竞赛辅导(3)中值定理(2)课件

1、补充结论：补充结论：可可导导。在在时时，则则当当且且仅仅当当处处连连续续，在在其其中中设设axxfaaxxaxxxf )(0)()(|,| )()( B0)(1)(2)(3)(|2|arctan)(. 123DCBAxxxxxf）个数是（个数是（的不可导点的的不可导点的函数函数 方程实根的讨论方程实根的讨论方程实根问题的方程实根问题的一般提法一般提法：1.证明方程是否有实根证明方程是否有实根2.证明函数是否有零点证明函数是否有零点3.证明存在一点证明存在一点 ，使得，使得f( )=c方程实根问题的方程实根问题的一般方法一般方法： 零点定理，介值定理，罗尔定理，利用曲线形态等等零点定理，介值定理

2、，罗尔定理，利用曲线形态等等证明实根唯一的常用方法：证明实根唯一的常用方法： 1.单调性；单调性； 2.反证法（假设有两个实根，证矛盾）；反证法（假设有两个实根，证矛盾）； 3.若有若有f (x) 0,则通常反证时用罗尔定理。则通常反证时用罗尔定理。)1()()1 , 0()2();21()()1 , 01)1()0(1 , 0nffnffffCf ，使使，存存在在对对于于任任意意自自然然数数，使使）存存在在（，求求证证：，且且设设1、应用零点定理应用零点定理例例 1提示提示即即可可。利利用用设设辅辅助助函函数数设设辅辅助助函函数数0)1()1()0()1()()()2()21()()()1(

3、 nnFnFFnxfxfxFxfxfxF )(),()(),(fxxff，使使得得内内必必存存在在一一点点证证明明：在在，上上连连续续，且且设设函函数数在在练习练习提示提示)(lim)()(xFxfxxFx ，考考虑虑设设例例2。，使使得得，求求证证：上上连连续续，在在设设0)(),(0)(lim),()( fxxfxfx提示提示定定理理构构成成的的区区间间上上应应用用零零点点和和在在xxf)(）内至少有一个实根。）内至少有一个实根。，在（在（证明：方程证明：方程20, 1,tan xx练习练习提示提示)(lim)(limtan)(20 xFxFxxxFxx 和和，考考虑虑设设仅仅有有一一实实

4、根根。内内方方程程证证明明：在在，且且上上处处处处有有设设在在0)(), 1(, 3)1(, 2)1(0)(), 1 xfffxf例例 3简答简答故故方方程程有有唯唯一一实实根根。时时，单单调调递递减减。于于是是当当故故再再由由于于有有一一实实根根。应应用用零零点点定定理理可可得得方方程程故故在在由由此此故故，时时，当当, 03)1()(1)(, 0)(2 , 1, 1)2(,35)1(32)()1(2)()1)(1()1()(12 fxfxxfxffxxxfxfxffxfx )()(2)()1(2)(, 2 , 1),(,)(21nixnfxfxfnnfbanibaxbaxf 使使）（证证明

5、明：至至少少存存在在一一点点）内内连连续续，且且在在（设设函函数数2、应用介值定理应用介值定理例例 4）内内至至少少有有一一个个实实根根。，在在（证证明明：方方程程个个实实数数，并并满满足足为为设设200)12cos(3coscos, 012)1(3,2112121 xnaxaxanaaanaaannnn3、应用罗尔定理应用罗尔定理例例 5例例 6内至少有两个零点。内至少有两个零点。在在求证：求证：上连续，上连续，在在设设江苏省江苏省),()(, 0)()(,)()02(baxfdxexfdxxfbaxfbaxba 0)()(), 0(, 0cos)()(, 0)(212100 ffxdxxf

6、dxxfxf使得使得证：证：求求上连续，上连续，在在设设练习练习提示提示0)()()()(0)()()()(, 0)()(,)()( cFabecFdxexFdxexFxFexdFedxexfbFaFbxadttfxFcbaxbaxbaxbabaxxxa，则，则故有故有个零点即可。个零点即可。再找一再找一令令0)(,10,)()(1 , 0)(01010 dxxfdxxfdxxxfxf使使得得），（证证明明：至至少少存存在在一一个个上上连连续续，且且在在设设函函数数练习练习4、应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）无无实实根根？满满足足何何种种

