2021届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十五)立体几何中的向量方法理(普通高中)

1、课时跟踪检测四十五立体几何中的向量方法一普通高中适用作业A级一一根底小题练熟练快1 在棱长为1的正方体 ABCDAiBCD中，M N分别为 AB, BB的中点，那么直线 AM 与CN所成角的余弦值等于b£3C.5解析：选D 建立如下图的空间直角坐标系，那么A(1,0,0),iM1, 2， 1 ,qo,i,o)A:wT故 cos AM, CN >>AM >| AM| I1 _o+ 0+2_2 CN |' 5 左 52 2"Cn2.直三棱柱 ABGA1B1C1中，/ BCA= 90°, M N分别是 AB, AC 的中点，BC= CA= CC

2、,那么BM与AN所成角的余弦值为)1A.102B.5D.解析：选C建立如下图的空间直角坐标系Gxyz，设BC= 2,那么 B(0,2,0) , A(2,0,0), M(1,1,2),>N(1,0,2)，所以 BM= (1 , - 1,2),0,2),故BM与 AN所成角0的余弦值| BM "AN|3COS “6xI5 =市| BM| I AN|6只;53.在直三棱柱 ABGABC中，AA= 2, 二面角 BAA-C的大小为60°,点B到平面ACCA的距离为J3,点C到平面ABBA1的距离为2 : 3，那么直线BG与直线AB所成角的正切值为A. ：7B. ：6C. .&

3、#39;5D . 2解析：选A由题意可知，/ BAG= 60°，点B到平面ACCA的距离为 护，点C到平面 ABBAi 的距离为 2 ,；3,所以在三角形 ABC中, AB= 2, AC= 4, BC= 2 '3,Z ABC= 90°,> > > > > >贝V AB BC = ( BB bA) ( BB + BC) = 4,| Bt| = 2 !2, | "BCI = 4,> >AB BCcos AB , BC =Bb4I屈 "BgiBBf故 tan AB , BC = .'7.A.307

4、0"305C.30 5D.30Tq"解析：选D因为PAL平面ABC所以PAL AB, PAL BC过点A作AE/ CB又CBL AB那么AP, AB AE两两垂直.如图，以A为坐标原点，分别以 AB AE AP所在直线为x轴, z轴建立空间直角坐标系Axyz ,那么 A(0,0,0) , F(0,0,2) , B(4,0,0) , C(4 , 2,0).因为D为PB的中点，所以D(2,0,1)BB故 CP = ( 4,2,2) , AD = (2,0,1)所以cos 兀,"CpAD CP6I "di "Pi ;，5x2，6.30話.设异面直线P

5、C AD所成的角为e,贝U cos e = |cosBAD ,BCP | =.3010 .5.如图，正三棱柱 ABCAiBC的所有棱长都相等,E, F , G分别为AE H4.如下图，在三棱锥 P-ABC中，PA!平面 ABC D是棱PB的中点, PA= BC= 2, AB= 4, CBL AB那么异面直线 PC AD所成角的余弦值为B.C.10D.3、610解析：选A设正三棱柱的棱长为DB分别以DA DB DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系，如下图，那么 B0,：3，2，F1,0,1，E*，拐，0，COW，2,取AC的中点D,连接DGIBIF = (1，- )3，- 1)，

6、吞=2，-¥，1，GF = (1,0，- 1).设平面GEF的法向量n = x，y，z，EF n= 0，y+z= 0，GF n= 0，x z = 0,取 x = 1,贝 y z = 1，y = '3，故n =1,'3, 1为平面GEF的一个法向量，>1 3 13所以 cos n, BF > =-二，B.V5 Xyj 5 所以BF与平面GEF所成角的正弦值为 石应选A. 6在正方体 ABCDABCD中，点E为BB的中点，那么平面 AED与平面ABC斷成的锐.面角的余弦值为A.2C.D.J2T解析：选B以A为原点建立如下图的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1

