第五章测量误差的基本知识

1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识青岛滨海学院青岛滨海学院主讲：主讲： 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识学习目标学习目标：通过学习，了解误差产生的规律，正确通过学习，了解误差产生的规律，正确处理观测结果。即

2、根据观测结果，求出最可靠值，并处理观测结果。即根据观测结果，求出最可靠值，并衡量其精度，选取适当测量方法，以符合规定精度。衡量其精度，选取适当测量方法，以符合规定精度。第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误

3、差的基本知识测量误差的基本知识5.15.1概述概述一、测量误差的发现一、测量误差的发现1 1、对同一量进行多次观测，发现观测值不相等、对同一量进行多次观测，发现观测值不相等2 2、某几个量应满足一定的几何条件、某几个量应满足一定的几何条件如：三角形如：三角形 +=180+=180 闭合水准闭合水准 h=0h=0 实际测量结果不等于零实际测量结果不等于零 原因：测量有误差原因：测量有误差二、观测误差的分类（一）系统误差1、定义： 在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上都相同，或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。 积累性2、例子：水准测量：i角误差，地球曲率，大气折光角度测量

4、： cc不hh，hh不vv，照准部偏心误差钢尺量距：尺长，温度，倾斜误差3、消除方法（1）采用适当的观测方法 水准测量时前后视距离相等， 可消除i角误差，地球曲率和大气折光的影响 水平角测量时盘左盘右观测取平均值 可消除cc不hh，hh不vv，照准部偏心误差（2）观测值加改正数 钢尺精密量距计算要加尺长，温度和倾斜改正（3）测量仪器校正（二）偶然误差()1、定义： 在相同的观测条件下作一系列的观测，如果少量误差出现从表面上看其大小和符号没有规律性，但就大量误差出现总体却具有一定的统计规律性,这种误差称为偶然误差 偶然性2、例子： 读数误差，照准误差， 闭合水准高差闭合差， 三角形角度闭合差,

5、3、减小方法： 用高精度仪器，熟练观测员，选择好的观测时间（三）错误（粗差） 1、种类：读错，记错，算错，瞄错方向 2、要求：观测成果杜绝错误 3、方法：进行多余观测（四）观测误差处理原则 观测成果整理时要求: 杜绝错误，消除系统误差，杜绝错误，消除系统误差， 对偶然误差进行处理对偶然误差进行处理（五）研究误差理论的任务 1、求观测值的最可靠值（平均值） 2、评定测量成果的精度 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等

6、精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.2 偶然误差的特性一、定义式： 在相同的观测条件下对此量进行n次观测，真值为x 观测值 l1，l2，ln， 偶然误差（又称真误差） 1，2n， 则 i=li-x 其中 i偶然误差（真误差） li观测值 x真值例如 i=wi=（l1+l2+l3）-180 其中 wi三角形闭合差二、实例： 1.用表格表示 观测358个三角形，得到358个真误差，按一定的方法统计在表中2.用直方图表示 从表格和直方图中可以

7、得出偶然误差的三个特性：1）误差都不超过242）误差小出现的个数多3）正误差和负误差出现的个数大致相同3.误差分布曲线 当观测值无限增大时，各长方形顶边的折线就变成一条光滑的曲线 ，称为误差分布曲线 ,三、偶然误差统计特性三、偶然误差统计特性 从误差分布曲线中，可以看到偶然误差的从误差分布曲线中，可以看到偶然误差的四个统计特性：四个统计特性：1 1、在一定观测条件下，、在一定观测条件下， maxmax定值定值2 2、p(p(大大) p() p(小小)3 3、p(+)= p(-)p(+)= p(-)4 4、1lim0nnn l l 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶

8、然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 在测量工作中，常采用以下几种标准评在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。定测量成果的精度。中误差中误差相对中误差相对中误差极限误差极限误差 中误差所代表的是某一组观测中误差所代表的是某一组观测值的精度。值的精度。 极限误差是衡量观测值是否

