1989届小学数学奥林匹克竞赛初赛(2)

1、89届小学数学奥林兀克竞赛初赛1. 计算：23410llx(l+2)(l+s)x(l+24-3)(l+2+l)x(l+24-3|+4)(i +2 +3+- -4-9)x(l-i-2 +3+- + id)2. 1到1989这些自然数中的所有数字之和是o3把若干个自然数，2, 3,乘到一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都 是零，那么最后出现的自然数最小应该是o1111 丄丄4. 在1, 2, 3, 4, 5,，»,而中选出若干个数，使它们的和大于3,至 少要选个数。abcbd -efag fff5. 在右边的减法算式屮，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字, 那么d+g=

2、o6. 如图，abfd利cdef都是矩形，ab的长是4厘米，bc的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。7. 甲乙两包糖的重量比是4： 1,如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7:5,那么两包糖重量的总和是克。8. 设1, 3, 9, 27, 81, 243是六个给定的数，从这六个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到 63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是1, 3, 4, 9, 12那么第60个 数是。9. 有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从a地开往b地，乙比丙晩出发10分钟，出发后40分钟追上丙。甲比乙

3、又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上 丙，那么甲出发后需用分钟才能追上乙。10. 有一个俱乐部，里面的成员可以分成两类，第一类是老实人，永远说真话；第二类是骗子，永远说假话。某天俱乐部全体成员围着一张圆桌坐下，每个老实人的 两旁都是骗子，每个骗子的两旁都是老实人。记者问俱乐部成员张三：俱乐部共 有多少成员？张三回答：有45人。李四说：张三是老实人。那么张三是老实人还 是骗子？张三是o11. 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五 小队合干需耍7天完成；如果由第二、四、五小队合干4天完成；如果出第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要

4、天才能完成这项工程。12把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加 起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是o13. 把自然数1, 2, 3,，998, 999分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等地，那么这三个平均数的和是o14. 某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱。小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多分钱。15个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每 90千米休息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次。 他发现恰好有一个休息的地点与去时的一个休息地点相同，那么

5、这个休息地点距甲 地有千米。16. 现有四个自然数，它们的和是1111,如果要求这四个数的公约数尽可能地大，那么这四个数的公约数最大可能是。17. 桌面上有一条长度为100厘米的红色直线，另外有直径分别是2、3、7、15厘米的圆形纸片若干个，现在用这些圆形纸片将桌上的红线盖住，如果要使所用纸片 的圆周长总和最短，那么这个周长总和是o18. 右图是一个边长为2厘米的正方体，在止方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相1同，边长为n厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是平方厘米。19. 小明在左衣袋和右衣袋中

6、分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱 数相等，当任意从左边衣袋取出两个硬币和右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边 衣袋的总钱数要么比原来的钱数多二分，要么比原来钱数少二分。那么两个衣袋中 共有钱。20. 从1, 3, 5, 7, -97, 99中最多可以选出个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数。1989小学数学奥林匹克试题决赛2. 某水池可以用甲、乙两个水管注水单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满.现在要求10小时注满水池，并且屮乙两管合放的时间尽可能地少， 那么甲乙两管合放最少需小时.3. 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上:那么，

7、这10张纸片所盖住桌面上的面积是平方厘米.4. 用圆圈列出的10个数按时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小 数，例如l8929i加，如图所示，那么在所有这种数中最大的一个是5. 有一列数1, 1989, 1988, 1987,，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第1989个数是6. 甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地；同时张平从乙地出发 骑摩托车往甲地.80分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地后，马上折回往乙 地，在 第一次相遇后乂经过20分钟张平在途中追上李明.张平到达乙地后乂马上 折回往甲地，这样一直下去，当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是

8、 次.7. 图（a）是一个直径是3厘米的半圆，ab是直径.让a点不动，把整个半圆逆 时针转60°角，此时b点移动到釧点，见图（b）,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.（兀=3. 14）8. 有4个不同的自然数，它们当中任意两个的和是2的倍数；任意3个数的和是3的倍数，为了使得这4个数的和尽可能小，这4个数分别是9. 在桌面上放置3个两两重迭、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘 米.那么图中3个阴影部分的面积和是平方厘米.10. 图中，把正方体的6个表面都分成9个相等的正方形.现在用红、黄、蓝3种 颜

9、色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形颜色不同.那么用红色染成的正方 形的个数最多是个.11. a、b、c i) e5个人参加乒乓球赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘.规定胜者得2分，负者得0分.现在知道比赛结果是：a和b并列第一名，c是第二 名，d和e并列第四名，那么c的得分是分.12. 从1, 2, 3, 4,1988, 1989这些自然数中。最多可以取个数，其中每两个数的差不等于4.13. 在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有a, b, c, d, e, f, 6个球袋，其中ab=ef=130厘米.现在从a处沿45°方向打出一球，如图所示，碰到桌边 后又沿45方向弹岀，

