13 混凝土的徐变理论

1、13 混凝土的徐变收缩理论n徐变、收缩及其影响因素n徐变、收缩的数学模型n徐变效应分析n徐变、收缩微分方程n徐变、收缩代数方程n徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法n小结n本章参考文献 徐变、收缩是混凝土这种粘弹性材料的基本特性之一，它不但对桥梁结构影响大，而且持续的时间长，且其变化过程复杂，不易把握。徐变、收缩及其影响因素(1) 徐变与收缩 徐变当荷载作用在混凝土构件上，试件首先发生瞬时弹性变形，随后，随时间缓慢地进一步增加变形。这种缓慢增加的变形称为混凝土的徐变变形。 收缩在无荷载情况下，混凝土构件随时间缓慢变形，这种变形称为混凝土的收缩变形。 在实际混凝土结构中，徐变、收缩与温度应变是混杂在

2、一起的。从实测的应变中，应扣除温度应变和收缩应变，才能得到徐变应变。在分析计算中温度应力与温度应变往往单独考虑。徐变与收缩则可在一起考虑。根据1990年ceb-fip标准规范，在时刻 承受单轴向、不变应力为 )(e的混凝土构件，在时刻 的总应变 可分解为 t)(t)()( )()()()()(ttttttntsci加 载 时 初始应变在 时刻时的徐变应变t收缩应变温度应变由应力产生的应变)()()(ttci不由应力产生的应变)()()(ttttsn在不包括温度应变时，混凝土的应变可进一步分解为（下图）strfgfavet,)(ev 初始瞬时弹性应变 e 滞后弹性应变，属可恢复的徐变 v 初始瞬

3、时流塑应变，主要不可恢复 a 基本徐变应变，不可恢复gf , 干燥徐变应变，部分可能恢复trf , 混凝土的徐变，通常采用徐变系数 来描述。目前国际上对徐变系数有两种不同的定义。如在 时刻开始作用于混凝土的单轴向常应力 至时刻 所产生的徐变应变为 ，第一种徐变系数采用混凝土在28天时的瞬时弹性应变定义，即),(t)(t),(tc28)(),(),(ettc采用这种定义的是ceb-fip标准规范（1990年版）及英国标准bs5400第四部分（1984年版）。徐变系数的另一种定义可表示为)()(),(),(ettc这一定义是由美国aci209委员会报告所建议的（1982年版）。在该建议中，混凝土的

4、标准加载龄期 ，对于潮湿养护的混凝土为7天，对于蒸汽养护的混凝土为13天从时刻 开始对混凝土作用单轴向单位应力，在时刻所产生的总应变通常定义为徐变函数 。对于上述两种徐变系数的定义方法，徐变函数可分别表示为t),(tj ceb-fip ),(1)(1),(28teetj ac1209 ),(1 )(1),(tetj 混凝土的收缩是混凝土硬固由于所含水分的蒸发及其它物理化学的原因（但不是由于应力的原因）产生的体积的缩小。与收缩相反的是混凝土凝固因含水量的增加也导致的体积的增加。混凝土的收缩应变，一般表达为的函数形式。混凝土收缩应变终值的预计，主要依据环境条件、混凝土成分及构件尺寸，cfb-fip

5、建议、aci209委员会建议及bs5400规范都有相应计算方法),(ts(2) 徐变、收缩对桥梁结构的影响 混凝土的徐变、收缩对桥梁结构的影响表现在： （a）在钢筋混凝土、预应力混凝土等配筋构件中，随时间而变化的混凝土徐变、收缩受到内部配筋的约束将导致内力的重分布。预应力损失实际上也是预应力混凝土构件内力重分布的一种 （b）预制的混凝土梁或钢梁与就地灌筑的混凝土板组成的结合梁，将由于预制部件与现场浇筑部件之间不同的徐变、收缩值而导致内力的重分布。同样，梁体的各组成部分具有不同的徐变、收缩特性者亦将由于变形不同、相互制约而引起内力或应力的变化（c）分阶段施工的预应力混凝土超静定结构，如连续梁、刚