9、被极限误差是衡量观测值是否被采用的标准。采用的标准。 相对中误差反应观测的质量相对中误差反应观测的质量。5.3 衡量观测值精度指标一、中误差1、定义式：某量的真值为x， 在相同的条件下进行n次观测 观测值 l1， l2， ln， 真误差 1， 2，n，则中误差定义式为222212nmnn l l【例题】用二台不同精度的经纬仪观测10个三角形的内角，三角形的真误差为第一组 3，-2，-4，2，0，-4，3，+2，-3，-1秒第二组 0，-1，-7，+2，+1，+1，+8，0，3，-1秒试求：m1和m2,哪台仪器误差比较小,精度高?解第一台经纬仪测角中误差小，精度高222222222213( 2)

10、( 4)20( 4)32( 3)( 1)2.710m 23.6m二、允许误差 由概率论知道，偶然误差绝对值大于二倍中误差个数约占总数的5%，大于3倍中误差的占总数的0.3%,把二倍或三倍中误差作为允许误差。 作用：区别误差和错误的界线。三、相对中误差 真误差、中误差、允许误差都称为绝对误差。 相对中误差的定义： 中误差与观测值之比，并把分子化成11/mkdd mmm32允【例题】已知：钢尺量两段距离，d1=500米，d2=80米，中误差相同 m1=m2=0.02米。试求:k1和k2 解： 由此可见，中误差有时候不能反映观测精度， 而相对中误差能反映观测精度。 高差，高程，水平角，竖直角的测量精

11、度采用中误差， 而钢尺量距采用相对中误差。 10.02150025000k 20.021804000k 四、权设有一组不同精度的观测 观测值 l1 l2 l0 li 中误差 m1 m2 m0 mi 权 p1 p2 p0=1 pn 选择其中某一观测为l0，其中误差m0称为单位权中误差， 它的权为p0=11、权定义： 单位权中误差平方m02与其他观测值的中误差mi2之比， 称为观测值的权。用公式表示 从公式中看到观测值的权与观测值的中误差平方成反比。202iimpm【例题】已知：m0=10毫米，其权p0=1， 第一条水准路线m1=22.4毫米， 第二条水准路线m2=31.6毫米， 试求：p1，p2

12、 解： 权是反映观测值的相对精度。 观测值中误差越小，权越大，观测精度越高。2201221100.2022.4mpm2202222100.1031.6mpm 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 在测量工作中，在测量工作中，有

13、些未知量往往不能直有些未知量往往不能直接测得，而需要由其它的直接观测值按一接测得，而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计算出来。定的函数关系计算出来。由于独立观测值由于独立观测值存在误差，导致其函数也必然存在误差，存在误差，导致其函数也必然存在误差，这种关系称为误差传播。阐述观测值中误这种关系称为误差传播。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。为误差传播定律。 5.4 误差传播定律及其应用评定直接观测值的精度 如何评定直接观测值函数的精度，如：在三角形中，测量m，m 可计算， =180-，如何求m？如：三角高程中，测量dmd

14、， m ， 可计算，h=dtan，如何计算mh ？要用误差传播定律来计算nvvm一、线性函数的误差传播定律（一）公式 设有n个独立观测值xi的一个线性函数 z=k1x1+k2x2+knxn+k0 其中 ki已知常数 则z的中误差为 其中mi独立观测值xi的中误差22222112)()()(nnzmkmkmkm（二）计算步骤1.根据实际测量问题的要求写出函数式z=k1x1+k2x2+knxn+k02.把函数式转变成相应的中误差，去掉常数项k0然后把等式两边的每一项取平方和1122znnmk mk mk mk22221122znnmk mk mk mk【例题5-4】已知：在三角形中测得 m=704

15、2063.5， m=3113306.2。试求：角及其中误差m。解：函数式：=180-=780424 中误差式： 最后写成：+m=7804247.1222mmm 22mmm 【例题5-5】已知：水准路线ab总共观测n站， 每站测量高差的中误差m站 试求：ab两水准点高差hab的中误差 解：1.函数式：hab=h1+h2+hn 2.中误差式： 3.若n=10站，m站=2毫米 则有22222.mmmmnm站站站站hmnm站h1026.3mnm 站毫米h【例题5-6】已知：对某量同精度观测n次， 观测值 l1，l2，ln， 观测值中误差 m，m，m, 试求：平均值x及其中误差m

