提公因式法(2)

1、_课时课题 ：第二章 第二节 提公因式法 (2)授课教师：枣庄市第二十四中学杨彬课型： 新授课授课时间：2014 年4月24日第1节教学目标 ：1.进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.2.进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.3.通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点 :能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点 :准确找出公因式，并能正确进行分解因式.关键 :准确确定多项式的公因式.教法与学法指导：教法： 启发诱导式教学. 本节课是在学生已经掌握了公因式为单项式的提公因式法分解因式的基础上，对公因式为项多式的提公因式法分解因式的方

2、法的探索在教学过程中，通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决问题的能力学法： 合作探究的学习方式.让学生充分进行交流讨论在活动中体会类似 a(cd )b( cd) 的形式和类似a(cd )b(dc) 的形式的因式分解的方法.从而激发学生的思维，培养学生的观察能力和类比推理能力.课前准备：教师： 多媒体课件 .学生 :复习上节内容 ,预习本节内容.教学过程：一、创设情境，导入新课【师】： 上节课我们学习了公因式是单项式形式的分解因式，主要要求同学们牢记“四看 ”“两步 ”，下面请同学们简单

3、地回顾一下：精品资料_【想一想】 确定公因式有哪“ 四看 ” ？ 提公因式法分解因式有哪“两步 ”？【生 1 】一看系数 ：提取各项系数的最大公约数(系数为整数 );确定公因式的“ 四看 ” 有：二看字母 ：提取各项都含有的字母;三看指数： 各字母的指数取次数最低的;四看首项符号:若多项式首项系数为负数,则公因式符号取负号 .【生 2 】第一步， 找出公因式；提公因式法分解因式的“ 两步 ”有：第二步， 提公因式 ,( 即用多项式除以公因式).【师】 理论是要联系实际的，你能快速的完成下列题目吗？【做一做】 把下列各式分解因式:am2bm 3x33x29x8a3b212ab3c ab 4a3b

4、36a2b2ab请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果.【生】认真解题后，交流校对.【师】请对照上面想一想：我们在利用提公因式法分解因式时，要注意哪些问题哪？【生 1 】：公因式要提 “全”、提“净，”使系数不再含公因数、字母不再含公因式.【生 2 】：如果遇到多项式的第一项是负数时，一般先提出“ ”号，使括号里的第一项系数为正数在提出“”号后，括号里多项式的各项都要变号.【生 3 】：在多项式中，若某一项是公因式时，提公因式后应在括号内多项式的相应位置上写上 “1 ”， 千万不要漏掉 “1 ”.【生 4 】：当多项式的系数是分数时，应把各项中分数系数的最小公分母作为公因式系数的分

5、母，使余下的因式中各项系数都化成整数.【师】：大家回答的很好，以上公因式是单项式形式的分解因式，那么公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式呢？现在我们就来揭开这个谜.精品资料_【设计意图】 : 通过提问和几个练习使学生对已有知识回顾和思考，学生既感自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情；由易到难，培养学生养成回顾已学知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.二探索新知【探索一】 : 类似 a(c d ) b(cd ) 的形式的因式分解【师】：在上面的题目中有一道提取公因式的题目am2bm，若将式子中 m 的改成x 3 ，即变为 a( x 3) 2

6、b( x3) , 又如何分解呢？【生】： (很容易的 )解： a( x 3)2b( x3) = ( x3)( a 2b)【师】：由此你们能得到什么启示？【生 1 】：将这题中的x3 可作为 整体 看成以前的 m 即可 .【生 2 】：公因式可以是单项式也可以是多项式.【生 3 】：【师】：大家观察得非常细!其实 类似 a( cd )b(cd ) 的形式的因式分解，实际上与我们学过的 ambm形式类似，只需将式子中的(c d ) 作为整体看成以前的m 即可 .比如这题中的 x3可以作为整体看作 m,公因式由原来的单项式变为了多项式 .【注意】 ：整体思想是数学中很重要的一种思想，这里运用整体思想

7、的关键是：要分清楚多项式整体而言可分为哪几个多项式的和（或差），另一个因式的确定方法和原来一样，精品资料_用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式 .例 1: 把 3x(a2b)22 y(a 2b) 5 (a2b) 分解因式【提示】 ：把 ( a2b)看作一个字母 m ， (a2b) 就是公因式于是可以有解：原式(a2b)(3ax6bx2 y5)(a2b) 3x(a2b)2y5【小试身手】： 你能根据上面的方法，分解下面多项式吗？ . a(2 x3)2b(2 x3) . x(ab)y( ab) . 3a( xy)( xy) . 6( pq)212(

