大学物理课件ch机械振动

1、主要内容12.1 简谐振动12.2 描述简谐振动的特征量12.3 孤立系统简谐振动的能量12.4 旋转矢量12.5 角谐振动12.6 简谐振动的合成机械振动机械振动: 宏观物体在某一宏观物体在某一平衡平衡位置附近来回往复的运位置附近来回往复的运动称为机械振动。动称为机械振动。 振动与波涉及到物理学的各个领域，是一种振动与波涉及到物理学的各个领域，是一种重要的运动形式；重要的运动形式； 力学中有机械振动与机械波，电学中有电磁力学中有机械振动与机械波，电学中有电磁振荡和电磁波振荡和电磁波, , 。概述概述: 一种典型的周期运动及其传播过程一种典型的周期运动及其传播过程; ;1.简谐振动的特征及其表

2、达式简谐振动的特征及其表达式物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余按余弦弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。XOFFXOXO12.1 简谐振动简谐振动线性回复力：线性回复力：动力学特征动力学特征: :Fkx Fkaxmm 2km 设设：222ddxaxt 二阶常微分方程二阶常微分方程: :222d0dxxt 运动学特征还包括运动学特征还包括: :00 cos() AxAt ( (位位移移) )待待定定常常数数： 振振动动方方程程： ，0d sin()dxvAtt 速速：度度2202d cos()dxaAtt 加加：速速

3、度度00002 , , ttkxxvvaa 当当 时时，周期性周期性： 运动学方程运动学方程由初始条件确定由初始条件确定演示：演示： 位移、速度、加速度与时间的关系位移、速度、加速度与时间的关系42tttxva3. 简谐振动定义简谐振动定义（2）动力学定义：）动力学定义：物体在恢复力作用下产生的振动物体在恢复力作用下产生的振动称为简谐振动。称为简谐振动。 F = - k x（3）简谐振动的简谐振动的运动微分方程运动微分方程 d2x / dt2+ 2 x = 0 （1）运动学定义：）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。正弦函数

4、）规律变化的运动称为简谐振动。)cos(tAx12.2 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量(1)(1)振幅振幅: : 离开平衡位置最远的距离离开平衡位置最远的距离由初始条件确定由初始条件确定00cos()cos ()xAtATt(2)(2)周期和频率周期和频率 周期：周期：频率：频率：单位时间内物体所作完整周期运动的次数。单位时间内物体所作完整周期运动的次数。 12 T单位时间内转动的圈数2200(/ )Axv 2 2TT ( (角频率角频率):):22 T单单位位时时间间内内转转动动的的角角度度XO(3)(3)相位和初相位相位和初相位相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。：决定简谐运动

5、状态的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 时的相位。时的相位。0 通过相位可比较两个谐振动之间在步调上的差异。通过相位可比较两个谐振动之间在步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动：设有两个同频率的谐振动：相位差：相位差：11102220cos()cos()xAtxAt22010100()()tt (b)(b)当当 时时, ,两个振动两个振动反相反相；) 12(k(d)(d)当当 时时, ,称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动 0(c)(c)当当 时时, ,称第二个振动超前第一个振动称第二个振动超前第一个振动 ；0讨论讨论I:I: (a) (a)当当 时时, , 两个振动两

6、个振动同相同相；k2 常量常量 和和 的确定：的确定：A0由初始条件由初始条件 简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式0000cos, sin , xAvA 2200000(/ ) arctg() Axvvx 00 , x 在 -间，一个 值对于问题两个 值 如：何定之？0000000,(,0); si0) n,(0,vAvv 可以通过 的正负性来取舍: 答：00(0):, txxvv 0 cos()xAt 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移超前位比位移超前( (落后落后) ) 。2 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、

7、周期、频率和相位20cos()aAt 0sin()vAt 0cos() ?xAt振动方程,，与它的速度、加速度的相位关系讨论讨论II:II:0cos(/2)mvt0=cos()mat22ddd?, ?dddxvxvattt12.3. 12.3. 简谐振动的能量简谐振动的能量( (弹簧振子为例弹簧振子为例) )动能动能势能势能系统的机械能：系统的机械能：2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAt222220011sin ()cos ()22KPEEEmAtkAt表明表明: : 简谐振动的简谐振动的机械能守恒机械能守恒。221 2/ k mEkA 利利用

8、用： 简谐振动的能量简谐振动的能量能量平均值能量平均值上述结果也对任意简谐振动系统成立。上述结果也对任意简谐振动系统成立。222200111sin ()d24TKEmAttkAT 22200111cos ()d24TPEkAttkAT 2KPEEE谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :cosxAt 212EkA PEkE 简谐振动的能量简谐振动的能量ttxE12.4. 简谐振动的简谐振动的 矢量图示法矢量图示法 旋转矢量旋转矢量: :一长度等于振幅一长度等于振幅A的矢量的矢量 在平面内在平面内绕一绕一端端点点O沿逆时针方向旋转，其旋转角速度相

9、等于沿逆时针方向旋转，其旋转角速度相等于简谐振动的角频率。则该矢量称为简谐振动的角频率。则该矢量称为旋转矢量旋转矢量。A000000, 00, 00: , 0, ,vvvxAxA 上半圆，；下半圆，；XOAA0 x 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向端点端点M在在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动的运动规律规律： 的长度的长度A 旋转的角速度旋转的角速度A旋转的方向旋转的方向A与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角AXOM P xA0t振幅振幅A振动角频率振动角频率 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法0cos() xAt0.040.04