10、当再碰到桌边时，仍沿45方向弹出，如此继续下去，直到落 入某个袋屮为止.那么它将落入袋屮.14. 将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知其总和为170,如果去掉最大的数和最小的数那么剩下的数的总和为150,在原來已排成的次序屮第 二个数是.15. 将自然数1, 2, 3,依次写下去组成一个数：123456789101112113,如 果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是 初赛：1. 【解】将11989中的每个数看成“四位数”,位数不够的前面补“0” ,从00001999,所有数的数字之和是(0十1 + 2 h 9) x300x2+1x 1000=

11、 45x600+1000 = 28000而从19901999中的所有数的数字之和为1x10 + 9x2x10十(0+19)=10 十 180 + 45= 235从而，所求所有数字之和为28000235 = 277652. 【解】1x2xx5o中有10 + 2=12（个）因数5（在25、50中，因数5各出现2 次，在5的其它倍数中各出现一次）于是，1x2xx55的末尾有13个0,且55为最小的这样的数，即最后出现的自然数最小为553. 【解】首先a=l, b = 0, e=9o再由十位的运算可知f=8,从而c=7,并且10 +dg=8 即 g d=2, g 可能为 6, 5, 4,相应地，d 为

12、 4、3、2。于是 d+g =10、8、 64. 【解】阴影部分的面积和= 100x3-144-2x42= 72（平方厘米）5. 【解】两包糖重量的总和是47_10（4+! 7 + 5）13= 104- 6046 =b （克）6. 【解】根据题意，丙行50分钟的路程乙只需40分钟，所以卞:% =4 : 5；丙行130分钟的路程。甲只需100分钟，人：斥= 10： 13从而岭：陀=26 : 25因为乙早出发加分钟，所以甲出发后追上乙所花的时间为25x204- （26-25） =500（分钟）.7. 【解】张三是骗子因为骗子与老实人是相间地围着圆桌坐的，所以两考人数相 等，俱乐部的人数必定是偶数，

13、张三讲的是假话，他是骗子.&【解】设原来的两位数为云，则交换i位数字与个位数字后的两位数为云，两 个数的和为卩 + * = 10x + y+10y + x=llx （x+y）是11的倍数，因为它是平方数，所以也是11x11 = 121的倍数但这个和< 100+100 = 200<121x2,所以这个和数为 121。9. 【解】小赵的钱至多能买50个，而50 = 9x5十5x1因此，小赵有7x5 + 4x 1 = 39（分）小李的钱至多能买500个。而500 = 9x55 + 5x1因此，小李有7x55+4x1 = 389（分）于是小李比小赵多389-39 = 350（分）1

14、0. 【解】设这个休息地距屮地有a公里，显然a为90的倍数.且a-50为100的倍数，此时a就只能为450.从而这个休息地距甲地有450公里.11. 【解】这些圆纸片的直径的和2100.所以它们的周长的和2100皿314（厘米）另一方面，这些圆可以恰好将长为100厘米的红线盖住（例如用10个7厘 米，2个15厘米的圆，或50个2厘米的圆）.因此，圆周长总和最短时，这个周长总和是314厘米.1 i i 112. 【解】2x2x6+1x1x4+ x 弓 x4+彳 x 債 x4= 29. 25（平方厘米）i _ 3 _ 4 _ _ 1013. 解原式=-而 3660 45x551 丄丄 丄丄=1 （

15、1 3 ） （ 3 6） （ 6 10 ）一（45 55 ）i(1-55)1=5514.【解】2 3 456 781+1+1+1 21 1 1= 24-4 + 5 + (7 + 10=2+ 45 78 <2+4 x4 = 3i i 2 ) + (8 4-9)<24-4+ 4 + 4 + 4 =3i+l+l+l+l+l+l+uul+l23456789 1011= 2+45 78 + 9 + 10+ 11i i j_ i i l 丄丄 i i i _i j_ j_=2+4 + (5+ ») + (? + 9) + (8 + a+ n)>2+4+ 4 + 4+8 +a +

16、 121111= 3+4 (3+5)-8 >3所以至少要选11个数15. 【解】最大的(即第63个数)是1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364第60个数(倒数第4个数)是364-1-3 = 360.2ii 丄16. 【解】1 一 （12+亍+ ： x2+42）3=4（夭）.'即5个小队合干需要4天.【注】第二、四、五3个小队合干也只需要4天，所以在木题中第一、三这2个小 队实际上没有人干活，这是不符合实际的。命题者考虑不够周到.17. 【解】若设每一组的平均数均为a0+999）x999别总和为999a=2a = 500 500x3=1500从而这三组平均教

