平面上曲线积分与路径无关的条件PPT课件

1、2021年11月10日星期三1Gyxo 1LQdyPdx则称曲线积分则称曲线积分 LQdyPdx在在G内内 与路与路线线无关无关, , 一、平面曲线积分与路线无关的条件 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域G内有 否则与路否则与路线线有关有关. . 1. 曲线积分与路线无关的定义第1页/共30页2021年11月10日星期三2(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 ddLP xQ y与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 内某一函数的全微分, 即在 D 内有 ddd ;uP xQ y (iv) 在 D 内处处成立 .PQy

2、x 定理1 设 D 是单连通区域. 若函数( ,),P x y( ,)Q x y 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有dd0;LP xQ y第2页/共30页2021年11月10日星期三3 若 ( ,),( ,)P x yQ x y满足定理1 的条件, 则 由上述证明可看到二元函数 ( ,)d( ,),d(ABP x yxQ xuyx yy00(,)(,)( ,)d( ,)dB x yA xyP x yxQ x yy具有性质d ( ,)( ,)d( ,)d .u x yP x yxQ x yy我们也称( ,)u x

3、 y为ddP xQ y 的一个原函数. 二、原函数计算举例第3页/共30页2021年11月10日星期三4第4页/共30页2021年11月10日星期三54sin sin3 cos d3cos3 cos2 dOAxyx xyx y4sin sin3 cos d3cos3 cos2 dABxyx xyx y第5页/共30页2021年11月10日星期三6第6页/共30页2021年11月10日星期三7第7页/共30页2021年11月10日星期三8第8页/共30页2021年11月10日星期三9例3 计算曲线积分(2,3)2(1,1)()().xyxyxyIexyedxx edy 解 由于 2xyxyxye

4、xyex eyx 所所以以原原积积分分曲曲线线积积分分与与路路线线无无关关. . 于于是是有有22xyxyxex ye 第9页/共30页2021年11月10日星期三10(2,3)2(1,1)()().xyxyxyIexyedxx edy 23211()4xxyexedxedy 23211(1)(2)xyx dede 2223111(1)|(1)2|xxyx ee dxe 226232()22eeeeee 62ee 第10页/共30页2021年11月10日星期三11xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 第11页/共30页20

5、21年11月10日星期三12与路径无关的四个等价命题条件在单连通在单连通区域区域D上上),(),(yxQyxP具有连具有连续的一阶偏导数续的一阶偏导数, ,则以下四个命题成立则以下四个命题成立. . 等价命题（1） 在在G内内ddLP xQ y与路径无关与路径无关； （2）dd0LP xQ y，闭曲线，闭曲线LG （3）在在G内存在内存在( , )u x y，使，使duPdxQdy （4）在）在G内，内，PQyx 内容小结第12页/共30页2021年11月10日星期三13作业习 题 9-6 P221 2(2);3(2);第13页/共30页2021年11月10日星期三14思考与练习1. 设曲线积

6、分设曲线积分 Ldyxydxxy)(2与路径无关与路径无关, 其中其中 具有连具有连续的导数续的导数, 且且0)0( ,计算计算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 解:,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 积分与路径无关积分与路径无关xQyP ， 由由xyxy2)( cxx 2)( 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx . 故故 )1 ,1()0,0(2)(dyxydxxy 10100ydydx.21 第14页/共30页2021年11月10日星期三152. 试应用曲线积分求(2sin )d( cos )dxyxxyy

7、 的原函数. 解 这里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整个平面上成立 cos.PQyyx由定理1, 曲线积分(2sin )d( cos )dABxyxxyy只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关. 为此, 取(0,0),( , ),OB x y取路线为图21-22中的折 00( ,)2 dcos dxyu x yx xxy y2sin.xxyC x2122 图图( ,0)C x( , )B x yOy线段 于是有 .OCB第15页/共30页2021年11月10日星期三16ARBASB证 (i)(ii) 如图 21-19, 设 与 为联结点 A,

8、 B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y所以dddd .ARBASBP xQ yP xQ y2119 图图BARS第16页/共30页2021年11月10日星期三17D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分 ddABP xQ y与路线的选择无关, 故当( , )B x y在 D 内变动时, 其 积分值是( , )B x y的函数, 即有 ( , )dd .ABu x yP xQ y取x 充分小, 使 (,),C xx yD 则函数 ( ,)u x y对于 x 的偏增

9、量(图21-20). 00(,)A xy( , )B x y(ii)(iii) 设 为 D 内某一定点, 为 (,)( ,)xuu xx yu x y dddd .ACABP xQ yP xQ yOx2120 图图B0 xADCxxx 0yyy第17页/共30页2021年11月10日星期三18因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以 dddddd .ACABBCP xQ yP xQ yP xQ y因直线段 BC 平行于 x 轴, 故 d0y , 从而由积分中 值定理可得 ddxBCuP xQ y( ,)d(,),xxxP t ytP xx yx (,)( ,)xuu xx yu x y ddd

10、d .ACABP xQ yP xQ y01. ( ,)P x y其中 根据 在 D 上连续, 于是有 第18页/共30页2021年11月10日星期三1900limlim(,)( ,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可证( ,).uQ x yy 所以证得 ddd .uP xQ y ( ,),u x y(iii)(iv) 设存在函数使得ddd ,uP xQ y 因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y于是由 一点处都有 ( , )( , ).xyyxPQux yux yyx即即以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每 ( ,

11、),( , ),xyyxPQux yux yyx第19页/共30页2021年11月10日星期三20(iv)(i) 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线, 记 L 所围的区域为. 由于 D 为单连通区域, 所以区域 含在 D 内. 应用格林公式及在 D 内恒有 PQyx 的 条件, 就得到 ddd0.LQPP xQ yxy 上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了 它们是相互等价的.第20页/共30页2021年11月10日星期三21.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆

12、时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 .343a 03a)(cos)cos1(2 d 应用定理1 中的条件(iv)考察2 中的两个例子 第21页/共30页2021年11月10日星期三22)0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第22页/共30页2021年11月10日星期三23例).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3

13、(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 第23页/共30页2021年11月10日星期三242yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyy

14、yyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B第24页/共30页2021年11月10日星期三25,上上在在 OA,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式第25页/共30页2021年11月10日星期三26使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第26页/共30页2021年11月10日星期三27使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第27页/共30页2021年11月10日星期三28使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第28页/共30页2021年11月10日星期三29注 由定理1 可见, 若 00, , ,xx