6、架、斜拉桥、拱桥等，在施工过程中发生体系转换时，从前期结构继承下来的应力状态所产生的徐变受到后期结构的约束，从而导致结构内力与支点反力的重分布 （d）外加强迫变形如支座沉降或支座标高调整所产生的约束内力，也将在混凝土徐变的过程中发生变化，部分约束内力将逐渐释放 （e）徐变对细长混凝土压杆会产生的附加挠度 混凝土的徐变、收缩及其对结构性能影响的预计和控制，是十分复杂又难以获得精确答案的问题。正如美国混凝土学会第209委员会1982年的报告所指出的那样，几乎所有影响徐变、收缩的因素，连同它们所产生的结果本身就是随机变量，它们的变异系数最好也要达到15%20%左右。因此，对于一些特别重要的工程，应该

7、通过模型试验或实物测量的方法来校核计算中所用的参数，以提高计算结果与实际接近的程度。(3) 影响徐变、收缩的因素 徐变、收缩虽各有自身的特点，但它们都可以与混凝土内水化水泥浆的特性联系起来。化学成分截然不同的水泥制造的混凝土，所反映的徐变、收缩性能并没有本质上的差异，这说明徐变、收缩的机理在于混凝土水化水泥浆的物理结构，而不在于水泥的化学性质。 关于混凝土收缩的原因及机理可归纳为： （a）自发收缩。这是在没有水分转移下的收缩，其原因是水泥水化物的体积小于参与水化反应的水泥和体积，因此是一种水化反应所产生的固有收缩。这种收缩的量值较小 （b）干燥收缩。这是混凝土内部吸附水的消失而产生的收缩。也是

8、混凝土收缩应变的主要部分（c）碳化收缩。这是由混凝土中的水泥水化物与空气中的二氧化碳发生化学反应而产生。碳化收缩是不久以前才发现的现象 关于混凝土徐变机理的各种理论和假设，迄今为止还没有一种能被广泛接受。美国混凝土学会209委员会在1972年的报告中将徐变的主要机理分为（a）在应力和吸附水层的润滑作用下，水泥胶浆体的滑动或剪切所产生的水泥石的粘稠变形。 （b）在应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转移而导致的紧缩。（c）在水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞后弹性变形 （d）由于局部发生微裂及结晶破坏以及重新结晶与新的联结而产生的永久变形。 在下图中，影响混凝土收缩因素是与荷载条件无关

9、的部分，但对混凝土徐变与收缩均有影响的因素，其作用不尽相同 对于混凝土徐变，另一项重要的影响因素就是荷载条件。在徐变试验中施加于构件的应力一般取低于混凝土强度45%左右的单轴向压应力。大量试验结果表明，当压应力小于混凝土强度的50%时，徐变应变可以被认为与所施加应力具有线性关系。超过这一应力，将导致非线性关系。这种现象被认为是由于骨料与凝固水泥浆交界面上出现的微裂所致。当应力小于混凝土强度的50%时，拉力徐变与所施应力呈线性关系，拉力徐变初始速度较大但降速快，最终徐变可能小于压力徐变。混凝土徐变泊松比一般可视为与弹性泊松比相等。 内部因素1 骨料种类2 水泥品种 3 配合比 4 水灰比5 外加

10、剂 6 构件外形尺寸7 搅拌捣固8 养护时间 9 养护湿度 10 养护温度 材料性质构件几何性质制造养护构件性质与荷载有关(无关)的随时间的应变 外部因素 1 环境湿度2 环境温度 3 环境介质4 加载(或干燥)开始龄期 5 荷载持续时间 6 荷载循环次数 7 卸荷时间 8 应力大小 9 应力分布10 加荷速度 环境条件加载历史荷载性质荷载条件与荷载有关无关的随时间的应变 影响徐变、收缩的因素徐变、收缩的数学模型(1) 徐变、收缩数学表达式 （a）徐变数学表达式 目前国际上徐变系数的数学表达式有多种，但是可以分为两类： 一类将徐变系数表达为一系列系数的乘积，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因

