平面任意力系的平衡条件和平衡方程课件

1、理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 条件和平衡方程条件和平衡方程理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一、一、平面任意力系平衡的必要平面任意力系平衡的必要 和充分条件和充分条件 二、二、关于平面任意力系的例题关于平面任意力系的例题 三、三、平面任意力系平衡方程的平面任意力系平衡方程的 其他形式其他形式 四、四、平面平行力系平面平行力系 理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一、平面任意力系平衡一、平面

2、任意力系平衡 的必要和充分条件的必要和充分条件理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1平面任意力系的充分条件平面任意力系的充分条件 现在讨论静力学中最重要的情形，即平现在讨论静力学中最重要的情形，即平 面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形 （3-6）理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 显然，主矢等于零，表明作用于简化中显然，主矢等于零，表明作用于简化中 心心 O 的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，的汇交力系为平衡力系；主矩等于零， 表明附加力偶系也是平衡

3、力系，所以原力系表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系 必为平衡力系。必为平衡力系。 因此，式（因此，式（3-6）为平面任意力系的充分）为平面任意力系的充分 条件。条件。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 2平面任意力系平衡的必要条件平面任意力系平衡的必要条件 由上一节分析结果可见：若主矢和主矩由上一节分析结果可见：若主矢和主矩 有一个不等于零，则力系应简化为合力或合有一个不等于零，则力系应简化为合力或合 力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一 步简化为一个合力。步简化为一个合力。 上述情况下力系都不能

4、平衡，只有当主上述情况下力系都不能平衡，只有当主 矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此， 式式 （3-6） 又是平面任意力系平衡的必要条又是平面任意力系平衡的必要条 件。件。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3平面任意力系平衡的必要和充分条件平面任意力系平衡的必要和充分条件 于是，平面任意力系平衡的必要和充分于是，平面任意力系平衡的必要和充分 条件是：条件是： 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于力系的主矢和对于任一点的主矩都等于 零。零。 这些平衡条件可用解析式表示。这些平衡条件可用解析式表示。理

5、论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 将式（将式（3-2）和（）和（3-3）代入式（）代入式（3-6），）， 可得可得 （3-7） 理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 结论结论: 平面任意力系平衡的解析条件是：平面任意力系平衡的解析条件是： 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影所有各力在两个任选的坐标轴上的投影 的代数和分别等于零，以及各力对于任意一的代数和分别等于零，以及各力对于任意一 点的矩的代数和也等于零。点的矩的代数和也等于零。 式（式（3-7）称为）称为平面任意力系的平衡方程平面任意

6、力系的平衡方程 （为便于书写，下标（为便于书写，下标 i 可略去）。可略去）。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 二、关于平面任意力系二、关于平面任意力系 的例题的例题理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例3-2 起重机起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴，可绕铅直轴AB转动；转动；起重机的挂钩上挂一重为起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物，的重物， 如图如图 3-6 所示。所示。 起重机的重心起重机的重心C到转动轴的距离为到转动轴的距离为1.5 m，其他尺寸如图所

7、示。其他尺寸如图所示。 求在止推轴承求在止推轴承 A 和轴承和轴承 B 处的约束力。处的约束力。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图图 3-6理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：解： （1）以起重机为研究对象）以起重机为研究对象 以起重机为研究对象，它所受的主动力以起重机为研究对象，它所受的主动力 有有P1和和 P2。由于对称性，约束力和主动力都。由于对称性，约束力和主动力都 位于同一平面内。止推轴承位于同一平面内。止推轴承 A 处有两个约束处有两个约束 力力FAx ，FAy ，轴

8、承，轴承 B 处只有一个与转动轴垂处只有一个与转动轴垂 直的约束力直的约束力FB ，约束力方向如图，约束力方向如图 3-6 所示。所示。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 （2）列平衡方程）列平衡方程 取坐标系如图取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力所示，列平面任意力 系的平衡方程，即系的平衡方程，即理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 （3）求解方程）求解方程 求解以上方程，得求解以上方程，得 FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。

9、反，即应指向左。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例3-3 图图3-7所示的水平梁所示的水平梁 AB，A 端为固定铰端为固定铰 链支座，链支座，B 端为一滚动支座。端为一滚动支座。 梁的长为梁的长为 4a， 梁重梁重 P，作用在梁的中点，作用在梁的中点C。在梁的。在梁的AC段上段上 受均布载荷受均布载荷 q 作用，在梁的作用，在梁的 BC 段上受力偶段上受力偶 作用，力偶矩作用，力偶矩 M = Pa 。 试求试求 A 和和 B 处的支座约束力。处的支座约束力。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件

10、和平衡方程 图图 3-7理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：解： （1）选梁）选梁AB为研究对象为研究对象 梁梁 AB 所受的主动力有：所受的主动力有： 均布载荷均布载荷 q， 重力重力 P 和矩为和矩为 M 的力偶。的力偶。 梁梁AB所受的约束力有：所受的约束力有： 铰链铰链 A 的两个分力的两个分力 Fax 和和 FAy ，滚动支，滚动支 座座 B 处铅直向上的约束力处铅直向上的约束力FB。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 （2）列平衡方程）列平衡方程 取坐标系如图取坐标系如图