8、qp)【师】请同学们模仿例1 ，独立完成上面四题，完成后互相校对你们的结果.【生】认真解题后，交流校对.【师】请对照上面想一想：类似a(cd )b(cd ) 的形式的因式分解与多项式乘以多项式有什么关系？当我们把一个多项式分解后，如何判断自己做的是否正确呢？【生】它们是互逆关系；所以将分解的结果利用多项式乘以多项式的法则倒回去进行比较既可 .【师】对，但这种检验方法有一点不足 - 我们是否分解到最后形式，它是无法检查出来的. 所以需要我们仔细检查.【设计意图 】: 通过将 am2bm 中的 m 变为 x3 ,从而将公因式由单项式变为了多项式, 难度逐步提高 ,符合学生的认知规律,便于学生接受;

9、将 x3 看作一个整体是我们数学中精品资料_的整体思想 ,它是数学中一类重要的思想.紧跟的一个例题和小练习加强知识的巩固；同时，示范例题步骤，用以规范学生的解题步骤和格式.并且进一步让学生感受分解因式和整式乘法之间的关系.【探索二】: 类似 a(cd )b(dc) 的形式的因式分解【做一做】： 请在下列各式等号右边填入“+”或-“”号,使等式成立 . 2 a( a 2) y x(x y)b a(a b) (ba)2(ab)2m n(m n)s2t 2(s2t 2 )【活动方式】 ：学生分别独立作答，分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生, 等学生完成后 ,让学生说出自己的答案 , 并

10、解说解题过程 .【生】： 2a (a2) y x ( x y) ba (ab) (ba)2 (ab)2m n ( m n) s2t 2 (s2t 2 )【注意】 ：这些在分解因式时，都可当作公因式，但要注意符号.【师】：从等号左边到右边的变形，实质上是添括号，通过这个题目，你能总结出添括号法则吗？【生】：分小组进行充分讨论后，师生共同总结:添括号法则 : 括号前是“”号，括到括号里的各项都不变号.括号前是“”号，括到括号里的各项都要变号.【师】：根据添括号法则我们又可以得到下列规律 ：精品资料_当两个多项式相同时 : (ab)n( ba)n( n 为整数 )(ab)2 n(ba)2 n( n

11、为整数 )当两个多项式互为相反时:b)2 n 1(ba)2n(a1最常用的公式：a b (b a)(a b)2(ba)2(ab)3(b a)3【注意】 ：对于某些多项式从表面看无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的符号转化 ， 才能利用因式分解的有关方法进行分解,上面这 三个公式 就是最常用的，大家一定牢记！【牛刀小试】 ：1.在下列各式右边括号前添上适当的符号,使左边与右边相等. a2(2 a)x 2 y(2 yx) (xy)2( y x)2 (ab)3(ba)3 (ab)( x2 y)(ba)(2 yx)【设计意图 】: 设计本环节的目的是帮助学生提高处理符号的能力,因为当所提公

12、因式是多项式时 ,往往会涉及符号的变化 .【试一试】：例 2.把下列各式分解因式 .a( xy) b( yx) 6(m n)3 12(n m)2(3xy)(3 x y)(x5y)( y 3x)【生】：分小组进行充分讨论.展示：精品资料_【生 1】：分析 :中多项式可看成a( xy) 与b( yx)两项 . 其中 xy 与 yx互为相反数，可将b( yx)变为b(xy)则有公因式为xy .【生 2】：中多项式可看成6(mn)3与12(nm)2两项 .其中 m n 与互 nm为相反数，可将12(nm)2变为12(mn)2,这样，可以使不同底的幂化为同底的幂，从而产生公因式 6(mn)2.【生 3】

13、：中多项式可看成(3xy)(3 xy) 与( x5 y)( y3x) 两项 .其中3xy 与 y3x互为相反数，可将y3x 变为(3 xy) 则有公因式为3xy .【师】：同学们分析的很好!通过三个“变为”,将原来没有相同因式的转变为有相同因式,“变”则“通”，这就是我们数学的转变思想.下面请同学们写出解题过程.并写出变形公式.【生】： 解： a( xy)b( yx)a b (b a)= a( xy)b( xy)= ( x y)(a b) 6(mn)3 12(nm)2(a b)2(ba)2= 6(mn)312(mn)2= 6(mn)2 ( m n2) (3xy)(3 xy)( x 5y)( y

