2021解三角形知识题型归纳

1、解三角形常用知识点归纳与题型总结1 三角形三角关系： A+B+C=180 ; C=180° (A+B);角平分线性质定理：角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比锐角三角形性质：假设 A>B>C那么60A 90 ,060 .2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<csinC, cos(AB)cosC, tan (A B) tanC,2(1 )和角与差角公式22si n()sincoscossin ;cos()coscosmsi nsin(2)二倍角公式sin2 a=2cos asin acos22 cos2 sin2cos2 12 sin1 cos22,

2、cos1cos212(3)辅助角公式2(化一公式)3、三角形中的根本关系：sin(A B)sin 口 cosC,cos 口sin C,tan2cotC2tan() tan tan1 mta ntany asinxbcosx . a2 b2 sin(x2sin2tan2tan2其中tana、C的对边，R为C的外接圆的半径，那么有asinbsinc sin C2R .5、正弦定理的变形公式：化角为边：a2Rsi n,b2Rsi n,c 2RsinC ；化边为角：sina,sinbsin C；C中，a、b、c分别为角4、正弦定理：在2R2R a : b: csin:sin2R:sin C ；b cs

3、in C6、两类正弦定理解三角形的问题:asin两角和任意一边，求其他的两边及一角 两角和其中一边的对角，求其他边角 知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)sin sinbsin=2R sin C.(对于已7、三角形面积公式:1S Cbcs in21absi nC 1acsin . =2R2si nAs in Bs inC= 赵=公224Rb c)=2- p(p a)( p b)(p c)(海伦公式)8、余弦定理：在C中，有a2b2 c2 2bccos , b2a2 c2 2ac cosc2 a2 b2 2abcosC .9、余弦定理的推论：cosb2c2 a2a2

4、c2b22bccos2accosCa2 b2c22ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余 弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题： 两边和夹角，求其余的量。 三边求角11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式设a、b、c是 C的角、C的对边，那么:假设2 ab22c ,那么C90o;假设2 ab22 c ,那么C90o;假设2 ab22 c ,那么C90o.12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分

5、线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一:求解斜三角形中的根本元素指两边一角或二角一边或三边，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线高线、角平分线、中线及周长等根本问题.115北京理科在 ABC中，a 4 , b试题分析：sin2A2 sin A cos A2a b2sinCsin Cc5, c6,小 sin 2A那么sin C2 c2 a2 425361612bc62562. 2005年全国高考湖北卷在厶ABC中，AB46厂,cosB3AC边上的中线BD= . 5，求 si nA 的值.分析：此题关键是利用余弦定理，求

6、出AC及BC,再由正弦定理，即得 sinA.126解：设E为BC的中点，连接 DE，那么DE/AB，且DE - AB，设BE = x23在厶BDE中利用余弦定理可得：BD2 BE2 ED2 2BE EDcosBED ,故 BC=2,8 2英空x，解得x 1 , x3363 (舍去八从而AC2 ABBC2 2AB BCCoB 彳，即 AC3口 又 sinB3.30T，、70142、2i故一sin A一3, sin A.306答案： B A 且 00 A 180°,二 A 300在厶ABC中, a = 2 , b= 2'. 2 , C = 15 °题型之二：判断三角形的

7、形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.1. (2005年北京春季高考题)在 ABC中，2sin AcosB sinC，那么 ABC一定是 ()A .直角三角形B .等腰三角形 C.等腰直角三角形D .正三角形解法 1 :由 2sin AcosB sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB= 0，得 sin(A B)= 0，得 A = B.应选(B).解法2:由题意，得cosB =si nC2sin Ac2a，再由余弦定理，得2acosB =b22ac2 2 2旦c一=，即 a2 = b2,得 a = b,

8、应选(B).2ac 2a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统化为边，再判断(如解法2).题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.1.12021新课标理科1 了厂:本小鼬总分值12分已却歎氏广分别为,拧三个内角的对边，cosC+ VsinC-e= 0'll宋八 2a=2.冷C的面积为石；求肉宀【解析】1由正萬定31得,/eosC+ ssiiiC-b i =0oMngcos一L=sin#+shiO sin -cos ©+ y/i sin A sin C_ sin+ < + 5Ln CO J7

9、sin _cos 月二 1 o sin川一3。"一 丄2占一30 30 <=> M 一 iSO2T二斗Acin二 匸> 42.在ABC 中，sin Acos A2,AC2 , AB3,求tan A的值和 ABC的面2积。答案:SABC1 ACAB sin A122Q6?、2 、632244# =护 + 广 _eos A o 丹 + < 4解1 b = E = H 03.07浙江理18 ABC的周长为.21，且 si nA sin B、2sinC .I求边AB的长；1II 假设 ABC的面积为一 sinC ,求角C的度数.6解：I由题意及正弦定理，得 AB BC