17、的和为1500.18. 【解】这4个数的公约数必为1111的约数，而 1111 = 11x101又 11 = 1 十 2 + 3 + 5所以,101, 2x101, 3x101, 15x101的和为1111,且最大公约数为101因此，这四个数的公约数最大是10119. 【解】设右边衣袋的硬币“町、坊比左边的巧、町多2分.右边的巧、為比左 边的巧、禺少2分，于是这8枚硬币的钱数正好相等.由于两边钱数相等，所以左边剩下的内、右比右边的巧、毎多2分，比， 右边的引、切也多2分，从而巧、毎的钱数是2分，引、切的钱数也是2分，而 与、右的钱数是4分.由于左边的两枚硬币可以任意选取，而且不可能比2分钱少2

18、分，所以左 边每两枚的钱数是4分，左边6枚共12分，两个衣袋共有24分钱.20. 【解】35, 37,，99这33个数屮，每一个数都不是另一个数的倍数（因为 35x3>99）.另一方面，将1，3, 5,，99这50个数，每一个都写成犷t的形 式.其中a是0或口然数，t是不能被3整除的自然数，由于1, 3,，99中有 17个数是3的倍数，剩下50-17 = 33不是3的倍数，所以t的值只有33种.于是从1, 3, 5,，99中任取34 个数，其屮必有两个数的t相同，从而一个数是另一个数的倍数.因此答案是33.决赛:1. 【解】原式=4 x 5 x （4. 85 + 6. 15）-3. 6

19、+ 5. 5-4 x 21 1 1=4 x3.6x （11-d+11x （0. 5-3）11=9+ 65=10 6丄 xuj 唸 t2. 【解】» （小时）.3. 【解】第一张纸片盖住的面积是3x2 = 6（平方厘米）后而每增加一张（纸片）.多 盖（3-2） x2 = 2（平方厘米）.于是，这10张纸片盖住桌面上的面积是6 + 2x9： 24（平方厘米）4. 【解】最大的是9.2918929155. 【解】数列 1, 1989, 1988, 1, 1987, 1986, 1, 1985, 1984,中每隔 3 个数 有一个1,去掉1以后，每个数比前一个少119894-3=663,所以

20、第 1989 个数是 1989-663x2 + 1 = 664.6. 【解】假设李明20分钟行走1份，则李明80分钟走4份，于是，张平在20分 钟内可行驶4x2 + 1=9（份）即李明与张平的速度比为1 ： 9由此，当李明从甲走到乙时张明从乙到甲，从甲到乙，共走了 9次于是，张平共追上李明7. 【解】阴影部分的面积等于全部图形的面积减去一个直径为3厘米的1半圆的面积，从而等于一个半径为3厘米的圆的面积的恳即16 x ji x 3a = x3. 14x9-4.71(平方厘米)&【解】任两个数的和是2的倍数，所以这些数的奇偶性相同任三个数的和是3的倍数，所以这些数除以3,所得余数必定相同(

21、否则在 三个数的和中换一个数，和将不是3的倍数)于是，这些数除以6所得余数相同。和最小的四个数是1, 7(=1+6),13( = 7+6), 19=(13 + 6).9.【解】阴影部分的面积和= 100x3-144 2x42 = 72(平方厘米)10.【解】最多是22个.将图中三个面上打点的方格染红，打x的方格染黄，其余的染蓝，它们的 对面也同样地涂色，这样就有(5 + 4 + 2) x2 = 22个方格染红，而且有公共边的正方形颜色不同【注】要证明红色的正方形不能超过22个，需要用枚举法，将正方体切成 三层，上面一层只有一种方式使红色的方格超过8个，即图2.中央一层最多可染6个红色方格，即图

22、3。但上一层红色方格有9个时, 中央一层只能染4个红色方格，所以红色方格的总数£9 + 4 + 9或8 + 6 + 8.即不超过22个.11【解】每个人的得分都是偶数，d、e二人比赛时，胜者得2分，所以d、e的 得分至少是2, c的得分至少是4,如果c的得分大于4,那么a、b的得分大于6, 五人总分大于2x2 + 4 + 6x2 = 20但五个人共赛5x44-2=10盘，总得分为10x2 = 20因此，c的得分只能是4(这时a、b各得6分).12.【解】将11989排成四个数列：1,5,9,，1985, 19892,6,10,，19863,7,11.，19874,8,12,，1988每个数列相邻两项的差是4,因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4, 每个数列中不能取相邻的项，因此，第一个数列只能取出一半，因为它有(1989 -1)4-4+1=498 项，所以