14、3x)ab (ba)= (3xy)(3 xy)( x 5y)(3 xy)= (3xy)(4 x6 y)= 2(3 xy)(2 x3y)【师】： T还有其它的分解方法吗？【生】：有 .还可以将 6(m n)3变为6(nm)3，则与公因式为6(nm)2【师】：你能写出解题过程吗？精品资料_【生】：解： 6(mn)312(nm)2(ab)3(ba)3 6(n m)3 12(n m)26(nm)2 (nm2)【师】：两种结果一样吗？【生】：一样，只是形式不同【师】：对，但是对一般能变化含偶次项的，选择变偶次方项，因为它无需提负号，不容易出错；对于T 需要注意什么？【生】：注意分解彻底.【师】：对， 对

15、于因式分解的结果，一定要检查分解所得的多项式中的各项是否仍含有公因式如本题中,因式 (4 x 6y)中仍含有公因式“ 2 ”，还需要提出“ 2 ”才完成分解这也是同学们很容易错的地方，一定要注意！现在大家来总结一下：类似a( cd )b(dc) 的形式的式子 如何进行因式分解？【生】： 类似 a(cd )b( dc) 的形式的因式分解，我们可将dc 通过提取 “-”号，将 dc 转换成 cd 的形式，从而达到可因式分解的目的【师】：通过上面两个问题的探索，大家能总结出:如何确定多项式的公因式吗？? 提公因式法分解因式需要注意什么?【活动方式】 ：学生分小组进行讨论交流，教师巡视、指导学生,等学

16、生完成后,让学生说出自己的答案 .【师生】：共同总结确定公因式的一般步骤： (五看 =四看 + 一看 )一看系数：提取各项系数的最大公约数.二看字母：提取各项都含有的字母.三看指数：各字母的指数取次数最低的.精品资料_四看首项符号 :若多项式首项系数为负数,则公因式符号取负号.五看整体 : 公因式为多项式时,应注意符号的变换.提公因式法分解因式需要注意的问题:（ 4+1 ）1 公因式要提 “全 ”、提 “净 ”，使系数不再含公因数、字母不再含公因式.2 如果遇到多项式的第一项是负数时，一般先提出“ ”号，使括号里的第一项系数为正数在提出“ ”号后，括号里多项式的各项都要变号.3 在多项式中，若

17、某一项是公因式时，提公因式后应在括号内多项式的相应位置上写上 “1”，千万不要漏掉 “1 ”.4 当多项式的系数是分数时，应把各项中分数系数的最小公分母作为公因式系数的分母，使余下的因式中各项系数都化成整数.5 当公因式是一个多项式时，要把这个多项式看成一个“整体 ”提出来，提公因式后，剩下的另一个因式必须进行整理，不能带中括号；若再有公因式，应继续提出来.【师】 : 为了便于同学们记忆,我总结了几句 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。【练一练】：把下列各式分解因式 2(mn)2m(mn) 18(a b)312b(ba)2 (2ab)(2 a3b)

18、3a(2ab) x(xy)(x y)x(x y)2【设计意图】 : 本环节旨在让学生通过“试一试、练一练 ”的练习，体验公因式是多项式的分解的方法再通过学生主动探求，提高学生自主学习的积极态度，通过一定的练习，达到知觉水平上的运用，加深学生对因式分解方法的理解，同时让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈精品资料_四回顾提升【师】 :紧张而愉快的一节课即将过去，相信每个同学都有所收获.下面让我们一起说说本节课的收获以及还存在的疑惑吧！我学会的数学知识.我用到数学思想.使我感到最困难的是.我想进一步研究的是.【生】 :学生畅所欲言的谈论，课堂气氛活跃.【师】 :教师适时点拨，及时鼓励表现突出的

19、学生。【设计意图】充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互学习，共同提高，使学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.四诊断检测落实基础1.（ 2012年咸宁市）分解因式：a22a2.（ 2012年苏州市）若 a 2,ab3,则 a2ab.3. 把下列各式分解因式a(xy)b( yx)c( xy)6( pq)212(qp)4.先分解因式，再计算求值(a2)26(2a) ,其中 a 2.能力提升5.已知x2mx5(x 1)(x5) ，则 m.6.试说明：对于自然数n， 2n 42n能被 15整除 .精品资料_7. 分解因式 ： x( x1)3x(x1)2x( x1)x1【设计意图】设计两组题型，对不同程度的学生分层要求.学生限定时间独立完成，师生纠错. 使学生了解自己学习的掌握情况，也便于教师的学情分析五.布置作业，巩固深化必做题：习题 2.3 第1题、第 2题、第 3题选做题 ：某大学有三块草坪，第一块草坪的面积为 (a b)2 m2 ，第二块草坪的面积为 a(a b)m2 ，第三块草坪的面积为 (a b)bm2 ，求这三块草坪的总面积。【设计意图】 ：复习巩固检测本节知识训练提高运算技能和解决问题的能力分为必做题与选做题，让不同的学生