10、AC .21，BCAC .2ab,两式相减，得AB 1.1(II )由 ABC 的面积 §BCgACgsinC-sinC，得 BCgAC62 2由余弦定理，得 cosC BCAB22ACgBC2(AC BC)22ACgBC AB2ACgBC所以C 60°.题型之四：三角形中求值问题1. 2005年全国高考天津卷在设a、b、c满足条件b2c2A、bc a2 禾口 -bABC 中,B、1 . 3，求 A和tan B的值.2C所对的边长分别为 ab、c,分析：此题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.解：由余弦定理cosAb2 c22bc1，因此,A 60在1由条件

11、，应用正弦定理 -A2sinCsin (120B)sin B sin Bsin 120 cosB cos120 sin Bsin B1cot B 一2 2,31解得cot B 2,从而tan B -2ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,B ccosA 2cos取得最大值,2并求出这个最大值。解析：由A+B+C=B + C " An,得B2C=2 A，所以有coB+C nB+C ALJ =sin"2。B+CcosA+2cos2""A.AAA=cosA+2s inq =1 2si n2 + 2si 门二一2(si nq3+ 2；.A 1sin =,

12、2 2'nb+C3即A= 时，cosA+2cos BTC取得最大值为。B=.在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c ,si nA1Z2BB C 2 Atan2sin2 的值；2 2(2)假设 a 2 , Sa abc.2，求b的值。解析：1因为锐角厶2 2ABC 中，A+B+C =,sinA，所以.2 B + CsinA2丄2 A+ sin -22 B + C . 2 Atan+ sin =222 B+Ccos2二 1-cgB + C) * I"_cosA)1 + cos (B + C) 21 + cosA ,1=十1 cosA 332.2二-,(1)

13、 求1cosA =3112、2(2)因为 Svabc = - 2,又 SvABC= bcsi nA = bc?，贝V bc= 3。22313222将 a= 2, cosA =, c= 代入余弦定理：a = b + c 2bccos A 中，3b得 b4 6b2+ 9 = 0 解得 b =3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、 面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。4在 ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c,c 2 , C -.3(i)假设 ABC勺面积等于3，求a, b ；(n)假设si nC sin(B A) 2s巾2人，求厶ABC的面积.本小题主要考查三角形的边

14、角关系，三角函数公式等根底知识，考查综合应用三角函数有关 知识的能力.解：(I)由余弦定理及条件得，a2 b2 ab 4 ,又因为 ABC的面积等于3，所以1absin C3，得ab 4 2联立方程组a2 b2 abab 4,(n)由题意得 sin( B A) sin(B A) 4sin A cos A ,即 sin BcosA 2sin AcosA,所以 ABC的面积Sabsin C212分当 cosA0时,AB -, a 空 b2 J32，633，当 cosA0时,得siinB2sin A,由正弦定理得b 2a,联立方程组2 ab2ab42.34'解得abb2a,33题型之五(解三

15、角形中的最值问题)1. ( 2021江西理)在厶ABC 中，角 A , B, C所对的边分别为a , b , c ,cosC (cos A 3sinA)cosB 0.(1)求角B的大小；(2)假设a c 1 ,求b的取值范围 答案：(1) 60°2.(2021新课标n ) ABC在内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,a bcosC csin B (I)求B ;( n )假设b 2 ,求厶ABC面积的最大值答案：(1) 45° +1乂才*"*0a事iCih(肮G -sincosCkos血曲Q . -i4t»Cc<0. i)?y liftS = c

16、«8. 乂饥(0八猶以,I 75(| ) A/lJC的面枳弘毗亍1 由己丸址余伍定理耳4m<t;+c;-2<icCm乂 <j: +c:乡2w故3MCI肖时卑印亞丸闪此鼻肚榊枳的及火山为JU3、在川处中,角月、夂。所刈的边分别是么禺亡，且孑七己_护2(1)求sin2-i + cos2的也(2假设尼2求A面积的舅大低r3、解* (1)由余弦定理：coiiB=sin 2 +cos2B= -r4cg8 丄，得血R (2) dJ44Vb=2,8VT7i j+r = -ac-H42ac acW AABCacsinB 3 (a=c 时取等号)故SZSABC的最大值为34.中已和内

17、Ax R.所村的边&別为輸b.向董“心2对口武_J?|cos22eos: -1 | -I求说角B的大小； ID ill = 2.求压的面积疋的是大值4. (I)解：m"n 二> 2sinB(2cos27 0= /3cos2Brr>2sinBcosB = >/3cos2B n tan2B 一 迈5叮ttV0<2B<TT，二 2B，二锐角 B一-(2)ftl tan2B = 3当B 时b=2r由余弦定理得:4=a24 c2 ac>2acac=ac当且仅当a=c = 2时等号成立ABC 的面积 SAABC = * 恥$LnB=f4Hr仁A ABC

