“0+1 1乂 kAB=,3- 12'b2 1云=2，2 2 2又 c = a - b = 9,2 2b = 9, a = 18,2 2椭圆E的方程为x y18+ 9 =1.2X 24. 在椭圆3 + y = 1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点Fa出发经椭圆反射后经过另一个焦点Fi

12、,再次被椭圆反射后又回到F2,那么该粒子在整个运动过程中经过的路程为 .答案4 ；;3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a,即4 ：3.5. ABO的三边长a, b, c成等差数列，且 b= 6,求顶点B的轨迹方程.解 以直线AC为X轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设 A( 3, 0) , C(3 , 0), B(x, y),那么| BQ + |AB = a+ c= 2b= 2| AQ = 12, B点的轨迹是以A, C为焦点的椭圆， 且 a，= 6, c'= 3, b' 2= 27.2 2x y故所求的轨迹方程为36+27= i(y丰0).視律与方法'

13、;i. 两种形式的椭圆的标准方程的比拟如下表：标准方程2 2x y_2+_2= 1( a>b>0)a b2 2y x+2 = 1( a>b>0)a b2 22. 所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在a2+b2= 12 2 2 2y xx V与J+ 2= 1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程一 + ' = 1 m>0, n>0,n就不a bm n2 2 能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式：+¥= i类比，如右+b2=1中，由于a>b,所以在x轴上的&qu

14、ot;截距更大，因而焦点在x轴上即看x2, y2分母的大小.要区别a2 = b2 + c2与习惯思维下的勾股定理c2= a2+ b2.40分钟课时作业一、选择题1. “ m>n>0是"方程 mx+ ny2= 1表示焦点在y轴上的椭圆的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2 2解析 方程 mx + ny2 = 1 ,即牛+ y = 1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为1n>0，m>0，即m>n>0.应选C.2. 到两定点Fi 2, 0和F22 , 0的距离之和为4的点M的轨迹是A.椭圆B.线段C.圆D.以上

15、都不对答案 B解析'/| MF| + | MF| = 4 = | FiF2| , M的轨迹是以Fi, F2为端点的线段，应选B.2X3. 椭圆丁 + y2= 1的两个焦点为Fi、F2,过Fi作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,4那么| PF|等于A. -2 B.3 C. 2 D.4答案 C解析 不妨设Fi的坐标为.3, 0 , P点坐标为xo, yo, / PF 与 x 轴垂直， Xo=J3.X 22 i把xo= 3代入椭圆方程+ y = i,得yo=4.i7 PE = . PF| = 4 |PF| = 22 2x y4. 椭圆孑+ b2 = ia>b>0, M为椭

16、圆上一动点，Fi为椭圆的左焦点，那么线段MF的中点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.线段D.直线答案 Bii解析 由题意知| PQ = 2l MF| , | PF| =彳MFI ,又|MF + |MF| = 2a,所以|PQ + |PF| = a>|FiQ = c,故由椭圆的定义知 P点的轨迹是椭圆.2 2一 x y一5. 如果方程-2 += 1表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数 a的取值范围是a a+ 6A. a>3C.a>3 或 a< 2B.a< 2D.a>3 或6<a< 2 答案 D解析 焦点在x轴上，那么标准方程中 x2项的分母应大于 y2项的分

17、母，即a2>a+ 6,解得a>3 或a< 2,且x2, y2项分母应分别大于 0,综上，a>3或6<a<-2.2 2x y6. 椭圆-+乡=1上有一点P, Fi, F2是椭圆的左，右焦点，假设 FiPF2为直角三角形，那么这样的点P有A.3个B.4 个C.6个D.8个答案 C解析 当/ PFF2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当/ PFFi为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，/FPE最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点 P有6个.二、填空题2 27. 椭圆x +鲁=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,至

18、U另一焦点的距离为7,那么mm 16答案 25解析由椭圆定义知| PF| + | PR| = 2a = 10,a= 5,2a = 25,即卩 mR25.28. 设P, Q分别为圆x + y 6 2= 2和椭圆百+ y = 1上的点，贝U P, Q两点间的最大距离是答案 6 .2解析 将P, Q两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径，设Qx,y，那么圆心0,6到椭圆上点的距离 d=, x2 + y 6 2=， 9y2 12y+ 46= 9 y+ ：2 + 50 <52,所以P, Q两点间的最大距离为 6 . 2.2x 29. 设F1, F2分别为椭圆-+ y = 1的左

19、，右焦点，点A, B在椭圆上，假设RA= 5RB,那么点A的坐标是.答案 0 , 土 1解析 根据题意设 A点坐标为m n, B点坐标为c, d.F1, F2分别为椭圆的左，右焦点，其坐标分别为.2, 0 , .2, 0,可得F1A= nu 2, n , F2B= c . 2, d./ FiA= 5F2B,m+ 6 扛 2m225n 2点 A B都在椭圆上， -+ n2= 1,+ 2= 1.335解得m= 0, n=±1,故点A坐标为0 ,± 1.2x10.假设点O和点F分别为椭圆-+ y2= 1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点,+1 PF2的最小值为 .答案 2I0P2解析由题意可知，00，0，F1，0,设 P 2cos a , sin a ),2 2 2 212 2那么 I OP + | PF| = 2cos a + sin