广义积分与含参变量的积分 复习

1、广义积分与含参广义积分与含参变量的积分变量的积分 复习复习1.无穷积分无穷积分l(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题命题:若若 收敛收敛,则则 也收敛。也收敛。.| )(|)(AAAAdxxfdxxfadxxf| )(|adxxf)(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l无穷积分收敛的充要条件无穷积分收敛的充要条件引理：若引理：若f(x)是是a,+)上的上的非负非负可积函数，则可积函数，则 收敛的充要条件是：对一切收敛的充要条件是：对一切Aa，积分积分 有界。有界。adxxf)(Aadxxf)(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l定理定理

2、1（比较判别法比较判别法）:设设f(x)与与g(x)在在a,+)上有定义，上有定义，且当且当xXa时有时有0f(x)g(x).又设又设f(x)与与g(x)在任一区间在任一区间a,b上可积，则上可积，则(1)由由 收敛可推出收敛可推出 也收敛；也收敛；(2)由由 发散可推出发散可推出 也发散。也发散。adxxg)(adxxg)(adxxf)(adxxf)(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l推论（比较判别法的极限形式）:设当 xa 时，f(x)0，g(x) 0，它们在任意区间a,b上都可积，且则有以下结论：(1)当0k+时,若 收敛则 收敛；(2)当0k +时,若 发散则 发散。当0k

3、0使使又设函数又设函数g(x)在在a,+ )上单调且趋于零上单调且趋于零(当当x+ 时时)，则，则上述无穷积分收敛。上述无穷积分收敛。.)()(adxxgxf.,)(aAMdxxfAaAadxxf)(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l定理定理3(阿贝尔判别法阿贝尔判别法): 设设f(x)与与g(x)在在a,+)上有定义，上有定义，并考虑无穷积分并考虑无穷积分若无穷积分若无穷积分 收敛，且函数收敛，且函数g(x)在在 a,+ ) 上单调有界，则无穷积分上单调有界，则无穷积分 收敛。收敛。.)()(adxxgxfAadxxf)(adxxgxf)()(2. 2. 瑕积分瑕积分l(1)定义

4、定义a：设函数：设函数f(x)在在(a,b上有定义，且上有定义，且f(x)在任意在任意区间区间a+,b上可积上可积,但但xa+0时时f(x)无界，我们称无界，我们称a为为瑕点瑕点。若极限。若极限 存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分收敛收敛，并定义，并定义否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散。badxxf)(lim00；babadxxfdxxf)(lim)(00badxxf)(2. 2. 瑕积分瑕积分l(1)定义定义b：设函数：设函数f(x)在在a,b)上有定义，且上有定义，且f(x)在任意在任意区间区间a, b -上可积上可积,但但xb-0时时f(x)无界，我们称无界，我们称b为为瑕点。若极限瑕点。

5、若极限 存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分 收敛，并定义收敛，并定义否则称瑕积分发散。否则称瑕积分发散。badxxf)(lim00；babadxxfdxxf)(lim)(00badxxf)(.p，,p，dxxbp1发散1收敛102. 2. 瑕积分瑕积分l(1)定义定义c：设函数：设函数f(x)在在(a,b)上有定义，且上有定义，且f(x)在任意在任意区间区间a+ , b -上可积上可积, a与与b均为均为f(x)的瑕点。的瑕点。若极限若极限 与与 都存在，则称瑕都存在，则称瑕积分积分 收敛，并定义收敛，并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称瑕积

6、分瑕积分 发散。发散。cadxxf)(lim00；cabcbadxxfdxxfdxxf.)(lim)(lim)(0000badxxf)(bcdxxf)(lim00badxxf)(2. 2. 瑕积分瑕积分l(2)(2)瑕积分收敛的充要条件瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理柯西收敛原理:以以a为瑕点的瑕积分为瑕点的瑕积分 收敛的收敛的充要条件是充要条件是: 任给任给0, 存在存在0, 只要只要0 1 , 0 2 , 便有便有badxxf)(.|)(|21aadxxf2. 2. 瑕积分瑕积分l(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分若瑕积分 收敛，则称瑕积分收敛，则称瑕积分