16、解：1.函数式： 2.中误差式： 112lknnlllllxnnnn2222222mmmmnnnmmnnnmmnk3.若若m=8.5，n=8测回测回 则则 8.53.08mmn 【例题】等精度观测了四边形内角各三个测回， 一测回角度中误差m=8.5， 求:四边形角度闭合差f的中误差mf解：1计算每个角度三测回平均值中误差 2.列出四边形角度闭合差的函数式3.变成中误差式8.54.93mmn 1234360f2222224224.99.8ffmmmmmmmm二、一般函数的误差传播定律（一）公式设有n个独立观测值xi的一般函数：全微分式变成中误差式其中mi独立观测值xi的中误差 12,nzf x

17、xxk12121122nnnnfffdzdxdxdxxxxk dxk dxk dxkk22221122.nnmk mk mk mz（二）计算步骤1.按实际测量问题的要求写出函数式2.对函数进行全微分3.变成中误差式12,nzf x xxk12121122nnnnfffdzdxdxdxxxxk dxk dxk dxkk22221122.nnmk mk mk mz【例题】已知：测量矩形的长和宽 ama=20.0000.002米 bmb=50.0000.004米 试求：矩形的面积s及其中误差ms解： 1.函数式：s=ab=2050=1000米2 2.全微分： 3.变成中误差式： 最后写成sms=10

18、000.128米2 dsb daadb222()()sabmb ma m22222()()(50 0.002)(20 0.004)0.128米 sabmb ma m【例题5-7】已知：三角高程测量，测量得到dmd=120.2500.050m，m=12470030，试求：高差h及其中误差mh解：（1）函数式： （2）全微分： （3）变成中误差式最后写成：hmh=27.2830.022米 tan120.250 tan12 47 0027.283hd=m2tan()tantan(sec)()dhddddddhddd222222tan(sec) ()hdmmdm2222230tan12 47 000.

19、05(120.250 sec 12 47 00 ) ()0.022 hmmoo206265【例题5-8】已知： 钢尺量得ab斜距lml=29.9920.003米 测量ab的高差hmh=2.0500.050米 试求：水平距离d及其中误差md解：（1）函数式： （2）全微分：d2=l2-h2 化简： 222229.9922.05029.922dlh米222dddldlhdhdddldlhdh（3）变成中误差式（dmd）2=（lml）2+（-hmh）2整理：最后写成dmd=29.9220.005m222229.992 0.0032.050 0.05029.9220.005米 lhdlmh mmd三

20、误差传播定律的应用（一）水准测量的精度水准路线高差总和的中误差其中 n水准线路的总站数 l水准线路的长度 m站每测站测量高差的中误差 m1km每千米测量高差的中误差hmnm站1kmhmlm（二）测回法测量水平角的精度1.dj6经纬仪-测回的方向值 ， ，其中误差 2.半测回的方向值为a左，a右，c左，c右，其中误差m半方根据上述公式对于dj6经纬仪ac16.0m 方121c2左右左右（180 ）（c180 ）aaacoo221111mm222mm22方半方半方半方（）（）12mm方半方26.08.5m 半方3.半测回的角度上，下，其中误差为m半角对于dj6经纬仪： m半角=26.0=12.04

21、.一测回角度为，其中误差是m1角则 对于dj6经纬仪222211()2mmmm下上角半角半角半角111（） （）222c左左上ac下右右ammm2 m2222半角半方半方半方（） （-）（）()11m2m2 22mm方方半角半方11m226.08.5m 方角（三）电磁波测距仪 测量水平距离和高差的精度已知：电磁波测距仪测得斜距 lml， 观测竖直角 m求：水平距d和高差h及其中误差md和mh解： 1.计算d和md 函数式 全微分 中误差式d=lcosddd=(cos)dl-(l sin)（）d222lmm =(cos)m +-(l sin)（）2.计算h和mh函数式 h=lsin全微分中误差式