11、素；另一类则将徐变系数表达为若干个性质互异的分项系数之和。h.tost与w.rat在1967年提出徐变系数 的一般表达式可写成),(t)(),(tfktn加载龄期 常应力 持续作用的时间)(t)( 加载龄期的影响系数k 徐变随时间发展的函数， )(tf0 . 1)(,; 0)(,tfttft 徐变系数特征值， ，其中 分别为取决于环境、混凝 土成分及稠度、构件尺寸的系数n320ccn320,cc上式又可写成),(),(),(tft加载龄期为 时徐变系数终值32),(cckkn 在上式中，连乘系数的多少视考虑因素的多少而定，每一种系数可以从现成的图表中查得，或按一定的公式计算。目前，采用这种表达

12、式的有英国规范bs5400（1984年版第四部分），及美国aci209委员会的建议（1982年版）ceb-fip标准规范（1978年版）采用下述的徐变系数表达式),(),()(),(tttfda式中： 加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数；)(a 可恢复的弹性变形系数，或徐弹系数),(td 不可恢复的流变系数，或徐塑系数),(tfz.p.bazant提出了由基本徐变和干燥徐变组成的徐变表达式，称为bp模式，用徐变函数 表示为总应变),(0ttj),(),(),()(1),(0000ttcttctcettjpd式中： 分别表示干燥龄期、加载龄期及计算徐变时 的龄期； tt,0 单位应力产生的初

13、始弹性应变；)(e1 单位应力产生的基本（无水分转移）徐变；),(tc0 干燥以后徐变的减小值。),(0ttcp1990年版ceb-fip标准规范的徐变系数表达式有很大变动，形式上也类似于系数乘积),()(),(),(0tbttcfcmrhc式中： 名义徐变系数0 环境相对湿度修正系数rh 混凝土强度修正系数 fcm 加载龄期修正系数)( 徐变进程时间系数),(tc 以上 、 除与环境相对湿度有关，也与构件的理论厚度有关。水泥品种、养护温度对徐变的影响，通过修正加载龄期 予以考虑。rh),(tc 混凝土徐变随加载龄期的增长而单调地衰减，又随着加载持续时间的增加而单调地增加，但增加的速度随时间的

14、增加而递减。关于徐变系数是否存在极限的问题，学术界有着不同的意见。认为极限存在者，一般用指数函数或双曲线函数作为表达式,认为不存在极限者，则多采用幂函数或对数函数作为表达式 指数函数表达式最有代表性的是老化理论表达式，也称dischinger法，假定不同加载龄期的徐变系数龄期曲线，可能由通过原点的徐变系数龄期曲线的垂直平移而得，即),(),(),(00tttt按指数形式可表达为1 )0 ,(),()(teet徐变速率这种表达式是f.dischinger在1937年首先应用于复杂结构分析而被称为dischinger法。 双曲线幂函数系数表达式是d.e.branson于1964年提出的，也是美国a

15、ci209委员会所建议的形式ddtbtt)()(),( 、 由试验确定的常数，美国aci209委员会在1982年报 告中取bd6 . 0,10db1975年z.p.bazant提出了双幂函数来表示基本徐变nmtaatc)(),(0式中 是一些与影响徐变因素有关的函数。这是徐变系数最为复杂的时间函数，但其适合计算机编程运算nam,（b）收缩应变的数学表达式混凝土收缩应变一般表达式为收缩应变终值与时间函数的乘积，即)(),(,tftss收缩应变发展的时间函数010.)(,;)(,tfttft 收缩应变的终值取决于环境的相对湿度、混凝土成分和构件理论厚度等因素。收缩应变时间函数的表达式有如下几种形式

16、：美国aci209委员会建议的双曲线函数表达式)()(tattf与混凝土的养护条件有关的参数1978年z.p.bazant教授提出的bp模式中，采用平方根双曲线函数形式表示收缩应变的时间函数)()(tattf常数由构件形状、有效厚度及开始干燥的龄期等因素而定收缩应变另一种时间函数是假定其发展速度同徐变一样，故通常取指数函数的形式，即)(1)(tetf收缩的速率 （c）混凝土弹性模量随时间的发展 在混凝土徐变的分析中，混凝土弹性模量随时间的发展规律是一个重要的参数，尤其在较精确的分析计算中。根据美国aci209委员会1982年的报告，混凝土的弹性模量的时间函数表示为2821)(etcctte常数

