结构动力学(受迫)

1、m13-3 13-3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动 强迫振动强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyym FP(t )mFP(t )FP(t )弹性力弹性力ky、惯性力惯性力ym 和荷载和荷载FP(t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为: :)()(atFkyymP 一、简谐荷载作用：一、简谐荷载作用：tmFtAsinsin)(22tmFtAtAsinsinsin22tAysinmtFyysin2 )(22mFAtytmFystsin)1 (1sin)1 (22222FmFyst2单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动微分方程振动微分方程

2、特解特解：最大静位移最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。的位移）。tyystsin1122特解可写为：特解可写为：通解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221设设t=0时时的初始位移和初始速度均为零，则：的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动

3、按荷载频率振动平稳阶段：平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：最大动位移（振幅）为：22max11styy22max11styy动力系数动力系数为为：1023123当当/ 1 1时时, ,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。重要的特性：重要的特性：当当/00时时, ,11，荷载变，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。化得很慢，可当作静荷载处理。当当0 0 / 11，并且，并且随随/的增大而增大。的增大而增大。当当/ 1 1时时, ,。即当。即当荷载频率接近于自振频率时，振荷载频率接近于

4、自振频率时，振幅会无限增大。称为幅会无限增大。称为“共振共振”。通常把通常把0.75 0.75 / 1.25 )引起的动力反应引起的动力反应: :)(sin)(tmdFdyP初始静止状态的单自由初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用度体系在任意荷载作用下的位移公式下的位移公式: :dtFmtytP)(sin)(1)(0(Duhamel 积分积分)（13-15）初始位移初始位移y y0 0和初始速度和初始速度v v0 0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式: :)1613()(sin)(1sincos)(000dtFmtvtytytPt3 3、几种典型荷载的动力反应

5、、几种典型荷载的动力反应1 1）突加荷载突加荷载 0,0, 0)(0tFttFPP当当FP(t)tFPdtFmtytP)(sin)(1)(0dtFmtytP)(sin1)(00)cos1 ()cos1 (20tytmFstPyst=FP0=FP0 /m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡位置作简谐振动位置作简谐振动2)(maxstyty2 2）短时荷载）短时荷载 ututFttFPP, 00,0, 0)(0FP(t)tFPu阶段阶段( (00t t u u) )：无荷载，体系以：无荷载，体系以t t= =u u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动为初始条件

6、作自由振动。)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)(sincos )(00tvtyty)(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuytystst)cos)(costutyst或者直接由或者直接由DuhamelDuhamel积分作积分作dtFmtytP)(sin)(1)(0dtFmtyuP)(sin1)(00)cos)(cos20tutmFP)2(sin2sin2utuyst另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。FP(t)tFPFP(t)tFPuFP(t)tFPu)cos1 ()(tytyst)(cos1 ()(utyt

7、yst当当0t u)cos1 ()(tytyst)(cos1 (utyst)cos)(costutyst)2(sin2sin2utuystysty(t)t023T最大动反应最大动反应1）当当 u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段)cos1 ()(tytyststyy2max2）当当u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段 =2)2(sin2sin2)(utuytyst2sin2maxuyyst2sin2u21, 221,sin2TuTuTu当当Tu1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱(与与T和和u之间的关系曲线之间的关系曲线)3 3）线性渐增荷载线性渐增荷载

8、 rPrrPPttFttttFtF当当,0,)(00FP(t)tFP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由DuhamelDuhamel积分来求积分来求解解: :rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)( 对于这种线性渐增荷载对于这种线性渐增荷载, ,其动力反应与升载时间的长短有其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：很大关系。其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.0Ttr1.41.21.01.61.82.0trFP0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1 1与与2 2之间。之

9、间。如果升载很短，如果升载很短，t tr r 44T T, ,则则接近于接近于1,1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。13-4 13-4 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：结论也反应了结构的振动规律，如： 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减

10、直到停止；共振时振幅也事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。的振动规律，就要研究阻尼。忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振

11、动的振幅逐渐衰减自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值共振时的振幅较大但为有限值。2 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦内摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；振动波在土壤中传播而耗散能量；3 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。）土

12、体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：不同，目前主要有两种阻尼理论：* *粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：非弹性力与变形速度成正比：* *滞变阻尼理论滞变阻尼理论yctFR)(关于阻尼，有两种定义或理解：关于阻尼，有两种定义或理解：1 1）使振动衰减的作用；）使振动衰减的作用；2 2）使能量耗散。）使能量耗散。3 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：、阻尼力的确定：总与质点速度反

13、向；大小与质点速度有如下关系： 1 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3 3）与质点速度无关（如摩擦力）。）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。mS(t)FI(t)FP(t)y.kmFP(t)FP(t)(tFRC平衡方程平衡方程)()(tkytS)()(tymtFI )(tFkyycymP 0ymkymcy yctFR)(一、阻尼对自由振动的影

14、响一、阻尼对自由振动的影响0kyycym 令mc2mk2及022yyy 设解为设解为：tBey特征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(（1）低阻尼情形低阻尼情形 ( 1 ),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(,122, 1i令令21rtitirreBeBty)(2)(1)()(21tititrreBeBexixexixeixixsincossincos)sincos()(21tCtCetyrrt由初始条件确定由初始条件确定C1和和C2；设设vyyy)0()0(得得ryvCyC21)sincos()(tyvty

