二维柯西不等式的多角度理解

1、2009年第5期中学数学研究9二维柯西不等式的多角度理解2009年第5期中学数学研究#2009年第5期中学数学研究#陕西师范大学数学系(710062) 罗增儒2009年第5期中学数学研究#2009年第5期中学数学研究15柯西不等式原先只在数学竞赛中出现，但 2003年颁布的舄中数学课程标准选修系列（4 - 5）不等式选讲里，已经加进了柯西不等式，也就 是说柯西不等式将成为选修学生的日常教学要求. 近年，高考也相继出现试题的柯西不等式背景（比 如陕西自主高考命题三年来，每年都有柯西不等式 背景的题冃，参見练习题1,2,3）,在中学里不再是 能不能谈柯西不等式、而是如何谈好的问题了.柯西不等式里既

2、有运算成分又有智慧成分，本 文谈二维柯西不等式的多角度理解，重在揭示表达 式中所蕴涵的智慧因素,并辅以2008年最新数学高 考题的20种解法来作说明，一方面，“由特殊到一 般”为理解维柯西不等式提供坚实的基础，另方面, “以-题多解为载体”提供一个沟通内容联系，优化 认知结构的实际体验.I 二维柯西不等式的内容理解II 从"维柯西不等式说起柯西不等式是：对任意的两纽实数切，"2，- 及力,心,力5 = 2）,有w（£a：）（f 口），I 1i s 1t«1等号成立当且仅当他=kb©为非零常数）.每个数学表达式都既有运算成分又有智慧成 分，对柯西

3、不等式的运算构成可以作这样的理解， 任意给定两组实数他,®,叫,力，仏人,将其对应项“相乘” 之后、“求和”、再“平方”可得（£以,）2,柯西不等 式告诉我们，一般情况下这三种运算并不满足交换 率，先各自“平方”，然后“求和”、最后“相乘”，运算 的结果）不会变小；当且仅当吆= kbt时运算才满足殳换率.这可以成为我们掌握柯西不等式的一个记忆 方法，也可以成为我们应用柯西不等式的一个操作 起点:首先找出两组实数，然后验证“相乘”、“求 和”、“平方”三种运算.经验表明，在找两组实数的 过程中，充满着数学机智.认识"维柯西不等式从二维开始是一个有效途 径，把二维柯西

4、不等式看透了 ,n维柯西不等式证明 的比较法（作差、作商）、判别式法、基本不等式法、 数学归纳法等也就水到渠成了（参见文1 ）1. 2 二维柯西不等式的认识二维柯西不等式是：（ac + bd）2 W （a2 +62）（c2 +护），或ac + W /a2 + b2 c1 + d2,等号成立当且仅当a = kc,b = kd（k为非零常数）， 即 be - ad = 0.证明、并不复杂，但其与中学数学内容的 内在联系却非常广泛，揭示数学表达式的深刻联系 有助于丰富表达式的智葱成分，我们将从9个方面 提供一些初步的认识.由于（a2 +62）（c2 +<） = 0 时不等式显然成立，为了书写的

5、方便，下面的叙述 均假定（/ +b2）（c2 +屮）#0.（1 ）从代数配方上认识.1986年全国初中数学联赛第一（4）题是:设a, b,c,d 都是整数，且 m = a2 + b2 ,n = c2 + 护,则 mn 可以表示为两个整数的平方和，其形式是答案给出了关于a,6,c,d（不限于整数）的恒等 式（由交换率还可以写出一些变形）:（a2 +b2）（c2 +/） = （“+加尸 + （be 册, 由恒等式去掉非负项，可得二维柯西不等式，等号 成立当且仅当be-ad =0,即a = kc,b = kd.可见， 初中就已提供了认识二维柯西不等式的知识基础： 全量大于它的任一部分，配平方提供非负

6、项等.这里的式，可以反过来由式用作差法得 到（其推广就是“维柯西不等式的配方证明）并且 、式可以有广泛的数学理解，下面，我们会 慢慢展开,首先看恒等式的复数含义.（2）从复数运算上认识.记Z = a + bitz2 = c _ di,有zxz2 = （a + 6i） （c -di） = （ac-bd） （bc-ad）i,可见，恒等式实质上就是复数运算'模的乘积等于乘积的模S I引1 IZ?I = I Z,Z2 I，而不等式就是复数的模不会 小于它的实部I Z, I I Z2 I =1卒2丨M&(Z*2),等号 成立当且仅当be - ad = 0,即a二kc,b = kd.“复数