7、关关系系时时，方方程程当当常常数数有有唯唯一一实实根根？满满足足何何种种条条件件时时，方方程程当当常常数数天天津津）设设方方程程（bababaxx,)2(,)1(0024 例例 7一般解题步骤一般解题步骤（1）求出）求出f(x)驻点和驻点和f(x)不存在的点划分不存在的点划分f(x)的单调区间的单调区间（2）求出）求出f(x)的极值（或最值）的极值（或最值）（3）分析极值（或最值）与）分析极值（或最值）与x轴的相关位置，有时需辅以极限轴的相关位置，有时需辅以极限协同分析协同分析答案答案时时，方方程程没没有有实实根根当当时时，方方程程有有唯唯一一实实根根当当0)4()4(0)4()4(31343

8、134 baaabaaa例例9答案答案内零点的个数。内零点的个数。在区间在区间，讨论函数，讨论函数，其中，其中设设), 0()(0sin)(xfxxxf 08天津市竞赛题天津市竞赛题xxxxxfcossin)(1 xxxxxxxxxxxxfcos2sin) 1(sincos2sin) 1()(1212 ),0( x0sin x0)( xf0221cot xxx注意到：当注意到：当时，时，故方程，故方程与方程与方程同解。同解。 221cot)(xxxxg ),0( x命：命：，。又：。又：的的取取值值范范围围。个个解解，求求有有且且仅仅有有一一时时，方方程程考考研研）设设当当（kxkxx1109

9、42 例例83920 kk或或xxxxxxxxxgxxxsin2sin)1(cos2lim221cotlim)(lim000 xxxxxxxxxxxxxxxcossinsin2cos)1(lim21cossincos)1()sin(cos2lim2100 221cotlim)(limxxxxgxx)(xg),0(02sin2sin22121sin1)(2222222 xxxxxxxxg 由闭区间上连续函数零点定理知，由闭区间上连续函数零点定理知，在区间在区间内至少有一个零点。又内至少有一个零点。又)(xg),0()(xg),0()(xf ),0(即即在区间在区间内单调减，所以内单调减，所以在区

10、间在区间内至多有一个零点，从而函数内至多有一个零点，从而函数在区间在区间有一个零点。有一个零点。内仅内仅 (1)证证 为为f (n-1)(x)的最值点或极值点，用费马引理；的最值点或极值点，用费马引理；(2)验证验证f (n-1)(x)满足罗尔定理，用罗尔定理（有时满足罗尔定理，用罗尔定理（有时多次多次用）用）例例 100)(,),()2(;),()()()(),(1, 0)(, 0)(),()(),(,)(212121 fbabxxaxfbfafxfxxbabfafbfafbabaxf使使内内至至少少存存在在一一点点在在使使与与内内存存在在相相异异的的点点）在在（证证明明：内内二二阶阶可可导

11、导，上上一一阶阶可可导导，在在在在设设函函数数提示提示 （1）利用极限的保号性（）利用极限的保号性（2）利用罗尔定理或费马引理）利用罗尔定理或费马引理0)(),()()(,)(- fbabfafbaxf，使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在异异号号，与与上上可可导导，且且在在若若函函数数练习练习。，使，使证明：证明：内二阶可导，且内二阶可导，且上连续，在上连续，在在在设设0)()2 , 0()2()(2 , 0)21()0()2 , 0(2 , 0)(121 ffdxxfffxf提示提示 利用积分中值定理，多次利用罗尔定理。利用积分中值定理，多次利用罗尔定理。)(xf 143)0()(