22、ddh=(sin)dl+(l cos)（）222hlmm =(sin)m +(l cos)（） 解：1.计算d和md =0.0036米 cos158.470 cos35 1855129.309米dl d22lmm = (cos)m +-(l sin)（）22d6.0= (cos35 18550.003) +(158.470sin35 1855 )()moo 【例题【例题5-95-9】已知：电磁波测距已知：电磁波测距 l lm ml l=158.47=158.470.0030.003米，米， m m=35=35185518556.06.0 试求：试求：d dm md d和和h h m mh h2

23、.计算h和mhsin158.470 sin35 18 55米hlo =91.60822l22m(sin)m +(lcos)()6.0(sin35 18 55 ) 0.003(158.470 cos35 18 55 )()2062650.0041米 hmoo四、根据真误差计算中误差的实例 根据三角形的闭合差w，计算三角形内角和的中误差m 及测角中误差m1.计算m 三角形闭合差的计算公式： 根据中误差的定义式：2.计算m 则 这是著名的费列罗公式。 iiiiw( + + ) 180 i wwwmmnn+ 3mm33mwwmn【例题5-10】已知：有20个三角形的闭合差wi +5，-7，-16，+2

24、，-13，+8，-2，+7 -2，-6，-6，+3，+7，-3，-12，+1 -5，+19，+13，+7试求：m和m解：15128.720wwmn 8.75.033mm 应用误差传播定律的注意事项：应用误差传播定律的注意事项： 1 1、式中的、式中的 是用观测值代入后算出的偏是用观测值代入后算出的偏导函数值。导函数值。 2 2、当给出的角度中误差以度分秒为单位时，、当给出的角度中误差以度分秒为单位时，则应除以则应除以 。 3 3、各观测值必须是相互独立的。、各观测值必须是相互独立的。ixf 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的

25、指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.5 等精度观测在相同的观测条件下，对某量进行n次观测观测值： l1 l2 ln观测值中误差： m m m求：平均值x，观测值中误差m，平均值中误差m一、计算平均值二、计算观测值中误差 其中：vi观测值改正数 计算公式：vi=x-li三、计算平均值中误差 12nllllxnnk k22212

26、11nvvvvvmnn(1)vvmmnnn【例题】已知：用经纬仪观测水平角6次，观测值列入表中求：x，m和m解：1、计算平均值：2、计算中误差： vi=x-li vi=0，2，3，1，-2，-4秒3、计算平均值中误差： 75 21 26lxn342.616 1vvmn 2.61.16mmn 【例题】已知：用钢尺量距6次，观测值列入表中。求：x，m，m和平均值相对中误差k解：1、计算平均值：2、计算观测值中误差：vi=x-li vi=6，9，-2，-11，7，-9毫米3、计算平均值中误差和相对中误差： 289.788lxn米8.63.56mmn 毫米3.5128978883000mkx3728.

27、616 1vvmn 毫米 5 51 1测量误差概述测量误差概述5 52 2偶然误差的特性偶然误差的特性5 53 3衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5 55 5等精度独立观测值的算术平等精度独立观测值的算术平均值及精度评定均值及精度评定5 56 6不等精度独立观测值的加权不等精度独立观测值的加权平均值及精度评定平均值及精度评定第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.6 不等精度观测 在不同的观测条件下，对某量进行n次观测 观测值： l1 l2 ln 观测值中误差： m1 m2 mn 观测值的权： p1 p2 pn求：加权平均值x和它的中误差m一、计算加权平均值1、加权平均值2、计算观测值的权计算水准路线的权 其中 c任意常数 si水准路线的长度，以公里为单位 112212llnnnplplp lp lxppppiicps二、计算加权平均值的中误差 221 11()(1)()(1) llnnnpvvpvpvmnppnp【例题】已知：由四条水准路线组成的单结点 水准网。abcd是已知水准点，分别测量e点的高程 l1 l