7、的模不会小于它的实部”其实也就是 “直角三角形中斜边不会小于直角边”，考虑到复数 有坐标形式、向帚形式等，这就给我们打开了不等 式的坐标视角、儿何视觉.(3) 从向量数量积上认识.浪=(a,bg二(c,d),由数就积的定义，有 cos丽)=丘瓦=厂、“c + *, 但I cos) I W 1 ,故得.由此可得n维柯西不 等式的向量形式I茁1頂，等号成立当 且仅当向量共线(线性相关).可见，二维柯西不等式又来源于余弦函数的有 界性(利用这一点还可以改写为参数变换的形式). 并且这里的式还可以理解为余弦定理、点与直线 的距离等.(4) 从余弦定理上认识.在坐标平面上取点Ma,b)fB(ctd)(参

8、见示意图1), 一般地，在4A0B中，由余弦 定理有cosZ.40B =0屮+ 0/ -血二图1-204 0B (/ +沪)+(C? +/)- (a -c)2 + (b -d)22 y/a + 62 y/c + d2寿K这正是式,变形可得等号成立当且仅当cos乙MOB二士 17,0"三点共 线原来余弦定理在坐标系中与向量数址积的定义 是相通的.在坐标平面上取点人(5 b) ,B( - d,c)(参见示意图 2),般地,0人的直线方程 为“-好，由点到直线04 的距离BH不大于0B有图2(5) 从点到直线的距离上认识.变形可得，等号成立当且仅当A0丄 0B.可见，二维柯西不等式与“点到

9、直线的垂直距 离最短”又是相通的.据此，二维柯西不等式又可以 与三角形面积相通，如图2,在厶4防中冇Sob = *04 BH W *04 0B.(6) 从面积上认识.一般地，以4(a,6),8(-d,c),0(0,0)为顶点的ZUOB面积为SmobI ac + bd ，得 ac + hd 2S&心=I OA I I OB IsinAOB M 04 I I 03 I = /a2 + b2 + ?.等 号成立当且仅当sinmOB = 1.可见，二维柯西不等式又可以认为是“三角形 的面积不大于两边长乘积的一半”.(7) 从二次函数判别式上认识.不等式&2+沪)2+/) M(ac+加尸

10、的结构 使我们联想到二次函数的判别式不大于0.作开口 向上的二次函数/(%) = (ax + c)2 + (bx + d)2f(x) = (a + b2)x2 + 2(ac + bd)x + (c2 + 护)，由于=0对一切 e R恒成立，故有判别 式不大于0.4(ac + M)2 -4(a2 +62)(c2 +护)WO, BP(a2 +62)(c2 +护)罗(ac + bd)2.等号成立当且 仅当 ax + c = 0 且 bx + d = 0.由这个方法作个数推广，可得«维柯西不等式 的简洁证明.因为判别式来源于二次方程的配方，所以能用 配方法做的题目都可以考虑用判别式法做，并且

11、在 配方法知识链上(参见文2第5章)立即可以导 出基本不等式法.(8) 从基本不等式上认识.由基本不等式得acVa2 + y? + J2同理bd>/a2 + y/c2 +相加局號诗厂，变形即得.(9) 从参数变换上认识.将点A(a,b),B(c4)写成参数式，则 a = a2 + b2cosa, c = 5/? + J2cos3t 7> = >/a2 + 62sir.a, »(/ = /c2 + </2sir3, 则(ac + bd)2 = ( J & + 6? 5/c2 + J2cosaco3 + J & + X J3 + 护 inasin/

12、?)2 = (a2 + b2)(c2 + J2)cos2(a -0) W (a2 +62)(c2 +屮).等号成立当 且仅当 cos2(n- - ft) = 1.还可以写岀更多的思路，不过，所写岀的认识 已经告诉我们，二维柯西不等式与代数配方、复数 运算、向戢数量积、余弦定理、点到直线距离、面积、 二次函数判别式、基本不等式、参数变换等很多知 识都有内在的联系，难怪各种形式的柯西不等式 (向量形式、积分形式、概率形式等)能够成为诸多 现代数学理论的岀发点.2 二维柯西不等式的方法理解下面是2008年的一道高考选择题，可以用柯西 不等式来直接求解.题目(2008年数学高考全国卷理科第10题)通过

13、点 M(cosa,sina),则B. a2 + 621 ；).A.屮 + X w 1;解法1：由已知及二维柯西不等式有】二沁 + a 豊已知条件)W Vcos2a + sin2a Jg + 寺(二 维柯西不等式)=J寺+ *(恒等变形)平方，应 选D.由此可见,本题无非是在二维柯西不等式中取 两个纽数cosa,sina与丄并让“乘积和”及一组 a 0数的“平方和”都特殊化为定值1.既然问题本身有柯西不等式的背景，并且还特 殊化了，那么，不仅当初证明二维柯西不等式的各 个途径可以移植到这道高考题上来，而且特殊条件 有更丰富、更具体的数形含义，特殊题型有更多样、 更精妙的解题技巧，又会给我们提供更