7、绝对收敛绝对收敛；若瑕积分若瑕积分 收敛，但瑕积分收敛，但瑕积分 发散，则称瑕发散，则称瑕积分积分 条件收敛条件收敛。命题命题:若瑕积分若瑕积分 收敛收敛,则则 也收敛。也收敛。badxxf| )(|badxxf)(badxxf)(badxxf| )(|badxxf)(badxxf| )(|badxxf)(2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l定理定理4（比较判别法比较判别法）:设设f(x)与与g(x)在在(a,b上有定义，上有定义，且且a是它们的瑕点。设当是它们的瑕点。设当x(a,c) 属于属于(a,b)时有时有0f(x)g(x)，则则(1)由由 收敛可推出收敛可推出 也收敛；也

8、收敛；(2)由由 发散可推出发散可推出 也发散。也发散。badxxg)(badxxg)(badxxf)(badxxf)(2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l推论（推论（比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式）:若若f(x)与与g(x)在在(a,b有定义，有定义，且且f(x) 0，g(x) 0，并有并有则则(1)当当0k+时时,若瑕积分若瑕积分 收敛则收敛则 收敛；收敛；(2)当当0k +时时,若瑕积分若瑕积分 发散则发散则 发散。发散。当当0k+时时,两瑕积分同时收敛或同时发散。两瑕积分同时收敛或同时发散。badxxg)(badxxg)(badxxf)(badxxf)(),()

9、()(lim0可以为kkxgxfax2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l定理定理(狄利克莱判别法狄利克莱判别法):设积分设积分有唯一的瑕点有唯一的瑕点a, 是是的有界函数，的有界函数， g(x)单调且当单调且当xa时趋于零，则积分时趋于零，则积分收敛。收敛。badxxgxf)()(badxxgxf)()(badxxf)(2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l定理定理(阿贝尔判别法阿贝尔判别法):设积分设积分 有唯一有唯一的瑕点的瑕点a, 收敛，收敛， g(x)单调有界，则积分单调有界，则积分收敛。收敛。badxxgxf)()(badxxgxf)()(badxxf)(2

10、 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分l含参变量的积分含参变量的积分设设u=f(x,y)是是a,b c,d上的一个连续函数，对任意上的一个连续函数，对任意的的y c,d, y到积分值的对应到积分值的对应形成了形成了c,d上的一个函数。上的一个函数。badxyxfy),(010sin ,sin:2dxxxxdxex例如2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分1.连续性连续性定理定理1：设二元函数：设二元函数f(x,y)在闭矩形域在闭矩形域a,b c,d上上连续，则参变量积分连续，则参变量积分 在区间在区间c,d上连续。即对任意的上连续。即对任意的y0c,d, 有有badxyxfyg),(

11、)(.),(lim),(),(lim000bayybabayydxyxfdxyxfdxyxf2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分2.可积性可积性定理定理2：设二元函数：设二元函数f(x,y)在闭矩形域在闭矩形域a,b c,d上上连续，则函数连续，则函数 在区间在区间c,d上可积。上可积。且且即即badxyxfyg),()( badcdcdxdyyxfdyyg,),()(badcbadcdyyxfdxdxyxfdy.),(),(2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分3.可微性可微性定理定理3：设二元函数：设二元函数 f(x,y) 与与 fy(x,y) 都在闭矩形域都在闭矩形域a,b

12、 c,d上连续，则函数上连续，则函数 在区在区间间c,d上可微。且上可微。且即即badxyxfyg),()(,),()(baydxyxfygbaybadxyxfdxyxfdyd.),(),(2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分4.积分上下限是参变量的函数的情况积分上下限是参变量的函数的情况考虑参变量积分考虑参变量积分l若若f(x,y)在在 a,b c,d上连续上连续,u(y),v(y) 在在c,d上连续上连续,且值域包含于且值域包含于a,b之内之内,则则g(y)在在c,d上连续并可积。上连续并可积。l若若f(x,y)及及fy(x,y)在在 a,b c,d上均连续上均连续,u(y),v(