17、，根据养护条件和水泥品种而定 1990年版的ceb-fip标准规范给出的混凝土的割线模量的时间函数则为)(6 . 028)()()()()(tsacceeetttette与水泥品种有关的系数和与龄期有关的函数 以上两种规范所给出的混凝土割线弹性模量函数的形式完全不同。事实上，由于决定混凝土弹性模量的因素复杂，随着试验的深入，同一规范在不同时期也会有较大改变，如ceb-fip1978年版的与其上式完全不同。（2） 徐变、收缩应变、应力的关系 （a）线性叠加原理如前所述，在工作应力下，混凝土的弹性应变和徐变应变都与应力呈线性关系。因此，只要总应力不超过混凝土强度的50%左右，分批施加应力所产生的应

18、变可以采用叠加原理。至于卸载或减载后的徐变恢复是否可叠加和如何叠加的问题是值得进一步探讨的。1943年d.mchenry提出了徐变可逆性理论，他将卸载考虑为施加负荷载，其所产生的徐变与同一时刻施加的正荷载所产生的徐变相等，但方向相反。混凝土试件的试验都说明叠加原理对基本徐变符合得很好，但是对于包括干燥徐变的总徐变来说，由叠加原理所得出的徐变恢复一般大于实际恢复。因此，应用叠加原理对递减荷载将会产生少量偏差。叠加原理仍是设计工作中有价值的工具 根据叠加原理，对于在 时刻施加初应力 ，又在不同的时刻 分阶段施加应力增量 的混凝土，其在以后任何时刻 包括收缩应变在内的总应变可以表达为0)(0), 2

19、 , 1(nii)(itnisiiittetet100000),(),(1 )()(),(1 )()(),( 对后加应力为连续变化的应力，则可写出描述叠加原理的积分表达式tstettet0),(d)(),(1)(),(1 )()(),(00000进行分部积分，并假定收缩应变的发展进程与徐变相似，即),(),(0,0ttss 则tstdtdetett0),(d),()()()()(),(0,00（b）应力、应变关系的微分方程表达式 将不同的徐变系数表达式代入上式可推导出应力、应变关系的微分方程表达式。如对于dischinger法，应力、应变的微分方程为tttettttetd),(d)()(d)(

20、d)(1dd但是，有些徐变系数表达式不能得出常微分方程，故不能利用微分方程求解，正因为如此，dischinger法在国内外广泛被采用，直到20世纪60年代后期才逐渐为trost-bazant法所取代 （c）应力、应变关系的代数方程表达式 1967年h.trst教授在他的论文中，从混凝土应力应变的线性关系和叠加原理出发，引入了老化系数（松弛系数）的概念，并假定混凝土弹性模量为常数，推导出在不变荷载下，由徐变、收缩导致的应变增量与应力增量之间关系的代数方程表达式为),(),(),(1 ),(),()(),(tttettets),(),(),(1 ),(),(1 )()(tttettets从上式又可

21、推导出从应变变化求应力变化的公式，即),()(),()()()(),(),(1),(),(ttettetttts),()()(),(),(1),(),(1),(1)()(ttttetttts 老化系数（当初h.t.rost称其松弛系数，1972年z.p.bazant改称老化系数）),(ttiiiktkt),()(),(表示加载龄期对徐变系数终值的影响系数 1972年z.p.bazant将),(),(1)(),(ttete定义为按龄期调整的有效模量 老化系数可根据所采用的徐变系数表达式进行推算。如采用dischinger法的表达式，则老化系数可以表示为),(111),(),(tett（d）徐变与

