明流条件下圆形隧洞正常水深与临界水深的直接计算

1、明流条件下圆形隧洞正常水深与临界水深的直接计算张宽地，吕宏兴，赵延风（西北农林科技大学水利与建筑工程学院，杨凌 712100）摘 要：无压流圆形断面水力计算中的正常水深、临界水深求解无解析表达式，传统的试算法或查图法不仅计算过程繁琐复杂，而且计算精度不高。该文通过对圆形断面均匀流方程与临界流方程的数学变换，分别得到其正常水深与临界水 深的牛顿迭代公式，同时，通过对正常水深与临界水深对应的中心角与引入参数之间关系的分析及数值计算，利用最优 一致逼近原理分别得到了正常水深与临界水深对应中心角的近似计算式，并以此近似计算式为初值，用迭代方程进行一 次迭代得到了圆形断面均匀流水深与临界流水深的直接计算

2、公式。实例计算及误差分析表明：在工程实用范围内该法正 常水深与临界水深最大相对误差分别为 0.32%和 0.0049%，如用该近似结果再迭代一次，精度高出 103 倍和 105 倍。 关键词：渠道，水力模型，圆形过水断面，水力计算，牛顿迭代法中图分类号：tv131.4文献标识码：a文章编号：1002-6819(2009)-3-0001-05张宽地，吕宏兴，赵延风.明流条件下圆形隧洞正常水深与临界水深的直接计算j. 农业工程学报，2009，25(3)：15.zhang kuandi, lü hongxing, zhao yanfeng. direct calculation for n

3、ormal depth and critical depth of circular section tunnel under free flowj. transactions of the csae, 2009,25(3)：15.(in chinese with english abstract)上方法在工程界都得到了不同程度的运用，但上述方法中直接计算公式均存在精度不高或适用范围受到限制的0引 言圆形断面是输水隧洞、城市供水管道等工程中较常 采用的断面形式之一，过水断面存在自由水面，水流现 象为明渠水流。水力计算中的正常水深与临界水深的计 算是工程设计中的重要参数，应用十分频繁且有较高的

4、精度要求，对于几何形状较为简单的渠道如矩形、梯形 断面，其水力计算问题国内外学者已经进行了大量的研 究工作，也提出了不少简捷的计算方法1-8，但圆形隧洞 正常水深与临界水深的计算需求解高次隐函数方程，且 未知量包含在三角函数中，求解困难。传统的试算法或 近似算法，不仅计算过程繁琐复杂，而且计算精度不高。 鉴于此，近年来国内外学者做了大量研究工作，企图找 到一种公式简单、计算快捷、精度较高的计算公式，以 期获得经济与精度的双重效益。对于圆形隧洞正常水深 的计算方法主要有：韩会玲、王正中，文辉等分别提出 的直接计算式9-11。吕宏兴在 2003 年提出了一种适合计 算机求解的迭代算法12。目前圆形

5、断面临界水深计算主 要有：王正中、孙建等分别在 1996 与 2004 年提出了临 界水深的直接计算式及吕宏兴提出的迭代算法12-14。以问题，文献12中提出的迭代式为振荡收敛，收敛速度慢，不便于工程界直接采用。为此，本文应用行之有效的牛顿迭代算法，提出了一种圆形断面水力计算的直接算法，该算法所构造的计算公式不仅具有结构简明、精度较高，适用范围广等特点，其另一个显著特点也可以作为迭代公式提供高精度的算法程序。1基本公式以曼宁公式表示的明渠均匀流方程为45i . a3q =（1）2np 3临界流方程为：a3aq2c=（2）gbc式中q 流量，m3/s；i 底坡；n糙率；a 过水断面面积，m2；p

6、 湿周，m；ac 临界流对应的过水断面面积，m2；b 临界流对应的过水断面水c面宽度，m；g 重力加速度，通常取9.81 m/s2；a 流速分布不均匀系数，通常取1.0。如图 1 所示，圆形断面的水力要素为：收稿日期：2008-04-25修订日期：2009-01-18基金项目：国家 973 计划课题（2007cb407201）；国家自然科学基金重点项目(40335050)；西北农林科技大学创新团队建设计划（01140202）；黄土高 原土壤侵蚀与旱地农业国家重点实验室基金项目（10501182）作者简介：张宽地（1978），男，宁夏隆德人，博士生，主要从事水工水力学及坡面水流的研究。杨凌 西北

