解三角形知识点小结

1、解三角形知识点小结、知识梳理1.内角和定理:在 ABC 中，ABC；sin(A B) sinC； cos(A B) cosCsin A sin BA B cos A cosBA B （ y cosx在上单调递减）S ABC面积公式：111absi nCbcsi nAacs in B222a b c2 则 Sp(p a)(p b)(p c)在三角形中大边对大角，反之亦然2.正弦定理：在一个三角形中 ，各边和它的所对角的正弦的比相等abc2R形式一：sin Asin Bsin C（解三角形的重要工具）a2Rsin Ab2Rsin B形式二：c2Rs inC（边化正弦）形式三：a : b :c si

2、 nA:sin B:sin C (比的性质)a .厂bcsin A,si nB -,sin C -形式四：2R2R2R （正弦化边）3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.2 2 2形式一： a b c 2bccosA2 2 2b c a 2cacosB （遇见二次想余弦）2 2 2cab 2abcosC形式二：.2 2 2“ b c arcos AcosB2bc ,2 2 . 2a c b2accosC2 . 2 2a b c2ab、方法归纳已知两角A、B与一边a,由A+B+C=n及sin A sinB sinC，可求出角c,再求b、c

3、.(2 )已知两边及一角，用余弦定理。(3 )已知三边，用余弦定理。(4)求角度，用余弦。三、经典例题问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在 ABC中，若b 5，B Z，sinA【例2】在厶ABC中，已知a= .3 ,b= . 2 ,B=45°，求A、C和c.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a 1，b 2，cosC(I)求 ABC的周长，(n)求cos A C的值.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:令sinsin cos cos sinsin 2 2sin cos令coscos cos ms

4、in sincos22 . 2 cossin2cos212sin,tan tantan1 mta n tan2 1+cos2 cos =2.21 cos2sin =2tan 22 tan1 tan2【例4】(2010重庆文数)设ABC的内角A、B C的对边长分别为a、b、c,且 3+3-3=4bc .2sin(A -)sin(B C -)(I )求sinA的值；(n )求44 的值1 cos2A若条件改为：3sin2 B 3sin2C 3sin2 A 4、2 sin BsinC2 在 ABC 中,a、b、c分别是角A, B, C的对边，且cosB _ b cosC 2a c(1)求角B的大小；

5、(2 )若b= .13 , a+c=4,求厶ABC的面积.问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】(2011山东文数)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a, b, c.已知cosA-2cos C2c-acosB2b ,(I)求SinC的值；(II)若cosB=1 , VABC的周长为5,求b的长. sin A41a cosCc b考虑以下式子：2(2a c)cos B b cosC (2a c)cos b bcosC 0【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”【例6】(2009全国卷I理)在ABC中，内角A、B C的对边长分别为a、b、c,已知 a2且 si nAcosC 3cos A

6、s in C,求 b【注】对已知条件(1)a2 c2 2b左侧是二次的右侧是一次的，可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) sin AcosC 3cos Asin C,化角化边都可以。3.在 ABC 中,a, b, c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2asi nA (2 b c)sin B (2c b)sin C.(I)求角A的大小；(n)若si nB si nC.3，试判断 ABC的形状。问题四：三角恒等变形【例7】(08重庆) 设 ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c,且A=60 , c=3b.求：(I) c 的值；(n) cotB +cot C 的值.(1 )平方关系2

7、sincos21,1tan22 sec,1 cot22 csc(2 )倒数关系sincsc =1,cos sec=1,ta ncot=1,(3 )商数关系tansincos,cot cossin4. (2009江西卷理)中，代B, C所对的边分别为，tan Csin AsinB sin(Bcos A,sin( B cosB(1)求；(2)若 S3ABC3，求.sin (AB)a c思考：1若sin(AB)c求Bo22 若 sin 2C si n2Csi nCcos2C 1，求C3若、3tan AtanBta nAtanB 逅，求CA) cosC .【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角

8、三角函数的基本关系式：问题五：判断三角形形状【例8】在厶ABC中，bcosA= acosB,试判断 ABC三角形的形状.【例9】仁ABC中，若鶯A =；，试判断ABC三角形的形状.5. 在 ABC中，若2cosBsinA= si门。则厶ABC的形状一定是6. 在厶ABC中，如果(a2+b2) sin (A-B) = (a2-b2) sin (A+B)，判断三角形的形状abc思考：若cosA cosBcosC，判断三角形的形状问题六：与其他知识综合【例10】已知向量 m （a c,b）,n （a c,b a）,且m n 0 ,其中A，B，C是厶ABC的内角,a,b,c分别是角A，B，C的对边.（