22、松弛从龄期 开始施加常应变 至龄期 时的应力 可表达为)(t),(t),()(),(tgt),(1)(),(tetg松弛函数松弛系数松弛系数定义为从龄期 至 的应力降低值对初应力之比t)(),()(),(tt 在实际结构中，应力和应变往往是随时间同时变化，交错影响的。在静定结构中，应变或变形的增减并不导致应力的变化，但是应力的变化往往导致应变的变化。在超静定结构中，不仅应力的变化将导致应变的变化，而且应变的变化也会导致应力的变化。工程中一些重要的问题如： 已知支座的不均匀沉陷量，求支座反力与内力的 变化问题； 结合梁的内力重分布问题分阶段施工的超静定结构在体系转换后的内力重分布问题等都属于松弛

23、问题 松弛试验较为困难，资料很少。但是徐变和松弛具有内在的联系，往往需要从已知的徐变函数来推求松弛函数。z.p.bazant从徐变函数与松弛函数的基本概念出发，推导出从松弛函数到老化系数的计算公式：),(1),()()(),(ttgeet徐变效应分析（1） 老化理论分析 （a）徐变微应变与微应力关系若弹性模量取为常数，并不计弹性应变和收缩影响，则应力、应变关系方程表达式为tcctetet0d),(1 d)(d1),()(),(00将老化理论的徐变系数)()(),(tt把上式代入上式有 tcccetetet0d)(d)(d1 )(1 )()()()(),(000ettdeettettccc)(d

24、)(t) )(d)(d)()(),(dc00)()()(0ttc 时刻总应力t（b）徐变微应变与内力的关系 设 、 为 时实际结构的初始弯矩和轴力，它可以是静定的、超静定的、或者部分静定另一部分超静定结构的内力，视具体情况而定。在 后结构成为超静定， 为徐变引起超静定结构的赘余力（ ）， 为超静次数， 和 为 =1作用于基本结构产生的弯矩和轴力，于是赘余力产生的任意截面的弯矩和轴力为)(0m)(0n0t0tnj, 2 , 1njmjnjtxjtxnjjtjctnjjtjctxmnxmm11由它产生的徐变应力iymantctctc)( 轴力和徐变应力以受拉为正，弯矩适用于右手规则，以指向 轴正向

25、为正，如下图所示。x结构初始内力产生的应力iyman)()()(000消去mct，nct并微分有jtnjjjcxiymantd)(d1写成应力应变式有yttc)(),(d00式中d)(d)(d)(1)(1100njnjjtjjtjxntxntneat)()()(njjtjnjjtjxmtxmtmei110ddd1截面重心处的轴向应变和重心轴的曲率 （c）变形协调及内力求解设切口 方向的变形为 ，利用虚力原理得itxismstniiidd0)(将 和 表达式代入上式有)(0t dd ddddn1j100sxeimmeannstxeimmeannsteimmeannjtjijisjtnjjijis

26、iii)()()()(应当注意，结构不同位置的徐变系数是不同的，如果最年轻混凝土的徐变系数为 ，那么，由老化理论知，其他龄期混凝土的徐变系数可表示成)(tettetssss )()()(则有njnjjtijjtijipixx11*dddseimmeannsiiipd)()(00*seimmeannsjijiijd*seimmeannjijiijd 根据变形协调条件，应当有), 2 , 1( 0nii写成矩阵形式为 0dd*xx 上式是老化理论求解超静定结构徐变二次内力的基本微分方程组，当混凝土龄期相同时，即 ，于是有1s * 0ddxx令 1x于是 xxddx由此解得 )1 (exx即njex

27、xjjt, 2 , 1 )1 (（d）讨论如果用 、 表示后期结构的弯矩和轴力，即一次落架的内力， 、 为 时刻的结构内力，则有gm2gn2gtmgtntnjnjjjjjgtexmmxmmm1100)1 ()()(由于njjjgxmmm102)(有njgjjmmxm102)(得)1)()(020emmmmggt类似可以推得)1)()(020ennnnggt表明，当结构初始内力是一次落架的内力时，即gmm20)(gnn20)(那么这两式右边的第二项等于零，亦就是徐变的二次内力等于零；另外，也表明， 、 的差值越大，徐变二次力亦越大，结构内力变化亦越大，这些性质对了解结构的徐变效应是十分重要的。)