7、农林科技大学水利与建筑工程学院，712100。email：zhangkuandi428通讯作者：吕宏兴（1955），男，陕西陇县人，教授，博士生导师，主 要从事水力学与河流动力学的教学与研究工作。杨凌 西北农林科技大学水 利与建筑工程学院，712100。email：lvhongxing过水断面面积a = 1 d 2 (q - sin q )（3）8p = 1 q d2h = 1 d (1 - cos q )湿周（4）水深（5）22水面宽度bc = d sin(q / 2)（6）ì q = 2.1812m 0.4020 £ m £ 1.9871.978 £

8、 m £ 2.954（11）íîq = 1.5201m 0.99式中q 过水断面湿周对应的圆心角，rad，其余符号同上。 式（3）（6）分别代入式（1）、（2）得圆形断面均匀流方程与临界流方程为：将式（11）作为初值函数，带入式（10）进行一次迭代计算便得到正常水深对应圆心角 q 的高精度直接计 算式。0.4f (q ) = 22.6 ( nq )0.6 q + sin q - q = 0-0.6mq 0.4 + q cosq - sinq（7）（12）q=d 1.6正常0.4mq -0.6 + cosq - 1iq21q当 0 £ m £ 1

9、.987 ，q = 2.1812m 0.402 ；当1.978 £ m £2.954 ，q = 1.5201m 0.99 。3圆形断面临界水深的直接计算法f (q ) = q - 8(sin ) 3 - sin q = 0（8）gd 5 2由此可知，式（7）、（8）是正常水深与临界水深的高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中，两方程 的求解实质为非线性方程式（7）、（8）的求根问题，工程中此类方程的求解一直沿用查图表、试算等低效、低精度的方法。3.1圆形断面临界水深的牛顿迭代公式从圆形断面临界流方程可知，临界水深的计算也可 归结为非线性方程的求根问题，为构造牛顿迭代式，引

10、 入无量纲参数 n。n = q2 / gd 5（13）将式（13）代入式（8）并进行数学变换导出圆形断面临界水深的牛顿迭代公式：q1q - 8( n sin j ) 3 - sin qjj2（14）q= q -j +1 j1q- 2q41 - n 3 (sin j ) 3 cos j - cos qj322图 1 圆形过水断面fig.1 circular water transfer cross section由式（14）计算出临界水深相应过水断面对应中心角q 后，可再由式（5）计算临界水深。3.2合理迭代初值及直接计算公式根据文献4要求，同理可得无量纲参数n的取值范围0n0.5044，本文作

11、者对该范围内n与 q 的500多组数 据运用最优一致逼近法得到近似公式为以下关系式：2圆形断面正常水深的直接计算法2.1圆形断面正常水深的牛顿迭代公式由以上可知，圆形断面正常水深的求解就是非线性 方程的求根问题，在非线性方程 f (q ) = 0 的有效解法中， 牛顿迭代法具有迭代形式简单，收敛速度快等优点，是 数值求根的首选方法15。为构造牛顿迭代格式，引入无 量纲参数 m。q = 2arc cos(1 - 2.0512 n 0.2564 ), 0 £ n £ 0.5044（15）将式（15）作为初值函数，带入式（14）进行一次迭代计算便得到临界水深对应圆心角q 的直接计

12、算式。1qq0 - 8( n sin) - sin q02 0 3m = 22.6 ( nq )0.6 1 （9）q临界 = q -（16）d 1.6i12qq1 - 4 n 3 (sin 0 )- 3 cos 0 - cosq将式（9）代入式（7）并进行数学变换导出圆形断面正常水深的牛顿迭代公式：03220.2564式中q0 = 2arc cos(1 - 2.0512 n) 。上式适用范围为： 0.902 £ q £ 4.40 。-0.6m q 0.4 + q cosq - sin q= j j j j q（10）j +10.4m q -0.6 + cosq -1jj4精

13、度评价由上式（10）计算出正常水深相应过水断面对应圆心角q 后，可再由式（5）计算正常水深。2.2合理迭代初值及直接计算公式迭代计算的精度及收敛速度不仅与迭代格式有关， 而且与迭代初值选取有关。只有寻找具有足够“距离” 的初值与合理迭代函数配合使用，才能保证高的计算精 度和快的收敛速度。根据文献4要求，可得出过水断面 对应的圆心角的取值范围为q 为0.9024.390 rad，相应 地0m2.954。本文对该范围内m与q 的500多组数据运 用最优一致逼近法得到近似公式为以下关系式：根据水工设计要求，过水断面湿周对应的圆心角 介于0.902，4.390之间，因此，只需对此范围内的计算 值与精确

