麦克斯韦-玻尔兹曼分布律概要

1、10.2麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼玻尔兹曼分布律分布律一般气体分子热运动的概念：一般气体分子热运动的概念：分子的密度分子的密度 3 3 10101919 个分子个分子/cm/cm3 3 = 3= 3千千 亿个分子亿个分子/cm/cm3 3 ；分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；分子热运动的平均速度约分子热运动的平均速度约 v v = 500 = 500m m/ /s s ；分子的平均碰撞次数约分子的平均碰撞次数约 z z = 10 = 101010 次次/ /秒。秒。布朗运动是杂乱运动的流体分子碰撞悬浮布朗运动是杂乱运动的流体分子碰撞悬浮 其中的微粒引起

2、的。其中的微粒引起的。分子热运动：分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动大量分子做永不停息的无规则运动一一 分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。(1)(1)无序性无序性某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质

3、区别。是热运动与机械运动的本质区别。10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律1.1.分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征(2)(2)统计性统计性但从大量分子的整体的角度看，存在一定但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。的统计规律，即统计性。例如：例如：在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）是均匀的。（分子运动是永恒的）是均匀的。（分子运动是永恒的）可作假设：气体分子向各个方向运动的机可作假设：气体分子向各个方向运动的机会是均等的，或者说沿各个方向运动的平均分会是均等的，或者说沿各个方向运动的平均分子数应相等

4、且分子速度在各个方向的分量的统子数应相等且分子速度在各个方向的分量的统计平均值也相等。计平均值也相等。对大量分子体系的热平衡态，它是成立的对大量分子体系的热平衡态，它是成立的。10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律宏观量：宏观量：表征大量分子的整体特征的量。如温度、表征大量分子的整体特征的量。如温度、 压强、热容等，是实验中能测得的量。压强、热容等，是实验中能测得的量。微观量：微观量：表征大量分子的整体中个别分子特征的物表征大量分子的整体中个别分子特征的物 理量。如某个分子的质量、速度、能等，理量。如某个分子的质量、速度、能等， 在现代实验条件下是不能直接测得的量。

5、在现代实验条件下是不能直接测得的量。分子热运动具有无序性与统计性，与机械分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。应用统计方法。(3)(3)统计方法统计方法10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律统计方法同时伴随着起伏现象。统计方法同时伴随着起伏现象。 如对气体中某体积内的质量密度的多次如对气体中某体积内的质量密度的多次测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气

6、体分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当体分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当气体分子数较小时，起伏将与平均值可比拟，不气体分子数较小时，起伏将与平均值可比拟，不可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。统计方法：统计方法： 气体动理论中，求出大量分子的某些微观量气体动理论中，求出大量分子的某些微观量的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量，的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量，故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律表示速率在表示速率

7、在 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 . .NNSvvv2.2.分布函数和统计平均值分布函数和统计平均值偶然事件偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复观察：大量出现不可预测的事件。多次重复观察 同样的事件，可获得该偶然事件的分布，同样的事件，可获得该偶然事件的分布， 从而得到其统计规律。从而得到其统计规律。设设：N为一定质量气体的总分子数为一定质量气体的总分子数 10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律v)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总

8、分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比 .vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件vvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比 .v物理意义物理意义T10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律v)(vfo1vS2vvv d)(dfNNvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的

9、分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv 10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律vvnfd)() 1 (vvnfd)(VNd表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数内的分子数。vvvd10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说明下为分子数密度，说明下式的物理意义：式的物理意义：nn)(vfVNnvNNvf ,dd)(QvvNfd)()2(Nd vvNfd)(表示分布在速率区间表示分布在

10、速率区间 内的分内的分子数。子数。vvvd10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义：n)(vfn)(vf)(vf 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义：n 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义： 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义： 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密

11、度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义： 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义：vNNvfdd)( Q 21d)()3(vvvvfnVNnvNNvf ,dd)(Qvvfnvvd)(21 VNNNVN 表示分布在单位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间 内的内的分子数。分子数。21vv 10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律)(vf 为速率分布函数，为速率分布函数， 为分子数密度，说为分子数密度，说明下式的物理意义：明下式的物理意义：n 小孔充分小，改变小孔充分小，改变 ，测测

12、 D D 上的沉积厚度，就上的沉积厚度，就可测气体速率分布可测气体速率分布给定给定 vltlv 小孔充分小，改变小孔充分小，改变 或或 l l ，可使不同速，可使不同速度的分子通过小孔。度的分子通过小孔。OD蒸汽源蒸汽源检测器检测器l抽气抽气抽气抽气 BC10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律二二 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 1. 分子速率的实验测定分子速率的实验测定vvekTmNNkTmvd2232224d麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数2)2(23224)(vekTmvfkTmv热力学温度热力学温度单个分子的质量单个分子的质量玻尔兹曼常量玻尔兹

13、曼常量Tmk麦克斯韦麦克斯韦10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律2. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线pv)(vfvO)(vfv10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1v2v)(vfvO)(vf面积NNvvfdd)( 面积NNvvfvv21d)(v vdv速率在速率在 区间内的分子数占总分子数的比例；或区间内的分子数占总分子数的比例；或分子速率位于分子速率位于 区间内的概率。区间内的概率。 ),(21vv),(21vv速率在速率在 区间内的分子数区间内的

14、分子数占总分子数的比例；或分子速率位占总分子数的比例；或分子速率位于于 区间区间 内的概率。内的概率。),(vvvd),(vvvd10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律2232224)(vekTmvfkTmv0d)(dvvf极值条件极值条件(1) )最概然速率最概然速率: :RTRT41. 12mkTpv210.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律3. 3. 气体的三种统计速率气体的三种统计速率)(vfvpvO最最 概概 然然 速速 率率10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律气体分子速率的算术平均值气体分子速率的算

15、术平均值。NNvvN0dvNNvfdd)( mkTv8mkTv8(2)(2)平均速率平均速率：0d)(vvvf2232224)(vekTmvfkTmvRTRT60. 1810.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律)(vfvvO平均速率平均速率10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律气体分子速率平方的平均值的平方根。气体分子速率平方的平均值的平方根。RTRTmkTv73.1332NNvvN022d02dv)v( fvmkT3(3)方均根速率方均根速率：vNN)v( fdd2232224)(vekTmvfkTmv10.210.2麦克斯韦麦克斯韦-

16、-玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律2v)(vfvO方均根速率方均根速率10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律2v)(vfvpvvO2vvvp三种速率比较三种速率比较2vvvp10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律反比，但三者有一个确定的反比，但三者有一个确定的比例关系比例关系;三种速率使用于不三种速率使用于不 同的场合。同的场合。)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT温度越高，速率温度越高，速率大的分子数越大的分子数越多多同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律321mmm)(vfvO3m2m1m同一温度下不同种气体速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率分子质量越小，速率大的分子数越多大的分子数越多。10.210.2麦克斯韦麦克斯韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 例例3 （教材例（教材例10.3） 试计算气体分子热运动速试计算气体分子热运动速率的大小介于率的大小介于 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 之间的分子之间的分子数占总分子数的百分数。数占总分子数的百分数。pppvv