28、(02mmg)(02nng（2） t-b分析法在应力、应变关系的代数方程式中舍去弹性应变及收缩影响，则有etetcc)(),()(),(000仿 效 上 节 老化理论分析过程，有yttc)(),(00njjtjxaenteant1000),()()(njjtjxiemteim100),()(利用虚力原理可以求出切口方向的变形为njnjjtijipjijijtiiiciixsiemmaennxsteimmeannsmdstn11000d d d*),()()()(steimmeanniiipd),()()(000*siemmaennjijiijd*根据切口处的变形协调条件有), 2 , 1( 0

29、nii写成矩阵形式 0*x上式是t-b法求解超静定结构徐变赘余力的基本方程，它是代数方程组，很容易求解当结构混凝土龄期相同，且初始内力为一次落架时，则有 0 0*x 即徐变不引起此种超静定结构内力重分布徐变、收缩微分方程（1） 基本假定（a）桥梁结构的所有构件具有相同的徐变和收缩特性（b）体系转换之前结构继承下来的荷载为 ，内力为 ，体系转换之后结构具有 次超静定。q1xn（2） 参数 （a）从前期继承下来的，在赘余力方向的初内力为), 2 , 1(,1njxj（b）结构体系转换时刻为（c）体系转换后时刻 产生于赘余力方向的次内力 为 （ ）。t),(txjnj, 2 , 1（3） 相容方程

30、在体系转换后的任何时刻 的 时间内，第 个赘余力方向的变位增量分别为：tdti（a）由次内力增量 产生的变位增量：),(tdxjnjjijtx1),(（b）由徐变增量产生的变位增量：njjijttx1),(d),( （c）由荷载及初内力 产生的变位增量：ix),(d1 ,ti （d）由混凝土收缩变化产生的变位增量：),(d,tsi则变位相容条件为 21 0dd dd111,n),(it(t,ttxtxiijnjjijnjjij),(),(),(),(,式中： 所产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位ij1jxi 由荷载 及初内力 产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位1 , iq1xi 时

31、间 混凝土的徐变系数),(tt 体系转换后经 的时间 内，混凝土收缩产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位。),(d,tsitt di（4） 求解方法若收缩速度与徐变相似，则),(d),(,ttdsisinjjijqiix11 ,1 ,则变位相容条件式可化为njsiqijjjijnixtxttx1,1 ,), 2 , 1( ),(),(d),(d式中： 荷载 产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位；qi,qi 在 混凝土收缩产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位 ；ti),(,si 在 混凝土的徐变系数，即徐变系数终极值t),(,si 另一方面，若以同样的外荷载和与收缩应变终极值瞬时施加

32、于经体系转换的后期结构中，令第 个赘余力方向的弹性次内力为 ，则有相应方程i),(,nixi212), 2 , 1( 1,2,nixnjsiqiiij比较式得到), 2 , 1( ),(),(d),(d2,1 ,nixxtxttxiiii解微分方程，并根据初始条件：0),(, 0),(,ttxti故)1)(),(),(1 ,2,tiiiexxtx), 2 , 1, (ni式中： 第 个赘余力方向因徐变与收缩而产生的内力变化；),(txii 先期结构在第 个赘余力方向的截面内力；1 , ixi 先期结构荷载加上与收缩应变终极值时的瞬时荷载，按后期结构计算得到的第 个赘余力方向的截面内力2, ix

33、i 可以看到，在推导过程中，忽略了实际存在的构件施工节段之间徐变特性的差异，而经过体系转换后超静定结构几乎毫无例外地存在着这种差异，这是该式的缺点。但是该式使我们能够直接估计体系转换后的徐变影响，看到实际的内力线总是在前期结构的内力线和后期结构的内力线之间变动，变动的辐度与徐变大小有关徐变、收缩代数方程（1） 基本假定 （a）桥梁结构各构件的徐变、收缩特性相同 （b）后期结构为 次超静定结构n（2） 相容方程 体系转换时刻为 ，转换后任一时刻 ，因徐变、收缩产生于第 个赘余力方向的相容变位有：ti （a）由截面徐变次内力 产生的变位：),(txj),(),(),(tttxijnjj11 （b）