10、12简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 / / T T = (rad /s )0.04 2A = / 2 t = 0v0 从 t = 0 作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即 ，与 已知 X t 曲线一致。v0SI例例1 1 一物体沿一物体沿X轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12m, 周期周期T=2s。当。当t=0时时, 物体的位移物体的位移x=0.06m, 且向且向X轴正向运动。轴正向运动。求求: (1) 简谐振动表达式简谐振动表达式; (2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位置、速度和加速度;

11、 (3) 某时刻该物体从某时刻该物体从 x=0.06m向向X轴负方向运动。当它再一次回轴负方向运动。当它再一次回到平衡位置所需时间？到平衡位置所需时间？解解: : (1)(1)取平衡位置为原点取平衡位置为原点, ,谐振动方程写为：谐振动方程写为：初始条件：初始条件：t = 0, x0=0.06 m, 可得可得00.12cos0.06 03 据初始条件据初始条件 得得, 0sin00Av30 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法0cos()xAt-10.12 m, 2 s, 2/(s )ATT其其中中： 0.12cos(3) (m)xt(2) (2) 由简谐振动表达式可计算得到由简谐振动表达

12、式可计算得到: :代入：代入：t =T/4=0.5 s 可得可得 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法122d0.12 sin(3) (m s )dd0.12cos(3) (m s )dxvttvatt 112220.12cos(0.53)m0.104 m0.12sin(0.53)m s0.18 m s0.12cos(0.53)m s1.03 m sxva (3) (3) 当当x = - -0.06m时时，设，设时刻为时刻为t1 1, ,因此，从因此，从 x = - -0.06m处后又一次回到平衡位置的间隔处后又一次回到平衡位置的间隔另解另解：从从 t1时刻到时刻到t2时刻所对应的相差为时

13、刻所对应的相差为： 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法11cos(3)1 2, 3(23, 23)tt 该时刻速度为负，故舍去该时刻速度为负，故舍去 -2/311323,1stt设设 物体在物体在t t2 2时刻再一次回到平衡位置，相位时刻再一次回到平衡位置，相位是是3/222(3)32, 1.83 stt210.83 sttt 3223560.83st 12.5 12.5 角谐振动角谐振动12.5.112.5.1单摆单摆重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：OsinMmglmgl 222ddMmglgtJmll 222g lTl g 令令：，2202 d0 cos()dmtt mg T

14、l12.6 简谐振动的合成简谐振动的合成12.6.112.6.1同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独立的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：的同频率的简谐振动，两个振动位移为：)cos(1011tAx)cos(2022tAx合位移：合位移：120cos()xxxAt221212201011022001102202cos()sinsintgcoscosAAAA AAAAA 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。函数合成法函数合成法旋转

15、矢量图示法旋转矢量图示法O同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成A矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律轴之投影表征了合运动的规律。12AAA X1A 2A 1x2xx10 20 0 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成两个同频率的简谐运动的相位之差：两个同频率的简谐运动的相位之差：11201220cos(), cos ()xtxAAt20021100()()=tt 常数同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成讨论：讨论：(1)当当 20102k (k=0及及整数整数)，cos(20-10)=1, 有有12Max

16、AAA 同相迭加，合振幅最大。同相迭加，合振幅最大。(2) 当当 2010(2k+1) (k=0及整数及整数), cos(20-10)= -1, 有有反相迭加，合振幅最小反相迭加，合振幅最小。振动相消振动相消且：且：当当A1=A2 时，时，Amin=0。OOmin12AAA(3)通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于AMax和和Amin 之间。之间。2A XX1A 12MaxAAA 1A 2A min12AAA 同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成合振幅最大合振幅最大 振动加强振动加强12.6.2 12.6.2 同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率

17、的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独立的两个独立的同振幅同初相位不同频率的简谐振动，两个振动的同振幅同初相位不同频率的简谐振动，两个振动位移为：位移为：)cos(10111tAx)cos(20222tAx一般情况一般情况一个特例一个特例O12AAA X1A 2A 1x2xx10 20 0 由于频率不同，相差的相位随时由于频率不同，相差的相位随时间变化，和矢量是随时间变化的间变化，和矢量是随时间变化的)cos(11tAx)cos(22tAx)2cos()2cos(2A121221ttxxx1212时，会出现拍的现象拍的现象 8 Hz9 H

18、z两分振动的频率1 秒秒合振动频率合振动振幅 （包络线） 变化的频率称为1 Hz“ 拍频 ”8.5 Hz例如：可看作呈周期性慢变的振幅 频率相对较高的简谐振动消去时间参数，得到消去时间参数，得到 “椭圆方程椭圆方程”)cos(101tAx222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A )cos(202tAy 合成运动是一个合成运动是一个 (x向向)与与 (y 向向) 范围内的范围内的一个一个椭圆椭圆状的运动图案状的运动图案( (其特例有其特例有圆圆和和直线直线) )。 12A22A 椭圆性质椭圆性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确确定之后，主要决定于定之后，主要决定于 。1020两个分运动两个分运动的位移表达式的位移表达式 12.6.3 12.6.3 互相垂直同频率的两个