五年级奥数——完全平方数

1、第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为 (1、2、3、n)不难发现：11341359135716135(2n1)毕达

2、哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n个奇数的和：1357（2n1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1267621）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×1

3、21是多少的平方？练习二：1008×b，其中a，b都是自然数，b的最小值是（ ）。【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？ 一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】 （01abc）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；第五秒，凡编

4、号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；那么第200秒时，明亮的灯泡有（ ）个。练习一：12012中含有奇数个约数的数共有多少个？练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？【例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？一讲一练：自然数12012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？课后作业：1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数：··········&

5、#183;···················他们发现：11，134，1359，135716那么第100个图有 个点，第n个图有 个点。也就是说：从1开始的连续n个奇数的和，等于 。2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数：1、3、5、7、9，擦掉其中一个奇数后，剩下的奇数之和为1998。那么擦掉的奇数是多少？3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是

6、1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？5、求下面各数的约数个数：45、112、225、660。 6、200名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。第一次他们都向后转，第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四次报数是4的同学往后转不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。问：这时面向教官的同学有多少个？7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？8、1100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？9、求一个能被180整除的最小完全平方数。10、“1993与一个三位数的

7、和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？11、已知一个自然数n满足：12！（即1×2×3×4××12）除以n后，商是一个完全平方数，则n的最小值是多少？大于100小于10000的完全平方数开平方也能用心算2008-11-17湖北省宜昌市第十八中学: 谢玉林大于100小于10000的完全平方数开平方用心算，正确率达100。现介绍其方法如下: 首先要记住或会心算这几个乘法: 15×15225，25×25625，35×351225，45×452025，55×553025，65×65422

8、5，75×755625，85×857225，95×959025。上面这组计算经观察可发现：相乘结果最后两位都是25，25前面的数字是由乘数的十位数字乘以十位上的数字加1得出。如:85×857225中的72是由8×9得出的。又如65×654225中的42是由6×7得出的。 现在我们来研究大于100小于10000的完全平方数的开平方: 例1: 求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57，76; 考查57，因为 7的平方4957648的平方。 所以 5776的算术平方根的十位上的数字是7。 又因为 5776562575×75，且个位是6 ， 而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的平方， 所以5776的算术平方根的个位上的数字是6； 所以5776的算术平方根是76。例2:求6724的算术平方根解:分节:67，24 观察67在那两个平方数之间 646781 取小定十位: 十位上的数字是8 与85的平方7225比较定个位: 67247225且个位是4， 而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方 6724的算术平方根个位上的数字是2 所以6724的算术