13、y)在在c,d上可导，且值域包含于上可导，且值域包含于a,b之内之内,则则g(y)在在c,d上可导上可导,并有并有)()(),()(yvyudxyxfyg)()().(),()(),(),()(yvyuyyuyyufyvyyvfdxyxfyg3 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分1.含参变量的无穷积分含参变量的无穷积分(1)无穷积分点点收敛无穷积分点点收敛设二元函数设二元函数f(x,y)在在ax0, 存在存在N(依赖依赖和和 y0),当当AN时，时，adxyxf),(0.| )(),(|00ygdxyxfAa.,),()(dycdxyxfyga).(),(lim00ygdxyxfAaA3

14、 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分(3)含参变量无穷积分一致收敛含参变量无穷积分一致收敛定义：设无穷积分定义：设无穷积分 对于区间对于区间Y中的一切中的一切y都都收敛收敛(Y 可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若。若对任给对任给0，存在一个与，存在一个与y无关的实数无关的实数Na，使当，使当AN时，对一切时，对一切yY，都有，都有则称含参变量的无穷积分则称含参变量的无穷积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。adxyxfyg),()(adxyxf),(,|),(|),(-),(|AaAadxyxfdxyxfdxyxf3 3 含参变量

15、的广义积分含参变量的广义积分(4)无穷积分一致收敛的几何意义无穷积分一致收敛的几何意义(5)无穷积分不一致收敛的充分条件无穷积分不一致收敛的充分条件命题：设含参变量的无穷积分命题：设含参变量的无穷积分 在在Y上点点收敛。若存在常数上点点收敛。若存在常数l0,不论不论N多么大多么大,总存在总存在AN及及yAY，使，使则无穷积分在则无穷积分在Y上不一致收敛。上不一致收敛。adxyxf),(, 0),(lim|),(|0kdxyxfldxyxfAyyAA或者3 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分l(5)无穷积分一致收敛的充要条件无穷积分一致收敛的充要条件柯西收敛准则柯西收敛准则:无穷积分无穷积

16、分 在区间在区间Y上一致收敛上一致收敛的充要条件是的充要条件是:对任给对任给0,存在与存在与y无关的实数无关的实数N，使当，使当AN, AN时，对一切时，对一切yY,都有都有adxyxf),(.|),(|AAdxyxf(6)无穷积分一致收敛的无穷积分一致收敛的M判别法判别法l定理定理1（比较判别法比较判别法）:设当设当 yY时，对任意时，对任意Aa,函数函数f(x,y)关于关于x在区间在区间a,A上可积。又当上可积。又当xa时，对一切时，对一切yY，有有且无穷积分且无穷积分 收敛，则含参变量积分收敛，则含参变量积分在在Y上一致收敛上一致收敛。adxx)(adxyxf),()(| ),(|xyx

17、f(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法l定理定理2(狄利克莱判别法狄利克莱判别法)若函数若函数f(x,y)与与g(x,y)满足：满足：(1)当当x充分大后充分大后g(x,y)是是x的单调函数的单调函数( yY), 且当且当x+ 时时，对对 yY， g(x,y)一致趋于一致趋于0;(2)对任意对任意Aa，积分，积分 存在且对存在且对yY 一致有界，一致有界，即存在常数即存在常数M，使对任意使对任意Aa及一切及一切 yY ，都有，都有则含参变量无穷积分则含参变量无穷积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。adxyxgyxf),(),(AaMdxyxf,| ),(|Aa

18、dxyxf),(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法l定理定理3(阿贝尔判别法阿贝尔判别法):若函数若函数f(x,y)与与g(x,y)满足满足：(1)当当x充分大后充分大后g(x,y)是是x的单调函数的单调函数( yY), 且且对对yY 一致一致有界，即存在常数有界，即存在常数M，使当使当x a,+ )，yY时，有时，有(2) 在在Y上一致收敛。上一致收敛。则含参变量无穷积分则含参变量无穷积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。adxyxf),(adxyxgyxf),(),(;| ),(|Myxg(9)(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性含参变量无穷积分的连续性和可积