14、值进行比较，即可评价式（12）、（16）的精确性。为了验证本文所提方法的有效性，以及正常水深 与临界水深对应的圆心角 q 直接算式在定义域全程的误差分布状况，根据算式的相对误差分布曲线进行精度评 价。以q 为横坐标，相对误差 e 为纵坐标分别绘制了直接计算公式（12）、公式（16）及迭代一次相对误差分布曲 线如图 2图 5 所示。第 3 期张宽地等：明流条件下圆形隧洞正常水深与临界水深的直接计算3i = 0.001 ，糙率 n = 0.015 ，洞径 d = 3.0 m，试确定设计流量 q = 12.5 m3/s 和 q = 8.0 m3/s 时的正常水深与临界水深。5.1正常水深计算当 q

15、= 12.5 m3/s 时，代入公式（9）计算得到无量纲 参数 m=2.9678 大于 m 的取值范围 0m2.954，即在该 流量时，隧洞内水流会产生明满交替的水流状态，以及 无压隧洞的封顶等不利现象。要想避免该水流状态，就 必须增大设计洞径。因此，计算正常水深没有意义，故 只需计算引水流量为 q = 8.0 m3/s 时的正常水深。解：由式（9）求得图 2 公式（12）相对误差分布fig.2 distribution of relative error by using formula 12m = 22.6 ( nq )0.61= 2.3270d 1.6i因1.978 £ m &

16、#163; 2.954 ，故将q = 1.5201m 0.99 = 3.5072代入式（12）得：图 3 公式（12）迭代一次相对误差分布fig.3 distribution of relative error by using the iterative formula 12 once-0.6m q 0.4 + q cosq - sin qq正常 = 3.49330.4m q -0.6 + cosq - 11q由式（5）得： h0 =d (1 - cos ) = 1.7624 m22精确解 h0 = 1.7624 m ，误差为 0。5.2临界水深计算同理，当引水流量 q = 12.5 m3/

17、s时，超出无量纲参数 n 的取值范围，在工程上是绝对不允许的。因此，只需 计算 q = 8.0 m3/s时的临界水深。解：由式（13）求得无量纲参数 n图 4 公式（16）相对误差分布fig.4 distribution of relative error by using formula 162n = q = 0.0268gd 5将q = 2 arccos(1 - 2.0512n 0.2564 ) = 2.7619 代入式(16)得：1qq - 8( n sin 0 ) 3 - sin q002q= q -= 2.7564图 5 公式（16）迭代一次相对误差分布图fig.5 distribu

18、tion of relative error by using the iterative formula 16 once临界121 - 4 n 3 (sin q0 )- 3 cos q0 - cos q0322由式（5）得临界水深：分析图 2、图 3 可知，在工程实用范围内，正常水深的直接计算式（12）及迭代一次的相对误差最大值局部 点分别为 0.32%和 1.2× 10-5，在绝大范围内（q =0.954.39 rad ） 相 对 误 差 的 绝 对 值 都 分 别 小 于 0.17% 和0.30× 10-5，由图 2、图 3 还可以看出，如用此计算结果 再代入迭代公式

19、（12）仅迭代一次精度提高 103 倍。由图 4、图 5 可知，在工程适用范围内，临界水深的直接计算式（16）及迭代一次的相对误差最大值局部点 分别为 0.0049%和 0.002× 10-4，在绝大范围内（q =1.004.39 rad ） 相 对 误 差 的 绝 对 值 都 分 别 小 于 0.001% 和0.005× 10-7，由图 4、图 5 还可以看出，如用此计算结果 再代入迭代公式（16）仅迭代一次精度提高 105 倍。此精度已远远满足工程设计的要求。5应用举例某 引 水 式 电 站 输 水 隧 洞 为 圆 形 断 面 ， 已 知 底 坡h = 1 d (1 -

20、 cos q ) = 1.2129c22精确解 hc = 1.2129 ，误差为 0。6结论本文在分析圆形隧洞均匀流方程与临界流方程的数 学特性基础上，采用平方收敛的牛顿迭代法构造求解正 常水深与临界水深的迭代格式，并采用最优一致逼近原 理得到迭代初值，直接代入迭代公式得到了圆形断面正 常水深与临界水深的直接计算法。1）本文提出的计算公式与文献911、13、14 提出的计算方法有本质的区别，它不仅可以通过一次迭 代计算得到圆形断面正常水深与临界水深的近似值，便 于工程设计人员直接运用，而且可作为高精度、高速收 敛的迭代公式，为工程设计程序化提供较好的算法。2）从误差分布图可知，圆形隧洞断面正常

21、水深的计57(in chinese with english abstract)韩会玲，孟庆芝非满流圆管均匀流水力计算的近似数值 解法j给水排水，1994，(10)：2526han huiling, meng qingzhi.approximate value solution in hydraulic calculation of uniform flow in partly full circularpipej. water and wastewater engineering，1994，(10)：2526(in chinese with english abstract) 王正中，冷畅俭

