二次函数复习教案附练习试卷(含答案)

1、爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆二次函数知识讲解 一般地，如果 y=ax2+bx+c (a, b, c是常数且0),那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据. 当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数. 二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，a0)的三种表达形式分别为：一般式：2y=ax +bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a (x h)2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a (x xi) (x x?),通常要知道图像与 x轴

2、的两个交点坐标 xi, X2才能求出此解析式；对于 y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为(-b2a4ac -b24a.,2).对于y=a (x h) +k而言其顶点坐标为h, k), ?由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶 占八、b4 acb 2 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，最值为，(k>0时为最小值，2a4ak<0时为最大值).由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且 y轴为对称轴即x=0 . 抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴(上“ + ”，下“”)平移k ( k>0)个单位得到函数 y=ax

3、2± k,将y=ax2沿着x轴(右“”，左“ + ” )平移h (h>0) 个单位得到y=a (x ± h) 2. ?在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y?轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减)，若沿x轴平移则直接在含 x的括号内进行加减(右减左加). 在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与 a, b, c的作用：a的正负决定了开口方向,K当a>0时，开口向上，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小;2ab在对称轴x=2a的右侧，

4、y随x的增大而增大,此时y有最小值为y=4aZ2，顶点(勺，兰)为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴Kx=的左侧，y随x的增大而增大，在对2a称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时2ay有最大值为y=4ac -b24a,顶点(一,4ac -b2为最咼点.4aa|的大小决定了开口的宽窄,a|越大，开口越小，图像两边4a2a 4a越靠近y轴，|a|越小，开口越大，？图像两边越靠近 x轴；a, b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0 ,即对称轴为y轴，当a, b同号时，对称轴x= <0 ,2aK即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a, b?异号时，对称轴x=

5、>0,即对称2a轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c?的符号决定了抛物线与 y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上 a， b， c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出.例题解析例1已知：二次函数为 y=x2 x+m，(1)写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点 坐标；(2) m为何值时，顶点在 x轴上方，(3)若抛物线与y轴交于A，过A作AB / x 轴交抛物线于另一点 B，当aob=4时，求此二次函数的解析式.【分析】(1)用配方法可以达到目的；(2)顶点在x轴的上方，？即顶点的纵坐标为正；(3) AB

6、 / x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值.【解答】(1 )由已知y=x2 x+m中，二次项系数 a=1>0，.开口向上，22,1、211、24mT又T y=x x+m=x x+ () +m= (x ) +4241 1 4m -1对称轴是直线 x=，顶点坐标为( 一，).4(2)顶点在 x轴上方,4 m 1顶点的纵坐标大于 0,即卩>041 m> 41.m> 时，顶点在x轴上方.4(3) 令 x=0 ,则 y=m .即抛物线y=x2 x+m与y轴交点的坐标是 A (0, m). AB / x 轴 B点的纵坐标为m.当 x2 x+m=m 时，解得 X!=0,

7、 x2=1. A (0, m), B (1, m)在 Rt BAO 中，AB=1 , OA= | m | .1 Saob = OA AB=4 .21 丄 | m | 1=4, m=± 82故所求二次函数的解析式为y=x2 x+8或y=x2 x &【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a, b, c?的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.例2(2006，重庆市)已知：m, n是方程x2 6x+5=0的两个实数根，且 m<n，抛物线y= x2+bx+c的图像经过点 A ( m, 0), B (0, n),如图所示.(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设(1)中的

8、抛物线与x轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为D，试求出点C, D的坐标和厶BCD的面积；(3) P是线段OC上的一点，过点 P作PH丄x轴，与抛物线交于H点，若直线BC?把厶PCH分成面积之比为2: 3的两部分，请求出P点的坐标.【分析】(1)解方程求出 m, n的值.用待定系数法求出 b, c的值.(2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出 DMC ,梯形BDBO , BOC的面积, ?用割补法可求出厶BCD的面积.(3) PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能:32 EH= EP, EH=EP.2 3【解答】(1)解方程x2 6x+5=0,得 xi=5 , X2=1 .由 m<n

9、，有 m=1 , n=5 .所以点A , B的坐标分别为 A (1 ,0), B (0, 5).将 A(1 , 0), B(0, 5)的坐标爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆分别代入 y= x2+bx+c ,得一1 b c_0,解这个方程组,c = 5得c = 5爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆所以点C的坐标为(一5 , 0),由顶点坐标公式计算，得点过D作x轴的垂线交x轴于M ,如图所示.D ( 2 ,9).所以抛物线的解析式为y= x2 4x+5 .(2 )由 y= x2 4x+5，令 y=0,得x2 4x+5=0 .解这个方程，得X1= 5 , X2=1 .1 27则 S dmc= X 9 X( 5 2)