14、多的解题途 径.让我们在二维柯西不等式知识背景的启引下， 慢慢理解题目的非柯西不等式解法.首先从理解题 意开始.2. 1 题意的理解题意的理解可以分为三步：找出题目的条件, 找出题目的结论，找岀条件与结论的基本联系，分 述于下第一步，找出题目的条件.题目的条件有两个组成部分，一部分由选择题 的题干提供，另一部分由4个选项提供.(一)题干的理解.题干很容易从字面上读懂，就是一句话“直线 七+弋=1通过点M(cosa,sina)”,但可以逐步深 入地分解为三点.(1) 宜线= 1使用了截距式，即直线与a 0%轴交于A(a,0),与y轴交于B(6,O)(a6 #0),由 于字母表示数有任意性，所以直

15、线三+ f = 1实质 a b上是一条动直线,不同的a,6可以得出无穷条直线. (参见示意图3中的直线Z)(2) 点Mcoa,sina)的纵横坐标使用了三角函 数，是满足单位圆的参数方程r=c°sa,所以ly = sina M(cosa,sina)也就是单位圆上的动点.(参见示意 图3中的单位圆)(3) 直线艺+= 1通过点M(cosa,sina)就a 0是等式迪+警=1成立(相当于式中ac+bd a o=1)这个式子含有三个字母a,6,a,给我们留下 了无限遐想的空间，可以作出多种表征如方程组a 动直线三+壬=1与单位圆x2 + y2 = 1有a 0公共点(相交或相切).U + Z

16、 = 1 方程组a b -，有实数解.x +72 = 1 双参数三角方程池+警=1有解.a b 复数 Z = cosa + isina ,z2 二丄-4-i 相乘,a 0可孔的实部等于1 向量m = (cosa,sina) 了 =(十,+)的数量积等于1 n = 1. 过椭圆笃+= 1上一点(acosa.bsina)作a b椭圆的切线晋+畔1）（参见示意图4）（二）4个选项的理解4个选项也很容易从字 面上读懂，就是+尸、4 + a1,则切线经过点（1,+与1的大小关系若在坐标 系中取点 4（a,0） ,8（6,0）, 并记RtA4OB斜边上的 高为OH（如图3）,则 /a2 + b2 = &g

17、t;/OA2 + OB2 =可见,；+沪w 1就是斜边W 1心+於M 1就是斜边AB M 1 ;当+寺W 1就是斜边佔上的高0 > 1；+ 1就是斜边AB上的高OH W 1.这是一种儿何解释，以I a I , I 6 I为长短半轴 作椭圆又可以给出另一种几何解释，请参阅图4,不 赘述.值得提起的是,4个选项中“有且只有一个” 也是已知条件.第二，找出题目的结论.就是4个选项中关于a,6的一个不等式，问题 可以理解为,从下面4个命题中确定一个真命题.A. 若沁+警=1,则f +沪$ 1（斜边4Ba bw 1,或（a,6）不在单位圆外）；B. 若+= 1，则 J +b21（斜边 4Ba bM

18、 1,或（a,b）不在单位圆内）；C. 若沁+警=1,则当+吉W 1（斜边佃a ba b上的高OHM1,或（1,1）不在椭圆4 + 4 = 1外）； a bD. 若°些+吧= 1,则1 （斜边ABa ba b上的离0"Wl,或（1,1）不在椭圆斗+签=1内）.a b（参见示意图4）第三，找出条件与结论的基本联系.（差异分析 法）对比题目的条件与结论,应是从等式到不等式 的“条件不等式证明”.而条件与结论之间有4个明 显的目标差： 条件有3个字母，结论只有2个字母，立即作 出反应:消去字母a. 条件有关于a的三角函数，结论没有，立即 作出反应：消去字母a的三角函数.（可以用恒

19、等变 形化为常数，如cos2x + sin2x = I ；也可以放缩为常 数，如 I sin% I W 1） 条件是等式，结论是不等式，立即作岀反应: 或从等式出发放缩为不等式，或从不等式出发通过 等式变形、得出不等式. 条件中字母a,6的次数是1次的，结论中字 母a,b的次数是2次的,立即作出反应:或从等式出 发放缩为不等式时平方升次，或从不等式出发通过 等式变形、放缩为不等式时降次.这样,通过理解题意就把题冃的条件和结论基 本弄清楚了，再作思路探求时，至少可以从上述对+= 1的多种表征得出多个解法.ab2.2解法的发散解法2（直观否定）如图3,过单位圆上点M 的直线/绕点M旋转，与尤轴交于