19、性定理定理4：设函数：设函数f(x,y)在区域在区域a,+) c,d上上连续，且积分连续，且积分 在在c,d上一致收敛，则上一致收敛，则(1) g(y) 在在c,d上连续；上连续；(2) g(y) 在在c,d上可积，且上可积，且adcadcdcdyyxfdxdxyxfdydyyg.),(),()(adycdxyxfyg,),()(10)(10)含参变量无穷积分的可微性含参变量无穷积分的可微性定理定理5：设函数：设函数f(x,y)及及 在区域在区域a,+) c,d上连续，且积分上连续，且积分 在在c,d上点点收敛。上点点收敛。又设积分又设积分 在在c,d上一致收敛，则含参变上一致收敛，则含参变量

20、积分量积分g(y)在在c,d上可导，且上可导，且adxyyxfyg.),()(adxyyxf),(adxyxfyg),()(yyxf),(11)(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件定理定理6：设函数：设函数f(x,y)在区域在区域a,+) c,+ )上连续。又设上连续。又设两个参变量积分两个参变量积分 分别关于分别关于y及及x在任意有穷区间在任意有穷区间c,d及及a,b上一致收敛，上一致收敛，并且两积分并且两积分 中至少有一个中至少有一个存在，则两积分存在，则两积分 都存在且相等，都存在且相等，即即 亦即可交换积分次序。亦即可交换积分次序。a

21、ccadxyxfdydyyxfdx| ),(| ),(|与xadyyxfycdxyxfca,),(,),(及accadxyxfdydyyxfdx),(),(与accadxyxfdydyyxfdx.),(),(定理定理6：设函数：设函数f(x,y)在区域在区域a,+) c, +)上二元连续。上二元连续。又又 分别关于分别关于y及及x在任意有穷在任意有穷区间区间c+,d及及a+,b上一致收敛，且上一致收敛，且中至少有一个存在，则中至少有一个存在，则accadxyxfdydyyxfdx| ),(| ),(|与cadyyxfdxyxf),(),(与accadxyxfdydyyxfdx.),(),(11

22、)两个累次无穷两个累次无穷瑕积分瑕积分可交换积分次序的充分条件可交换积分次序的充分条件2. 2. 含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(1)定义定义：设函数：设函数f(x,y)在在(a,b Y(区间区间)上有定义，上有定义，且在且在a+,b Y上连续上连续,这里这里是任意充分小的数。此是任意充分小的数。此外对任意固定的外对任意固定的yY，f(x,y)作为作为x的函数在的函数在x=a点附点附近无界，即近无界，即a为瑕点。则称为瑕点。则称 是一个以是一个以a为瑕点的含参变量的瑕积分。为瑕点的含参变量的瑕积分。Yydxyxfygba,),()(2. 2. 含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(2)一致收

23、敛的定义一致收敛的定义定义：设含参变量的瑕积分定义：设含参变量的瑕积分在在Y上点点收敛。若对任给上点点收敛。若对任给0，存在与存在与y无关的正数无关的正数0，使得当使得当00, 存在与存在与y无关的无关的0, 只只要要0 1 , 0 2 , 对一切对一切yY，都有都有Yydxyxfba,),(.|),(|21aadxyxf(4)(4)含参变量的瑕积分一致收敛的含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法判别法l定理定理7:设函数设函数f(x,y)在在(a,b Y(区间区间)上连续，且对于任意的上连续，且对于任意的yY， f(x,y)以以a为瑕点。又设为瑕点。又设f(x,y)在在(a,b Y上满足下列条件

24、：上满足下列条件： 其中其中g(x)是定义在是定义在(a,b上的上的连续函数连续函数,且使得瑕积分且使得瑕积分收敛，则瑕积分收敛，则瑕积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。badxxg)(baYydxyxf,),(),(| ),(|xgyxf2.2.含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法l(6)含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法l(7)含参变量的瑕积分的连续性和可积性含参变量的瑕积分的连续性和可积性定理定理8:设函数设函数f(x,y)在在(a,b c,d连续，且含参变量连续，且含参变量的瑕积分的瑕积分 在在 c,d上一致连续，则上一致连续，则(1) g(y)在区间在区间c,d上连续；上连续；(2) g(y)在在c,d上可积，且上可积，且badxyxfyg),()(dcbabadcdyyxfdxdxyxfdy.),(),(2.2.含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(8)含参变量的瑕积分的可导性含参变量的瑕积分的可导性定理定理9：设函数：设函数 f(x,y) 与与 fy(x,y) 都在区域都在区域(a