10、=2 21S 梯形 mdbo = X 2X( 9+5) =14 ,21 25SBDC = X 5 X 5=.2 227所以0 BCD =S 梯形 MDBO +S DMC SBOC =14+2(3)设P点的坐标为(a, 0)因为线段BC过B, C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5 .2那么，PH与直线BC的交点坐标为 E (a, a+5), PH与抛物线y= x +4x+5 ?的交点坐标为 H (a, a2 4a+5).由题意，得eh=3ep，即223(-a2 4a+5) ( a+5) = (a+5).23解这个方程，得a= 或a= 5 (舍去).2 EH= - EP, 得33（a2 4a

11、+5） （ a+5） = （a+5）.22解这个方程，得a= 或a= 5 （舍去）.33 2P点的坐标为（一，0 ）或（一一，0 ）23mx 2m2 +12（2006,山东枣庄）已知关于x的二次函数 y=x mx+与y=x2m222这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A , B两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点;若A点坐标为（一1 , 0），试求B点坐标;(3)在（2 ）的条件下，对于经过 A , B两点的二次函数，当 x取何值时，y的值随x?值的增大而减小?22 m +1【解答】（1 ）对于关于x的二次函数y=x mx+2由于 b2 4ac= ( m) 4x 1 x

12、 m 1 = m2 2<0,2所以此函数的图像与 x轴没有交点.m? +2对于关于 x 的二次函数 y=x2 mx 22m +22由于 b - 4ac= (- m) 4X 1 x=3m +4>0 ,2所以此函数的图像与 x轴有两个不同的交点.2,小故图像经过A，B两点的二次函数为m 2y=x mx 2(2 )将 Ao(1, 0)代入 y=x mx /口m +2得 1+m =0.2整理，得m2-2m=0 .解得 m=0或m=2 .当 m=0 时，y=x2 1 .令 y=0，得 x2仁0.解这个方程，得xi= 1 , X2=1 .此时，点B的坐标是B (1, 0).当 m=2 时，y=

13、x2 2x 3令 y=0，得 x2 2x 3=0.解这个方程，得X1 = 1 , X2=3 .此时，点B的坐标是B (3, 0).(3)当m=0时，二次函数为 y=x2 1,此函数的图像开口向上，对称轴为x=0 ,所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小.当m=2时，二次函数为 y=x2 2x 3= (x 1) 2 4,此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小.【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这 类综合题并不难解决.强化训练一、

14、填空题. 21. （2006，大连）右图是二次函数yi=ax+bx+c和一次函数 y2=mx+ n的图像，？观察图像写出y2yi时，x的取值范围.22. （2005,山东省）已知抛物线 y=a2+bx+c经过点A （- 2,7）, B （6, 7）, C （ 3,- 8）, ?则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是.3. 已知二次函数 y= x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m, 0），则m的值为.4. （2005，温州市）若二次函数 y=x2 4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，？则 c= （只要求写出一个）.25. （2005，黑龙江省）已知抛物线 y=ax+bx+c经过点（

15、1, 2）与（一1, 4）,贝U a+c?的值是.6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P,羽毛球飞行的水平1 2 23距离s （ m）与其距地面高度 h （m）之间的关系式为 h=s2+s+.如下左图所12329示，？已知球网AB距原点5m，乙（用线段 CD表示）扣球的最大高度为m,设乙4的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m?的取值范围是.爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆7. （2005，甘肃省）二次函数 y=x2 2x 3与x轴两交点之间的距离为 爱唱的癞蛤蟆8 （2008,甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层

16、高，？房子的价格y （元/my=x +bx+3，当x= 1时，y取得最小值，则这个二次）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3, 4，5，6，7，8），已知点（x，y） ?都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为 元/m2.二、选择题9. （2008,长沙）2二次函数y=ax +bx+c的图像如图所示，？则下列关系式不正确的是（）A . a<0B. abc>0C. a+b+c<02D. b2 4ac>0点 M （ 2，y1），N （- 1，2+bx+c2（第12题）-IO（第15题）的图像过点 A （1 ,2）,B（ 3,2 ）,C（ 5，7）.

17、若y2），K （8，y3）也在二次函数2y=ax +bx+c的图像上，则爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆F列结论中正确的是（）A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1 <y3<y2211. （2005，山西省）抛物线 y=ax +bx+c（a 0）的对称轴是x=2，且经过点 P （3，0），则a+b+c的值为（）B. 012如图所示，抛物线的函数表达式是（2A . y=x x+22B. y= x x+22C. y=x +x+22D . y= x +x+213. （ 2008，山西）抛物线y= 2x2 4x 5经过平移得到y