20、/l（a,0）,与y轴交 于B（6,O）（a6 X0）,当a > 1时可否定选项A,当 I al ,1 61稱很小时可否定选项B、C.直观上否定了 选项A、B、C后，应选D.解法3（特值否定） 取a二60。，得点 幼，当a =- 1,6 =亭时可否定选项A、C； 当a二名时可否定选项B,特值否定了选4o项A、B、C后，应选D.解法4（直观肯定）已知表明，直线f = a b1与单位圆/ +于=|有公共点，直线与单位圆相交 或相切所以，原点到直线的距离不会超过单位圆的半径，如图3有OH =1达到OH =解法5（直观肯定）过椭圆+4=i上一点a bM 1,平方，应选D（当直线与单位圆相切时，可

21、以(acosa,6sina)作椭圆的切 线嗨+譽=,则切线ab经过点(1,1),从而点(1,1)不会在椭圆内部，应选D.解法6(判别式)已知表明，宜线- + - = 1与单位a b图4圆/ +r2 = 1有公共点,消去八得关于X的二次方 程(a2 +62)? -2a62x+a2(62 -1) =0,有实数解, 其判别式非负 A = (>2a62)2 -4(a2 +62)a2(62 -1 ) = 4a2(a2 + b2 - a2b2) M 0,得4 + * M 1，应选D.解法7(正弦函数值域)由直线三+于=1通 a b过点M(cosa,sincr)有1 =竺竺+=aorsin(a + (

22、p)，其中 > = 1 -1 + tt+ arctan * 由 0 V I sin(a + 卩)I W 1，彳寻4 + 善 ba b丁? M 1.应选D.sin (a + (p)I 11 /2 2 、cos2a . sin2a . sin2a+ _j(cosa + slna) =+cos2a、sin2a . n sinacosa丁 "+-+2 =空竺+警r=i,应选d.a b '解法12(复数)记引=cosa + isinaw =丄 a-有 2z2 = (cosa + isina) (i)=/cosa + sinaj 十v a b I (警-竽)i,由复数的模不会小于它

23、的实部ml,变I Zj I I z2 I = I ZXZ2 I M R.(ZZ2)t形，应选DT解法13(向量) 记向飯T = (cosa,sina),w 1,变形，应选Dsinan =(丄,£)，则 cos(wi)=斗= V a ofI mid n I2009年第5期中学数学研究#由宜线+- = 1通a O+警=1,可以化为bcosa. asinaab斗“：+.=二r ：可化为解法联止弦函数值域)过点M(cosa.sina)有竺竺ayZJF島'由正弦函数的值域得解法14(余弦定理)设点P(cosa,sina) tQ(+，*), 般地，在4P0Q中，由余弦定理有,皿 OP2

24、+ OQ2 - PQ2co"。= -iopTdQ =(7 +*) +(赢曲a)-仔一皿)2 +(* 一词1W 1 平方.变形，应选D.由 1 = /co8« + sina2 ： V a b !訂(警-竽)2专土应选D.解法10(配方法)Jr + p-=coS2a ± sin2a) =(£2竺 + 啤町十V a b fsina cosaV1F解法9(配方法)"7i-4)sina _ cosaV =十(sinaa b f a解法11(配方法)由4 +Ml,应选D.cosa+ ±T解法15(判别式)作开口向上的二次函数W 1,变形，应选D.

25、/(*) = ( + cosaj +(亍+ sina) ,«/(*)= (* + *卜2 + 2x + 1.由于/(x) M0 对一切* e R恒成立，故有判别式不大于04 =4-4(書+ *W0,变形，应选D解法16(参数变换)设2009年第5期中学数学研究172009年第5期中学数学研究#二-+ 77°° 阳.a a bri1. f cosa B sina贝 IJ I = + 飞一T +护叨，sScosa + 肓cos(a - 0) W1tsinBsina =+寺，变形，应选D.解法17(面积) 一般地，以卩(+，+)，Q(cosa,sina) ,0(0,0)为顶点的 POQ 面积为1S bAOB0xa-sinacosacosa sinaa + b=I，得 1 = 2S“°q =1 0PI OQ sin 乙 POQ =+ 書sin Z.PO0 W b+寺,变形,应选D.解法18(荃本不等式)由基本不等式有+ Jycos2a6*cosa+ pJabsinar相加77 + F>£T + = i，变形，应选d 解法19(基本不等式)由基本不等式有cos2a1 . 2cosa 2. 1 . 2sina to4tn t . 1