11、3-7所示，列出平衡方程：所示，列出平衡方程：理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 （3）解方程）解方程 解上述方程，得解上述方程，得理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例例 3-4 自重为自重为 P = 100 kN 的的 T 字型刚架字型刚架 ABD， 置于铅垂面内，载荷如图置于铅垂面内，载荷如图 3-8a 所示。其中所示。其中 M = 20 kNm ， F = 400 kN ，q = 20 kN/m ， l = 1 m 。 试求固定端试求固定端 A 的约束力。的约束力。理论力学理论力

12、学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图图 3-8 a理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：解： （1）取）取 T 字形钢架字形钢架 ABD 为研究对象为研究对象 钢架钢架ABD上除主动力外，还受有固定端上除主动力外，还受有固定端 A 处的约束力处的约束力FAx ，Fay 和约束力偶和约束力偶 MA 。 线性分布载荷可视为一组平行力系，将线性分布载荷可视为一组平行力系，将 其简化为一个集中力其简化为一个集中力F1 ，其大小为，其大小为 理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力

13、系的平衡条件和平衡方程 其作用线可利用合力矩定理确定：其作用线可利用合力矩定理确定：理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 式中，式中，h 是点是点 A 到集中力到集中力 F1 的距离，由上的距离，由上 式求得式求得 h = l ， 即集中力作用于三角形分即集中力作用于三角形分 布载荷的布载荷的几何中心几何中心。 刚架受力图如图刚架受力图如图3-8b 所示。所示。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图图 3-8 b理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件

14、和平衡方程 （2）按图示坐标列平衡方程）按图示坐标列平衡方程理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 （3）解方程）解方程 解方程，求得解方程，求得 负号说明图中所设方向与实际情况相反，即负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。为顺时针转向。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解题技巧：解题技巧： （1）从上述例题可见，选取适当的坐标从上述例题可见，选取适当的坐标 轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的 未知数的数目。未知数的数目。 （

15、2）在平面任意力系情形下，矩心应取在平面任意力系情形下，矩心应取 在多个未知力的交点上，而坐标轴应当与尽在多个未知力的交点上，而坐标轴应当与尽 可能多的未知力相垂直。可能多的未知力相垂直。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 三、平面任意力系平衡三、平面任意力系平衡 方程的其他形式方程的其他形式理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 在例在例3-3中，若以方程中，若以方程 取取 代方程代方程 可以不解联立方程直接求可以不解联立方程直接求 得得 Fay 值。因此在计算某些问题时，采用力值。因此在

16、计算某些问题时，采用力 矩方程往往比投影方程简便。矩方程往往比投影方程简便。 下面介绍平面任意力系平衡方程的其他下面介绍平面任意力系平衡方程的其他 两种形式。两种形式。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1二矩式平衡方程二矩式平衡方程 （1）三个平衡方程中有两个力矩方程和一三个平衡方程中有两个力矩方程和一 个投影方程，即个投影方程，即 （3-8）理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 其中其中 x 轴不垂直于轴不垂直于 A，B 两点的连线。两点的连线。 （2）为什么上述形式的平衡方程也能满足

17、为什么上述形式的平衡方程也能满足 力系平衡的必要和充分条件呢？力系平衡的必要和充分条件呢？ a这是因为，如果力系对点这是因为，如果力系对点 A 的主矩等的主矩等 于零，则这个力系不可能简化为一个力偶；于零，则这个力系不可能简化为一个力偶； 但可能有两种情形：这个力系或者是简化为但可能有两种情形：这个力系或者是简化为 经过点经过点 A 的一个力，或者平衡。的一个力，或者平衡。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 b如果力系对另一点如果力系对另一点 B的主矩也同时为的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连

18、两点的连 线，或者平衡（图线，或者平衡（图3-9）。）。 c如果再加上如果再加上 ，那么力系如，那么力系如 有合力，则此合力必与有合力，则此合力必与 x 轴垂直。轴垂直。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图图 3-9理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 式（式（3-8）的附加条件）的附加条件 （ x 轴不得垂直轴不得垂直 于连线于连线 AB ）完全排除了力系简化为一个合）完全排除了力系简化为一个合 力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。理论力学理

19、论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 2三矩式平衡方程三矩式平衡方程 （1）同理，也可写出三个力矩式的平衡方同理，也可写出三个力矩式的平衡方 程，即程，即 ， ， （3-9） 其中其中 A，B，C 三点不得共线。三点不得共线。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 （2）为什么必须有为什么必须有 “ A，B，C 三点不得共线三点不得共线 ” 这个附加这个附加 条件？条件？ 同学们可自行证明。同学们可自行证明。理论力学理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3根据具体条件选择三组平衡方程根据具体条件选择三组平衡方程 （1）上述三组方程（上述三组方程（3-7）、）、 （3-8）、）、 （3-9），究竟选用哪一组方程，须根据具体），究竟选用哪一组方程，须根据具体 条件确定。条件确定。 （2）对于受平面任意力系作用的单个刚对于受平面任意力系作用的单个刚 体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡 方程，求解三个未知量。方程，求解三个未知