18、= 2x2，平移方法是（）A .向左平移1个单位，再向下平移3个单位B .向左平移1个单位，再向上平移3个单位C .向右平移1个单位，再向下平移3个单位D .向右平移1个单位，再向上平移3个单位爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆14. （2005，包头市）已知二次函数爱唱的癞蛤蟆函数图像的顶点在（）A 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆15. （ 2006,诸暨）抛物线 y=ax过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形 ABCP ?是什么四边形？并证明你的结论; 连接CA与抛物线的对称轴交于点 D，当/ APD= / ACP时，求抛物线的解析式.+2a

19、x+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）B. (1, 0)C. (2, 0)D . (3, 0)2y=mx+m 和 y= mx +2x+2 ( m 是常数，？16. （2008 ,泰安） 在同一直角坐标系中，函数三、解答题17. (2006,浙江舟山）如图所示，已知抛物线2 、 、y=ax +4ax+t (a>0)交 x 轴 A , B 两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴交 x轴于点E，点B的坐标为（一1 , 0）.(1)求抛物线的对称轴及点 A的坐标;爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆(2)(3)18. （2006，重庆）如图所示，m, n是方程x2-6x+

20、5=0的两个实数根，且 m<n , ?抛物线2y= x +bx+c 的图像经过点 A（ m， 0）， B （ 0， n）.（1）求这个抛物线的解析式；（2） 设（1）中抛物线与x轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D，试求出点 C, D 的坐标和厶BCD的面积；（3） P是线段OC上的一点，过点 P作PH丄x轴，与抛物线交于点 H，若直线BC?把厶PCH分成面积之比为2 : 3的两部分，请求出点 P的坐标.19. （2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，？其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽 3m，最高3.5m的厢式货车.按规定，？机动车通过隧 道时车身距隧

21、道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m . ?为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴，？建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC.20. ( 2005，河南省)已知一个二次函数的图像过如图所示三点.(1) 求抛物线的对称轴；25(2) 平行于x轴的直线L的解析式为y=一，抛物线与x轴交于A , B两点.？在抛物4线的对称轴上找点 P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离.求点 P的坐标.221. (2005，吉林省)如图 5-76所示，二次函数 y=ax+bx+c (0)的图像与x?轴交于 A , B

22、两点，其中 A点坐标为(一1 , 0),点C (0, 5) , D (1, 8)在抛物线上， M 为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求厶MCB的面积.爱唱的癞蛤蟆22. ( 2005,长春市)如图所示，过y轴上一点A (0,1 )作AC平行于x轴，交抛物线1y=x2 (x> 0)于点B,交抛物线y= x2 (x> 0)于点C;过点C作CD平行于y轴,2 1交抛物线y=x2于点D;过点D作DE平行于x轴，交抛物线y= x2于点E.4(1) 求 AB : BC ;(2) 判断O, B , E三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由.爱唱的癞蛤蟆答案

23、1. 2W xW 1 2. (1 , - 8)3. 1 4.答案不唯一(略)5. 36. 5<m<4+ .7 7. 4 8. 2080 9. C 10. B 11. B 12. D 13. D爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆14.15. B 16. D17.(1)对称轴是直线x=2 , A点坐标为（3, 0）(2)四边形ABCP是平行四边形爱唱的癞蛤蟆(3)人人PE 1 ADE CDP ,=-PD 2/ ADE PAE, 12=- t,. t= i332a=3将 B ( 1, 0)代入 y=ax +4ax+t 得 t=3a,抛物线解析式为.爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆18.2(1) y= x

24、4x+5(2) C ( 5,0), D ( 2, 9)bcd=15(3)设 P (a,0）, BC所在直线方程为y=x+5 . PH与直线BC的交点坐标为 E （a, a+5）.PH与抛物线y= x2 4x+5的交点坐标为 H2(a, a 4a+5).若若3EH= EP.22EH= EP,3(3 , 0)2则(a2 4a+5) ( a+5)2则(a 4a+5) ( a+5)2或（一一，0）.3(a+5),(a+5),或 a= 5 (舍)22或a= 5 (舍)3爱唱的癞蛤蟆,4), N (2, 7 ),爱唱的癞蛤蟆爱唱的癞蛤蟆设抛物线的表达式为2y=ax +c.9/a c = 4,474a c

25、=I2解这个方程组，得2 a八7 i £ C_142 2 65 / y= x +71465二 C (0,14当x=0时,65y=14），oc=65 14当 y=0 时，-x +72 65 =0，解得14x= ±652a (姮,0), B (姮,2 20)，AB= J65 爱唱的癞蛤蟆所以，抛物线拱形的表达式为隧道的跨度AB为65m,2 2 65y= x +_ 71465拱高OC为65 m.14220. (1)设二次函数的解析式为y=ax +bx+c .1c - -3a -1II根据题意，得a+b+c = 2 ，解得b=616a+4b+c=5c = 3L2 2即 y= x +6x 3= ( x 3)+6.yi12511抛物线的对称轴为直线x=3