18、的面枚最大值为心1分片B时+b=2,由余弦定理.得*4=昂2 c2 +3ac-> 2ac a/3bc=(2 卜寸3)ik宀 H,仅片 h=c石一£时等号成:匸、.'.ac4(2 )分? A ABC 的面枳 SABC=M acsiiiB=討$2羽/- A ABC的面枳最大值为2_©5.2021新课标I理a,b,c分别为 ABC的三个内角A, B,C的对边，a =2，且(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C，贝U ABC面积的最大值为【解析】：F=| w = 2 3 (2 + )(sin /-sin = kC即W亠方Xsin谢一(厂_力)打口厂

19、由及正第定理得=w+励("一囱一 厂_巾厂j戈r:、F执'、故 COSL=丄，/. ZJ60° ,:_2 _ = Z2 A24 扑+ F -尿*A必打-民'或 *4空扌孑，6A ABC在内角A, B,C的对边分别为 dLL -a,b,c,但山 =OSAA cos A sin A6cos Acos A2-IsinA2(1)求角A的大小假设a=4.求b-c的最大值答案：(1) 60°(2)8解析：1(I)由 a 2bs in A，根据正弦定理得 sin A 2s in B sin A，所以 si nB -，2 n由厶ABC为锐角三角形得 B n.67.

20、 (2007全国1理)设锐角三角形 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.(I)求 B的大小；(n)求cosA+sinC的取值范围.(n) cos A sin C cos A sin由 ABC为锐角三角形知,解得a31所以si n2所以3 由此有2所以，cosAsinC的取值范围为J2,3 3， 2 2.3sin8.三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为 三角形外接圆的半径为a， b， c， 2屈(曲A_ ，) =(a-b)sinB,(1) 求角C的大小(2) 求厶ABC面积的最大值 答案：(1) 60°B c9, ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何

21、值时，cos A 2cos取得最大值,2并求出这个最大值。解析：由 A+B+C= n,得 B2C=2 A，所以有 cosB；C =s inA。B+CcosA+2cos=cosA+2sin 2 =1 2sin2A+ 2s “2= 2(si nq当 sinA = 2,2 2nb+C3即A= 时，cosA+2cosB2C取得最大值为3。题型之六图形中的解三角形注意灵活利用图形来分析3一20Bt'课标I卷理科口本小题总分值口分如图，枉虫ABC申，ZABC = 90°, AB初 * BC=1 AABC 內一点，ZbPC = 9D°娓.(I)?7PB.求疏；假设Zaps = 1

22、50°.求 tanZPBA/. Z,在A PfcA巾，由余弦定理得卜2冥辰討5冷，® £I'设/ a t由得，FB= s in tr ,在A FBA中?由正弦宦理得,磊一牆耸厂优简徐屈嘶皿讼.J7/7.tantt =,二-442.39 2021年涸南住理1恥】 粛小和満分亡分妇團乩 在平而四边A/K'D中A/J=Y，C7J=1, AC=4.I ocsZ 的值；W 假设不*魂4="囂求用厂的检146解：(1)在&4ZV中，那么余弦定理，得coMC4Q= 疋"莎3ZAC-AD由题设条h cosZ6= 7 + 14 =.2万

23、7(2)设那么 a = £BAD£_CAD因为cosZ<S4Z>= - cm厶如=_近，所以714sxnCAD JlVco 頁"力刀二=二1 ,血乙=J1 一曲 的Zjl (也尸=史1. 1414于是 shiff = sin(Z/- Z CA£> = sin Z/osZ CAD cosZ4/%in Z321 2/77 -vTl 4i=() =1471472在站皿中，由正曹定理.故sinff sinZf 创討sill G siilZ<Z44vn图1DB题型之七：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广

24、泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：一.测量问题1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边 选定A、B两点，望对岸标记物 C,测得/ CAB=30，/ CBA=75 , AB=120cm，求河 的宽度。分析：求河的宽度，就是求 ABC在AB精选边上的高，而在河的一边，已测出AB长、/ CAB、/ CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得ACsin CBAABsin ACB AC=AB=120m，又11 SVABCAB AC sin CAB AB CD，解得 CD=60m。22点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于不过河求河宽问题二 .遇险问题2某舰艇测得灯塔在它的东15。北的方向，此舰艇以 30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。假设此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?解析：如图舰艇在 A点处观测到灯塔S在东15。北的方向上；舰艇航行半小时后 到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在 ABC 中，可知 AB=30