12、4fdxxf 0)( f设函数设函数在闭区间在闭区间0，1上连续，在开区间（上连续，在开区间（0，1） ，求证：在开区间（，求证：在开区间（0，1），使得，使得内可导，且内可导，且内至少存在一点内至少存在一点练习练习（01年天津市竞赛题）年天津市竞赛题）例例 110)()3 , 0(1)3(, 3)2()1()0()3 , 0(3 , 0)(03 fffffxf使使得得存存在在。试试证证：必必导导，且且内内可可上上连连续续，在在在在考考研研）设设函函数数（例例 12提示提示 利用介值定理，再利用罗尔定理。利用介值定理，再利用罗尔定理。例例 13)()(),()()(),()(),(,)(),(

13、07 gfbabgbfagafbabaxgxf ，使使得得证证明明：存存在在大大值值，导导数数，且且存存在在相相等等的的最最内内具具有有二二阶阶上上连连续续，在在在在设设函函数数考考研研）（提示提示 利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。0)(10)()(0)1()0(1 , 0)(3 FxfxxFffxf，使使）内内，至至少少存存在在一一点点，证证明明：在在（记记，上上具具有有三三阶阶导导数数，且且在在设设函函数数练习练习利用逆向思维利用逆向思维 , 设辅助函数设辅助函数 . 一般解题方法一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个

14、中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,可用原函数法（或微分方程法）找辅助函数可用原函数法（或微分方程法）找辅助函数 .多用罗尔定理多用罗尔定理,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值定理 .(3) 若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理有时也可考虑对导数用中值定理 .)()()(), 0(), 0(, 0)(afffaaaxf ，使，使内至少存在一点内至少存在一点在在内可导，试证明：内可导，试证明：上连续，在上连续，在在在设函数设函数例例14以上利用一些求

15、导公式，以上利用一些求导公式，观察观察所证的特点，设出辅助函数。所证的特点，设出辅助函数。需要记住的求导公式。需要记住的求导公式。)()()()()()()()()()()()()()( )()()()( )()(2)( )()(2)( )()()( )()()( )()()( )(222222xgxgxfxgxfxgxfxxfxxfxxfxgxfxgxfxgxfxfxxfxxfxxfxfexfexxfxfexfexkfxfexfexfxfexfexfxfexfexxxxkxkxxxxx 0)(2)(,100)1()0()1 , 0(1 , 0)( ffffxf使使得得），（证证明明：，内内可

16、可导导，上上连连续续，在在设设例例15思考题思考题0)()()(),(0)()(),(,)(),( gffbabfafbabaxgxf，使得，使得证明：至少存在一个证明：至少存在一个，内可导，且内可导，且上连续，在上连续，在在在设设思考题思考题0)() 1()(2,10),1 ()0( 1 , 0)(98 ffffxf使得使得），（求证：存在求证：存在上二阶可导，上二阶可导，在在）设函数）设函数（江苏（江苏提示提示提示提示)()()(xgexfxF 令令)()1()(2xfxxF 令令)(2)()21()1 , 0(:).0(3)1()1 , 0(1 , 0)( ffffxf ，使得，使得内至

17、少存在一点内至少存在一点在在试证明试证明有有内可导，且内可导，且上连续，在上连续，在在在设函数设函数练习练习)()2()(, 00)(), 0(, 0)( ffaafaaxf ）使得）使得（至少存在一点至少存在一点，证明：，证明：内可导，且内可导，且上连续，上连续，在在设设例例16利用微分方程法求辅助函数利用微分方程法求辅助函数分析分析 .)()(.)(,)(lnln2)(ln,21)(ln:2)()(),()2()(222xxxexfxxFCexfxeCxxfCxxxfxxfxxxfxfxfxxfx 故令故令即即，两边积分，两边积分即即分离变量分离变量提示提示xxfxF21)()( 令令1)

18、()(, 02;)(),1 ,21(1, 1)21(, 0)1()0()1 , 0(1 , 0)(99 ffffffxf使使得得）（，必必存存在在）对对任任意意实实数数（使使得得）存存在在（试试证证：且且内内可可导导，上上连连续续，在在考考研研）设设函函数数（例例17提示提示，用罗尔定理。，用罗尔定理。令令，用零点定理。，用零点定理。令令)()()2()()()1(xxfexFxxfxFx )()1ln()1()(), 0(0)0(), 0()0(, 0)( fxxfxfxxxxf 使使得得，证证明明：至至少少存存在在一一个个且且内内可可导导，上上连连续续，在在在在设设例例19例例180)()