34、由荷载及前期结构继承下来的初内力产生的变位：),(1 ,ti （c）由收缩增量产生的变位),(,tsi则变位相容条件为njsiijjinittttxt1,1 ,), 2 , 1( 0),(),(),(1 ),(),(式中： 由荷载及前期结构继承下来的初内力产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位； 1 , ii 从时刻 至时刻 的时间内，产生于第个赘余力方向的截面徐变次内力；),(txjtj 当 时产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位；ij1jxj 从 到 时间内的收缩增量产生的基本静定结构第 个赘余力方向的变位),(,tsiti（3） 求解方法假定收缩发展的速度与徐变相同，则),(),(

35、,ttsisi有njsiqijjijttxtxtt1,1 ,),(),(),(),(),(1 整理有), 2 , 1( )(),(),(1),(),(1 ,2,nixxttttxiii若认为微分方程式与代数方程式（的求解结果相同，则),(1),(),(1),(tettt此即为前述的老化系数（4） 考虑不同徐变、收缩特性 如结构各节段混凝土具有不同的徐变、收缩特性，则 、 、 等均应按徐变特性分段计算。例如，以徐变系数为 者为 段，徐变系数为 者为 段等等，这有ij1 , isi,aabb )21( 0111,n,itttttttttxbbsbiaasaibbiaainjbbbijaaaijij

36、j,(),(),(),(),(),(),(),(),(,式中： 、 第 个赘余力在 段作用引起的第 个赘余力方向的变位；aijbijj,bai 荷载及前期结构内力对 段作用引起的第 个赘余力方向的变位；1 ,ai1 ,bi,bai徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法 用dischinger法、trostbazant法或其它方法，都可以表示徐变、收缩产生的应力增量与应变增量之间的关系。以下将仅考虑trostbazant法。设 为计算时刻，用较精确的形式将应力与应变增量的关系表达为it 1111111111ijiisjijijjiiiiiiicsiicstttttttettttttetttt),(),

37、(),()()(),(),()(),(),(式中： 、 至 时间内由徐变与收缩引起的应变增量和应力增量；),(1iicstt),(1iicstt1itit 时刻的应力增量；)(jtjt 至 时间内发生的收缩应变增量；),(1iistt1itit 时刻的弹性模量；)(jtejt 上式考虑了混凝土弹性模量随时间的变化，还考虑了初应力和初应变形成的历史。同理，可写出截面曲率增量与弯矩增量的关系),(),(),()()(),(),(1 )(),(),(111111111iisijjijicjjiiiiciiicsiicsttttttitetmttttitettmtt式中： 、 至 时间内由徐变与收缩引

38、起的曲率增量和弯矩增量；),(1iicstt),(1iicsttm1itit 时刻的弯矩增量；)(jtmjt 至 时间内收缩引起的曲率增量； ),(1iistt1itit 混凝土截面的抗弯惯性矩。ci注意到),(),(1),(),(1111iiiiiiiittttttette并设 ),(),()(),(),(111jijijiiiitttttettett代入应力与应变增量的关系式，若以 为通过形心点的应力增量，则轴力增量可表示为),(1iicstt1111111),()(),(),(),(),(),(ijiisjiijiiicsiiciicsttttttttttteattn混凝土截面面积同样将

39、 、 代入截面曲率增量与弯矩增量式，表示为弯矩增量形式，即 ),(1iitte),(1iitt1111111),()(),(),(),(),(),(ijiisjiijiiicsiiciicstttmttetttttteittm 由以上公式可知，如用按龄期调整得有效模量代替混凝土的弹性模量 ，则在第 个时间内，因徐变、收缩产生的应力或内力增量与应变增量之间具有线性关系，因而可以利用解弹性结构的方法来求解混凝土结),(1iittee1iitt的徐变和收缩问题。在采用刚度法时，只需将刚度矩阵中的 用 代替即可e),(1iitte 根据有限单元法形成荷载矩阵的原理，如对结构中任一平面梁单元施加约束，使在第 个时间内节点变位增量保持为0，则可得节点约束（或锁定）产生的轴向力增量与节