15、etyrrrt)sincos()(tyvtyetyrrrt)sin)(tAetyrt(其中其中yvytgyvyArr122yt0AnAn+1tAerT2讨论：讨论：（1）衰减周期运动）衰减周期运动rrT2振幅振幅tAe（2）阻尼对振幅的影响）阻尼对振幅的影响TTttnneAeAeAAnn)(1yt0AnAn+1tAerrT2riiTAA1ln22r1ln21iiAA利用此式利用此式, ,可以通过实验可以通过实验确定体系的阻尼比，上确定体系的阻尼比，上式也可写成：式也可写成：niiAAnln21rrnnTTttnneAeAeAA)(1(2) =1 原特征根原特征根),1(22, 1于是于是 1,

16、2= - （重根重根） 微分方程的解微分方程的解)()(21CtCetyt由初始条件确定由初始条件确定C1和和C2设设vyyy)0()0(得得yCyvC21tetvtyty)1 ()(y(t)t0yvtg临界阻尼临界阻尼Cr,2mC,2mC 因因mCr2, 1阻尼比阻尼比rCC)2(1mc mnnnnAAmAAln21ln211例例1. 1. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN20kN时顶部侧移时顶部侧移2cm2cm，振，振动一周动一周T=T=1.4s1.4s后，回摆后，回摆1.6cm1.6cm，求大梁的重量，求大梁的重量W W及及6 6周

17、后的振幅。周后的振幅。k2k2W=mg解：解：(1)(1)大梁的重量大梁的重量,kNgkW6 .4869812200496. 024 . 12由skgWT4 . 122(2)自振频率自振频率)(714. 04 . 111HzTfsf148. 42(3)阻尼特性阻尼特性,0355. 06 . 12ln21212)999. 0(1r(4)6周后的振幅周后的振幅TTtteeeyy)(10006106)6(6000yyeeeyyTTttcmyyyy524. 0226 . 1606016EI=m例例2 2、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的

18、质量均集中在横梁处共计为中在横梁处共计为m9.8kN ，加一水平力加一水平力F FP P=9.8kN=9.8kN，测得侧移，测得侧移A A0 0=0.5cm=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T T=1.5s =1.5s 及一及一个周期后的侧移个周期后的侧移A A1 1=0.4cm=0.4cm。求结构的阻尼比。求结构的阻尼比和阻尼系数和阻尼系数c c。解解：0335. 04 . 05 . 0ln21ln211kkyymNAFkP/10196005. 0108 . 94301189. 45 . 122sTk2mc 2m22cm

19、sNmsN/2 .332/33220189. 4101960355. 024kN4.160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk) s ( 5 . 04/2rT) s (4998. 012rTT) s / 1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50mgW)s/mN(36012mc)s/1 (89.1368005190102 . 8252) s/1 (70.11) s (537. 0/2T0257. 02/mckN4 .160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk)s/1 (89.136800

20、5190102 .8252) s (5 .04/2rT) s (4998.012rTT)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW)s/mN(36012mc)s/1 (70.11)s (537.0/2T0257.02/mc1EIEIEI2016.0230%5 .0ln21maxmaxAAnniiAAnln21snT3110kmT22324lEIk 26231079.3)2(24mNTmlEI二、有阻尼的强迫振动二、有阻尼的强迫振动单独由单独由v v0 0引起的自由引起的自由振动振动：瞬时冲量瞬时冲量d ds=Fs=FP Pd dt t=mv=mv0 0所引起

21、的振动，可视为所引起的振动，可视为以以v v0 0=F=FP Pd dt/mt/m，y y0 0= =0 0为初为初始条件的自由振动：始条件的自由振动：tveyrrtsin0tmdtFeyrrPtsin将荷载将荷载F FP P( (t t) )的加载过程的加载过程 看作一系列瞬时冲量：看作一系列瞬时冲量：)(sin)()(temdFdyrtrP总反应总反应dtemFtyrttrP)(sin)()()(0tyvtyerrrtsincos000FP(t)tddFdSP)(t（1）突加荷载突加荷载F FP0)sin(cos1 )(20ttemFtyrrrtP低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y

22、- t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近于静位移y ystst=F=FP P0 0/ /mm2 2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。（2）简谐荷载简谐荷载FP(t)=Fsint)34.15(sin22 tmFyyy设特解为设特解为：y=Asin t +Bcos t代入代入（15-3415-34）得得：222222222222224)(2,4)(mFBmFAsincos21tCtCeyrr

23、t+Asin t +Bcos t 齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。结论结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a)2122222222)(1)(2,4121tgyBAystP振幅振幅：yp，最大静力位移最大静力位移：yst=F/k=F/m2stPyy2122222241stPyy21

24、22222241动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓， 特别是在特别是在/= =1 1附近附近的的 峰值下降的最为显著峰值下降的最为显著。 21 共振时共振时当当接近接近 时，时， 增加很增加很快，快， 对对的数值影响也很大。的数值影响也很大。在在0.750.75 / 1.251.25( (共振区共振区) )内，阻尼大大减小了受迫振动内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，的位移，因此因此, , 为了研究共振为了研究共振时的动力反映

25、时的动力反映, , 阻尼的影响是阻尼的影响是不容忽略。不容忽略。在共振区之外阻尼在共振区之外阻尼对对的影响较小，可按无阻尼的影响较小，可按无阻尼计算。计算。maxmax并不发生在共振并不发生在共振/= =1 1时，而发生在，时，而发生在， 由由y=yPsin(t ) 可见，可见，阻尼体系的位移比荷载阻尼体系的位移比荷载FP=Fsin t 滞后一个相位角滞后一个相位角 ， 21,11max峰21)(1)(2tg但因但因很小，可近似地认为：很小，可近似地认为：221当当时时, ,180180体系振动得很快，体系振动得很快，F FI I很大，很大，S S、 F FR R相相对说来较小，动荷主要由对说来较小，动荷主要由F FI I 平