22、圆管均匀流水力计算近似公式j给水 排水，1997，(9)：2729wang zhengzhong, leng changjian. approximate formular for hydraulic calculation of uniform flow for pipes withcircular sectionj. water and wastewater engineering，1997(9) : 2729(in chinese with english abstract)文 辉，李风玲，黄寿生圆管明渠均匀流的新近似计算 公式j人民黄河，2006，28(2)：6768wen hui,

23、li fengling, huang shousheng. a new approximate formula tocalculate round section canal in uniform flowj.yellow river, 2006, 28(2): 6768(in chinese with englishabstract) 吕宏兴，把多铎，宋松柏无压流圆形断面水力计算的迭 代法j长江科学院院报，2003，20(5)：1517lü hongxing, ba duoduo, song songbai. hydraulic calculation for free flow

24、in circular section by iterative methodj. journal of yangtze river scientific researchinstitute，2003，20(5)：1517(in chinese with englishabstract)孙 建，李 宇圆形和 u 形断面明渠临界水深直接计算 公式j陕西水力发电，1996，12(3)：3942sun jian, li yu. the approximate solution to the critical depth of round and u-shaped section canal with

25、 an equivalent square coefficient methodj. journal of shaanxi waterpower，1996，12(3)：3942(in chinese with englishabstract)王正中，陈 涛，万 斌，等圆形断面临界水深的新近 似计算公式j.长江科学院院报，2004，21(2)：12wang zhengzhong, chen tao, wan bin, et al. a new approximate formula to critical depth of round section canalj. journal of yan

26、gtze river scientific research institute，2004，21 (2)：12. (in chinese with english abstract)许延生，于锋学，陈 瑛基于牛顿法的梯形明渠临界水算公式收敛速度远小于临界水深的计算公式，故正常水深的计算问题应该为今后研究的重点，随着计算机的普 及，可将新型的优化方法引入该问题的求解，以达到计 算经济，精确度高的双重要求。9致谢：本文在撰写过程中始终得到了西北农林科技大学水利与建筑工程学院王正中教授的悉心指导，在此 表示由衷的感谢。10参 考 文 献汪胡桢水工隧洞的设计理论和计算m北京：水利电 力出版社，1990

27、wang huzhen. design theory and calculation of hydraulictunnelm. beijing: china waterpower press，1990(inchinese) 武汉水电学院水力学教研组水力计算手册m北京： 水利水电出版社，1996wuhan water conservancy and electric power institute. handbook of hydraulic structure analysism. beijing:china waterpower press，1983(in chinese)吕宏兴，裴国霞，杨

28、玲霞水力学m北京：中国农业 出版社，2002lü hongxing，pei guoxia，yang lingxia. hydraulicsm . beijing: china agriculture press. (in chinese)清华大学主编水力学（修订本）上册m北京：高等教育出版社，19801112123413tsinghuauniversity.hydraulics(revisededition)m.beijing: higher education press，1980(in chinese)wang zhengzhong. formula for calculatin

29、g critical depth of trapezoidal open channelj. hydr eng，asce，1998，44(1)：9092prabhata k s, wu s, katopodis c. formula for calculating critical depth of trapezoidal open channelj. hydr engrg，1999，125(7)：785786王正中，袁 驷，武成烈再论梯形明渠临界水深计算法j.水利学报，1999，30(4)：1416wang zhengzhong, yuan si, wu chenglie. a final

30、inquiry on a formula for calculating critical depth of open channel with trapezoidal cross sectionj. journal of hydraulicengineering，1999，30(4)：1416(in chinese with englishabstract) 陈应华，袁晓辉，袁艳斌粒子群优化在临界水深计算中 的应用j水电能源科学，2006，24(1)：5557chen yinghua, yuan xiaohui, yuan yanbin. application of particle sw

31、arm optimization in calculation of critical waterdepthj. water resources and power，2006，24(1)：555614715深直接算法j水动力学研究与进展（a 辑），2003，18(4)：455458xu yansheng, yu fengxue, chen ying. a directformula based on newton algorithm for calculating critical depths of trapezoidal open channelsj. journal of hydrody

32、namics(series a)，2003，18 (4)：455458. (in chinese with englishabstract)8第 3 期张宽地等：明流条件下圆形隧洞正常水深与临界水深的直接计算5direct calculation for normal depth and critical depth of circular sectiontunnel under free flowzhang kuandi, lü hongxing, zhao yanfeng(college of water conservancy and architectural engineering, northwest agriculture and forestry university, yangling 712100, china)abstract: there is no analytical expression to solve the normal depth and critical depth of circular section tunnel underfree flow. the traditional solving methods, such as trial method and chart method, are