19、()2 , 2(, 4)0()0(1)(2 , 2)(22 ffffxfxf使使得得，证证明明：存存在在一一点点且且，上上具具有有二二阶阶导导数数，在在闭闭区区间间设设函函数数提示提示注注意意利利用用费费马马引引理理令令,)()()(22xfxfxF 提示提示 应用柯西中值定理应用柯西中值定理3)(1 , 1, 0)0(, 1)1(, 0)1(1 , 1)(99 ffffxf）使使得得（证证明明：上上有有三三阶阶连连续续导导数数，且且在在考考研研）设设（例例201)(arctan)1(,100)1(,21arctan)1 , 0(1 , 0)(220)( ffxdxexfxf使使得得），（，则

20、则至至少少存存在在一一点点且且有有内内可可导导，上上连连续续，在在开开区区间间在在闭闭区区间间设设函函数数例例21 （07年天津市）年天津市）提示提示 应用泰勒中值定理应用泰勒中值定理提示提示和罗尔定理。和罗尔定理。，再利用积分中值定理，再利用积分中值定理令令xexFxfarctan)()( 必须多次应用中值定理。必须多次应用中值定理。 一般解题方法一般解题方法: eabeeffbaxfbabaxfab)()(),(, 0)(),(,)(98使使得得，试试证证：导导，且且内内可可上上连连续续，在在在在考考研研）设设函函数数（1)()(),(, 1)()(),(,)( ffebabfafbaba

21、xf，使得，使得证明：至少存在一个证明：至少存在一个内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在设设例例22练习练习一般思路一般思路:（1）先选用一种微分中值定理，然后此中值与给定）先选用一种微分中值定理，然后此中值与给定区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。（2）先把待证等式中含有）先把待证等式中含有 的因子与含有的因子与含有 的因子的因子分别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，分别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，其次在其次在(a, b)内确定一点内确定一点x0，把区间分成两个小区间，把区间分成两个小区间，在每个小区间上再分别用中

22、值。在每个小区间上再分别用中值。1)()(),1 , 0(,22)(),1 , 0(1, 2)1(, 1)0()1 , 0(1 , 0)( ffccfcffxf使使得得）存存在在两两个个不不同同的的点点（；使使得得）存存在在一一点点则则（内内可可导导，且且上上连连续续，在在在在设设afffaaffaxf )(1)(1)(1,), 0(3)(, 0)0(, 0)(321321 得得，使使点点内内存存在在三三个个互互不不相相同同的的试试证证明明：在在，上上可可导导，且且在在闭闭区区间间设设函函数数)()2()(,),(, 2)(, 0)(, 0)(),(,)( fbfbabfafxfbabaxf

23、，使使得得的的两两点点内内至至少少存存在在不不同同试试证证明明：在在且且内内可可导导，上上连连续续，在在在在设设函函数数例例24练习练习例例23xaaaxaeax )(093，证证明明：，常常数数考考研研）设设（211)1ln(112ln12;)1(ln)1(1),1 , 0(9822 xxxxxx）（）（证明：证明：考研）设考研）设（不等式的证明的几种方法不等式的证明的几种方法1、应用函数的单调性应用函数的单调性2、应用微分中值定理应用微分中值定理xxxxx )1ln(11时时，证证明明：当当)()()(, 0, 0, 0)0(, 0)(92212121xfxfxxfxxfxf 有有证证明明：对对任任何何考考研研题题）设设（例例 25例例 26例例 28练习练习02)2(2222exeexxxx时时，证证明明：当当例例27 （07年天津市）年天津市）)(4lnln042222abeabebae ，证证明明：考考研研）设设（3、应用函数的最大值和最小值方法应用函数的最大值和最小值方法 xxxxx221)1ln(190考研题）证明不等式考研题