7、,那么 A(0,0,1), E 1, 0, 1 , D(0,1,0),>二 AD= (0,1 , 1),z11122DCEF&上L><H,n2I nI EF| DC|1，那么D(0,0 , 0), qo ,1,0) ,E, 1即1-亠0设平面AED的一个法向量为n1= (1 , y, z),y=2,z = 2.: n1=(1,2,2)又平面ABCD勺一个法向量为n2= (0,0,1),2 2 cos 5, rh> = 3xi = 32即平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 3.7.如下图，在正方体 ABCD -ABCD中，E, F分别是正方形 ABC

8、D .一"DC>= 135°,.异面直线 EF和CD所成的角的大小是 45°.答案：45设平面ACD的一个法向量为 n= (1 , y, z),n1 AD= 0, 那么 一m A E = 0,y轴,和正方形ADDA1的中心，贝U EF和CD所成的角的大小是 解析：以D为原点，分别以DA DC DD所在直线为 x轴,2y 2z = 0,-2+ y = 0,故 n=(1,2,2),那么sin0 = |cos n,y z = 0,>FE > |8.如图，四棱柱 ABCDABGD的侧棱AA垂直于底面，底面ABC为直角梯形，AD/ BC A吐 BC AD=

9、 AB= AA = 2BC E为 DD的中解析：因为 AB AD AA两两垂直，故以 A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图,设BC= 1,贝U A(0,0,0) , A(0,0,2) , C(2,1,0),Q0, 2,0),曰0, 2,1) , F(0,1,1), "Fe =(0,1,0),入D= (0,2 ,2), "D= ( 2,1,0).n 那么>AD = 0 ,>CD = 0 ,|n| |FE-|轴建立如下图的空间直角坐标系> > >DC= (0,1,0), cos <

10、 EF , DC >点，F为AD的中点.那么直线EF与平面A CD所成角的正弦值为D-xyz ,设正方体的棱长为F1 , 0 ,1 >2 , EF = 0 ,> < EF ,_ |1 X o+ 2X 1 + 2X 0|_ 2寸1 + 4 + 4 X 寸 0+ 1 + 0 32故直线EF与平面AQD所成角的正弦值为3.答案：29.如图，菱形 ABCDK/ ABO60°, AC与BD相交于点 0,面ABCDCF/ AE AB= 2, CF= 3.假设直线FC与平面BED所成的角为那么AE=解析：如图，以 0为原点，以OA 0B所在直线分别为x轴，y轴， 以过点0且

11、平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设 AE= a，那么 B0， '3，0，D0，- ,3 0，F 1,0,3，E1,0， a，"OF = 1,0,3 ，"DlB = 0,2 羽，0，"Eb= 1，念，a 设 平面BED的法向量为n= x，y，z，n DB = 0， 那么 一n "EB = 0，2 ：'3y = 0，x + '3y az= 0,那么 y = 0,令 z = 1,得 x= a，- n= ( a, 0,1), cos n, OF>n oFI n| "0F|-,，a + 1 10a+ 3直线FO与平

12、面BED所成角的大小为45._| a+ 3|_ = .'2 :a2+ 1X. 102，解得 a= 2 或 a= 1(舍去)， AE= 2.答案：210.如图，四棱锥 P -ABCD勺底面ABCDI等腰梯形，AB/ CD 且 ACL BD AC与 BD交于 O, POL底面 ABCD PO= 2, AB= 2迄，E, F 分别是AB AP的中点那么二面角 F -OE -A的余弦值为 .解析：以O为坐标原点，OB OC OP所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立如下图的空间直角坐标系O xyz,由题知，OA= OB= 2,那么 A0， 2,0 , B2,0,0, P0,0,2, E1 , 1

13、,0 , F0，1,1),那么"e = (1, 1,0) , "Of = (0 , 1,1),设平面OEF的法向量为nn= (x, y, z),m那么m-"01= 0 ,"Of = 0 ,x y= 0即y + z= 0.令 x = 1,可得 m= (1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n= (0,0,1),山m-n x/3那么cosm n>=亍由图知二面角 HOEA为锐角,所以二面角F-OEA的余弦值为答案：身3B级一一中档题目练通抓牢1. (2021 江苏高考)如图，在平行六面体 ABCDA1B1GD中，AA丄平面 ABCD 且 AB= A