9、1）求角C的大小；（2）求si nA si nB的取值范围.【注】坐标运算：设 a （捲，）,匕（x2,y2），则：r r向量的加减法运算：a rb(X1X2，y1丫2）。实数与向量的积：i aX1,y1X1,y。r rrr平面向量数量积：a?bX1X2yM =abcosr rra / /b向量平行：abxmX2%r rrr向量垂直：a ba?b为 X2y1 y20思考：1若求cosA2 2 2 2cos B， sin A sin B， cos A cos B2若已知c3，求三角形周长和面积的取值范围。7.（ 2009浙江文）（本题满分14分）在 ABC中，角 代B,C所对的边分别为a,b,c

10、，且满足A 2 5 uuu uuur cos， AB AC 3 -25umr urn注：若条件改为AB?CA 3（I）求 ABC的面积;（II）若，求a的值.问题7:三角实际应用【例11】 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、点，并测得/ ACB=75°，Z BCD=45°，Z ADC=30°，Z ADB=45°B之间的距离.【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。ABC 中，A. 1个a= '5, b = '3, sinB=¥，则符合条 件的三角形有D. 0个( )B. 2个C. 3个2.在 ABC

11、中,a=15,b=10,A=60。，则=( )2 2A -2/2B -C-迈D近33333 某人朝正东方向走 x千米后，向右转并走 3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )A.B.C.或D. 34. (2008福建)在厶ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、g若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为()A.B.-63十5C.或6 6D.或2335已知 ABC 中，cot A，则 cos A。5_ 26. 在 ABC 中。若，c 、3， c ，则 a= 。37. 已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若 a=1,b=, A+C=2B则sinC= .&a

12、mp;已知 ABC 的周长为-2 1，且 si nA si nB2si nC 1(I)求边的长；(ll)若 ABC的面积为sinC，求角的度数.69 .在 ABC中，角A、B、C所对应的边分别为 a、b、c，且满足bsin A 3acosB .A 2、/5(I)求角B的值；(II)若cos,求sinC的值.2510.在 ABC中，分别为内角 A,B,C的对边，且 2cos(B C) 4s in B si nC 1 .(I)求；(U)若，sin 旦 1 ,求 b .23B 组1.若的三个内角满足 sinA:sinB:sinC 5:11:13，则()A.定是锐角三角形.B.定是直角三角形.C. 一

13、定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2 .已知圆的半径为 4, a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc= 16 . 2,则三角形的面积为()A. 2 ,'23 .要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶仰角是30°，并测得水平面上的/ BCD=120° ,CD=40m,则电视塔的高度为AA. 10mB. 20m4在 ABC中，角A、B、C的对边分别为BC. 20mD.a、b、c.若 (a2 + c2 b2)ta nB=Ca2 b2. 3bc ,，则角B的值为(5. (2010天津理)(

14、7)在厶ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinC 2 3 sin B，则 a=A.B.C.D.6.(2008湖北)在中，三个角 A,B,C的对边边长分别为a 3,b4,c6,则bccosA ca cosB abcosC 的值为7.在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a”B 3, cosA4'b(i)求的值；(n)求 ABC的面积.8.在 ABC 中，BC 5, AC 3,si nC 2si nA(i)求AB的值。(n)求si n(2A -)的值。49. 在厶ABC中，已知 B=45° ,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

15、10.设 ABC的内角 代B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC -c b. (1)求角的大小；(2)若，求 ABC的周长丨的取值范围.21 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为2 .在 ABC中，角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c若/ C= 120°, c= .' 2a，则(A. a>bB. a<bC. a = bD. a与b的大小关系不能确定13. (2010 新课标全国卷)在厶ABC中，D为边BC上一点，BD=?CD,/ ADB= 120° ,AD= 2.若ADC的面积为3 3,则/ BAC=66，4.(天

16、津市河东区2009年高三一模)17.如图所示，在 ABC,已知ABAC边上的中线BD 5,求：(1)BC的长度；(2)的值。5.设 ABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且atanB= J, bsinA= 4.求cosB和a； (2)若厶ABC的面积S= 10,求cos4C的值.6 .已知 ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,若2b=a+c,且2cos2B 8cosB+ 5 = 0, 求角B的大小，并判断 ABC的形状.7在 ABC中，分别为角 A、B、C的对边，且满足 b2 c2 a2 bc.(I)求角的值；(n)若a.3，设角的大小为ABC的周长为，求y f (x)的最大值.28.已知函数 f(x) 2 sin 2x2sin x, x R6(1)求函数f (x)的最小正周期；B厂(2 )记 ABC的内角A,B,C的对边长分别为 a,b,c，若f( )1,b1,c. 3，求a