导数常用的一些技巧和结论(2)

1、导数常用的一些技巧和结论x-1 > In xS 加强版lnx<x-l(x>0) <i ( z , 11 < ln(7?+l)v 1 + K (+1 g2 n加强版K 取 一 - IF1 14 丄N叫"丄玄丄Xxj 1+xh取工+1累乘消项In2-ln3-n?7>玉丄 BPln(x+Oluxi XX即应王口xW1证明调和纟不收斂：】+£ >ln(n +1)12pi工取-x、基础练习题：1. 讨论函数/(对二20-乂 (x>0)的零点的个数；x2. 讨论函数/(x) = e'(l-xJ -2x)-a,(x>0)的零点

2、的个数;3讨论函数/(X)二-上,的零点的个数；4+讨论函数/(a)= hix + - 口，的零点的个数；X5 j寸论函数x> 0,/(x) =占-gv,的零点的个数;6.a <丄时，讨论函数f x) = nx-ax的零点的个数；eI.关系式为“加”型(1/ (x)+/(x)>0 构造 p7(x)J =，/(x)+/(X) xf (x)+/(x)>0 构造xf(xj =xf (x)+/(x)(3) ”(x)+"(x)no 构造xV(x)f = xw/(x)+;uw7(x)= xlxf(x)nf(x(注意对x的符号遊行讨论2关系式为“附型<1) /(.“心

3、0构造伊牛严芈型m&)<2) xf(X)-/(x)>0 构造X2xnr(3) %)-如0构造呼卜*-分沁)_寸(0-”(0(注意对x的符号逍行讨论2x x ae a 2 ex.2017 年全国新课标 1·理· 21）已知 f x1）讨论 f x 的单调性；2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围 解析：（ 1） f ' x 2ae2x a 2 ex 1 2ex 1 aex 1若 a 0 ，则 f ' x 0 恒成立，所以 f x 在 R 上递减；11若 a 0 ，令 f ' x 0 ，得 ex 1 ,x ln 1 .aa11

4、当 x ln 时， f ' x 0 ，所以 f x 在 ,ln 上递减； aa 11当 x ln 时， f ' x 0，所以 f x 在 ln , 上递增 .aa综上，当 a 0 时，x 在 R 上递减；当 a 0 时，x在11ln 1 上递减，在 ln 1 ,上递增 .aa2） f x 有两个零点，必须满足x min0，0 ，且 fx min111ln1ln 0aaa1 x ln x单调递减.构造函数 g x1 x ln x ， x 0. 易得 g ' x1 1 0，所以 g x xg11 1 0 a 1. a11又因为 g 1 0 ，所以 1 1 ln 1 0aa事

5、实上，构造函数hxx ln x ，易得 h'x11， h x minh11，所以h x 0 ，即 x ln xx当 0 a1时，a a 2 aea2 e2f12120，eee3a323ln313310，f lna1a 2 11 lnaaaaaa其中 11 ln ，3 lna1ln ，所以 f x在1,ln11 和 ln,ln3a上各有一个零点 .aaaaaa面只要证明当 0 a 1时，x 有两个零点即可，为此我们先证明当x 0时， x ln x.故 a 的取值范围是 0,1一方面：2x aexa 2 ex x 02x aexxa 2 ex ex0xaex a 3 0x 3 ax ln

6、3 1 ； aea注意： 取点过程用到了常用放缩技巧。另一方面： x 0 时， ae2x a 2 ex x 0a 2 ex x 0 x1（目测的）常用的放缩公式 （考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln 1 x放缩成双撇函数）ln x， ln xln x x 1 xx1，ln x放缩成二次函数）ln xx ， lnln1x2xx0放缩成类反比例函数）ln xln x1，lnx1x101，x， 1x 第二组：指数放缩ln 1 xln2x0，ln 12x放缩成一次函数）x，ex，放缩成类反比例函数）0，放缩成二次函数）x1x2x0第三组：

7、指对放缩ex ln x x 1第四组：三角函数放缩sinxx tanx xsinx x12x2cosx1sin x.2第五组：以直线x 1 为切线的函数y ln x ， y1， y1，yxxln x .几个经典函数模型经典模型一：lnx或yxln x例 1 】讨论函数lnx ax 的零点个数 .1） a 1 时，无零点 . ea，xmaxln 1 1 0. a3）4）变式】1. 讨论 f1时，e1 个零点 .f'x1，ex max f elne 1 0 .1 时， 2 个零点 . e0时，0（目测）ln 12 1a2 a1 个零点 .lnf'经过换元和等价变形之后均可以转化到例

8、fe0，0，ae其中ln x m x 的零点个数 （令 xea单调递增1：a ）；0.fln x1aa 0，e. （用到了1 e12eax ）：其中ln x1 110.e .（放缩）2. 讨论 f3. 讨论 fx ln x mx 的零点个数 （考虑 g xx）；4. 讨论 fln xln x mx 的零点个数（考虑 g x x f x，令 tx2，3m2a）；5. 讨论 fln x mx2 的零点个数（令t2x ， 2m a )；6. 讨论 fax ex 的零点个数 （令t).1x mln x 的零点个数 （令 a ）； mxx经典模型二： ye或yexx【例 2】讨论函数fxx eax 的零

9、点个数 .（1） a 0时， 1个零点f'xx ea0 ， f xxe ax单调递增 .111且f01 a 0 ，f1ea 1 0 ，所以在1,0 上有一个零点；aa2） a 0 时，无零点经典模型三： y xlnx或 yx xe【例】讨论函数 f x ln xa 的零点个数 .x（1）a 0时， 1个零点 .xa f ' x 20 ， f xaln x 单调递增 .xxa 1 af1a 0 ， f 1 aln 1 a101 a 1 a 1 a3)0a e 时，无零点 .f x minln a4) ae 时， 2 个零点 .11a ea a0，变式】经过换元和等价变形之后均可以

10、转化到例题2：1. 讨论 f2xemx的零点个数（ 令2x t ，2. 讨论 fmx 的零点个数（ 去分母后与 e3. 讨论 f4. 讨论 f5. 讨论 fx1e6. 讨论 fln x7. 讨论 f0恒成立；a1f 2lnfx）；1 等价 ）；m x 的零点个数（ 移项平方后与 1 等价 ）；lna 0；a a a 2ln a a e 2 0.mx2的零点个数（ 移项开方后换元与 1等价 ）；mx的零点个数（ 乘以系数 e，令 em a ）；mx 的零点个数（ 令 xmx m 的零点个数（ 令ax ）：et ，转化成 2）a ）；2）a 0时， 1个零点 （x0 1）4) a1时， 1个零点 .ex0x a ，2，xminln1e5) 1 e0 时，2 个零点 .ln a2 1 a11ea 0 ， f 1 a 0 ，aa变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：ln xa）： x1.讨论 f xaln x 的零点个数；2. 讨论 f xx ln x 的零点个数（ 考虑 gx ，令 xt ）；3. 讨论 f xax 的零点个数（ 令 ex t ）； e4. 讨论 f xa 的零点个数；x练习题1. 已知函数 fxx 2 ex2a