14、D= 2 , AA = 3 , / BAD= 120°(1)求异面直线 AB与AC所成角的余弦值；(2)求二面角B-AD-A的正弦值.解：(1)在平面ABCD内，过点A作AEL AD,交BC于点E.因为AA丄平面ABCD所以AA丄AE AA丄AD故以AE AD, AA所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系 A xy z.因为 AB= AD= 2,1,0) , Q0,2,0) , E(J3 , 0,0) , A1(0 , 0 ,品,C(p3 , 1, V3).(1) "B = ( .''3 , 1 ,AA= ；'3 , / BAD=

15、 120° , 那么 A(0,0,0), 0 ；'3 ,-,.'3), AG =(帀，1, ,.'3).> >那么 cos A1B , AC >汀 F17 = 7.因此异面直线 AB与AC所成角的余弦值为(2)可知平面 ADA的一个法向量为 NE = ( '3, 0,0).设mi= (x, y, z)为平面BAD的一个法向量，又 AiB = ；3, -E m = 3 =3 -Eii nT 3x44，飞.3 , BD =匸3, 3,0,m- AB = 0, 那么m- bD = 0,.'3x y :3z= 0,-: 3x + 3y

16、 = 0.不妨取 x = 3，贝U y = .'3， z= 2,所以m= (3，羽,2)为平面BAD的一个法向量,>从而 cos AE, m3 设二面角 BA DA的大小为 e，那么|cos e | =-.4因为e 0 ,n ，所以sine = : 1 cos2因此二面角 BADA的正弦值为2. (2021 北京高考)如图，在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD正方形，平面 PADL平面ABCD 点 M在线段PB上，PD /平面 MAC PA= PD=J6, AB= 4.(1)求证：M为PB的中点;(2) 求二面角 BPD A的大小；(3) 求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

17、解：(1)证明：设AC, BD的交点为E,连接ME因为PD/平面MAC平面MAS平面PDB= ME所以 PD/ ME.因为底面ABCD1正方形，所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.取AD的中点O连接OP OE因为PA= PD 所以OPL AD又因为平面 PAD_平面 ABCD平面PADn平面 ABC= AD OF?平面PAD所以OPL平面ABCD因为0E?平面ABCD所以OPL OE因为底面ABCD1正方形，所以 OEL AD> > >以O为原点，以OD, OE, OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如下图的空间直角 坐标系Oxyz，那么 P(0,0，：2)，D(2,0,0

18、)，B( 2,4,0),"Bd=(4 ,4,0),"PD = (2,0 ,设平面BDP的一个法向量为 n= (x, y, z),n BD = 0, 那么>n PD = 0,4x 4y = 0, 即2x -2z = 0.令 x = 1,得 y = 1, z = '2.于是 n= (1,1 ,.2).又平面PAD的一个法向量为p= (0,1,0),所以 cos n, p> =n pI n| p|2'由题知二面角 BPD A为锐角,C(2,4,0)所以二面角BPDA的大小为60°由题意知那么-3, 2,¥ .设直线MC与平面BDP所

19、成角为a ,| n MC|2护| n| MC-T9>那么 sin a = |cos n ,MC> |所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为3. (2021 全国卷n )如图，四棱锥 F-ABCD ,侧面PAD为等边一一 1 一 三角形且垂直于底面 ABCD AB= BC=尹口 / BAD=Z ABC= 90° , E是PD的中点.(1)证明：直线CE/平面PAB点M在棱PC上 ,且直线BM与底面ABC靳成角为45° ,求二面角MABD的余弦值.解：(1)证明：取PA的中点F,连接EF, BF因为E是PD的中点，所以EF/ AD EF= *AD由/ BAD=Z ABC= 90°,得 BC/ AD,又BC= 1aD所以EF綊BC所以四边形BCEF!平行四边形，