四川省成都市高二数学下学期期中试题 理含解析

1、四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。）1. 在三棱柱中，若，则等于( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】直三棱柱abca1b1c1中,，= + =+=.故选：d.2. 函数，则 的值为( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】解答：f ( x)=sinx+ex，f( x)=cosx+ex，f(0)=cos0+e0=1+1=2，故选：b3. 已知表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是( )a. 若，则 b. 若，则c. 若，则 d. 若，则【答案】b【解析】如图, ,但 相交,错

2、; ,但,错; ,但 ,错;故本题选 4. 函数的单调递减区间是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】解答：f(x)=，令f(x)<0，解得：1<x<e，故f(x)在(1,e)递减，故选：d.5. 在棱长为的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】试题分析：取的中点，连接，再取的中点，连接，则为异面直线所成的角，在中，由余弦定理，可得，故选a考点：异面直线所成的角的求解6. 已知函数，若，且，则下列不等式中正确的是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】为奇函数，所以；因为，所以

3、，由可知函数单调递增，所以，移项可得7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是， 则正视图中的的值是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】试题分析：该几何体是四棱锥，考点：三视图，棱锥的体积8. 若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】解答：因为对任意的x>0,恒有lnxpx1p恒成立，设f(x)=只须求其最大值，因为f(x)=,令f(x)=0x=1，当0<x<1时,f(x)>0，当x>1时,f(x)<0，故f(x)在x=1处取最大值且f(1)=1.故p的取值范围是1,+).故选d.9. 甲、乙两

4、人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成。以4:30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为:(x,y)|0x30,0y30，画成图为一正方形。会面的充要条件是|xy|20,即事件a=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分,由几何概型公式知所求概率为面积之比,即p(a)=；故选b.点睛：(1)当试验的结果构

5、成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率10. 如图在一个的二面角的棱上有两个点，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】= + + ，=+ +2+2+2,，=0,=0，=|cos120=×1×2=1.=1+1

6、+42×1=4，|=2，故选：a.11. 已知函数的图象如图所示，则的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】由图象可知：经过原点,f(0)=0=d，.由图象可得：函数f(x)在1,1上单调递减,函数f(x)在x=1处取得极大值。f(x)=3ax2+2bx+c0在1,1上恒成立,且f(1)=0.得到3a2b+c=0，即c=2b3a，f(1)=3a+2b+c<0，4b<0，即b<0，f(2)=12a+4b+c>0，3a+2b>0，设k=,则k=，建立如图所示的坐标系,则点a(1,2)，则k=式中变量a、b满足下列条件，作出可行域如图：k的

7、最大值就是kab=,k的最小值就是kcd,而kcd就是直线3a+2b=0的斜率,kcd=，<k<.故选d.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12. 已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】解答：曲线c1:y2=tx(y>0,t>0),y=t，x=,y=,切线方程为y2=

8、(x)设切点为(m,n),则曲线c2:y=ex+11,y=ex+1,em+1=,m=ln1,n=1，代入12= (ln1)，解得t=4，=4lne2=8.故选d.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为二、填空题（每小题5分，共20分。）13. _.【答案】【解析】,故答案为.14. 已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_.【答案】【解析】由题意，不妨设p在第一象限，由双曲线的

9、方程知|pf1|pf2|=4,c=2|pf2|=2,|pf1|=6，2a=|pf2|+|pf2|=8，a=4.椭圆与双曲线有相同的右焦点,c=2，椭圆c1的离心率为e=，故答案为：.15. 已知函数的导函数为，满足，则的解集为_.【答案】【解析】解答：设g(x)=f(x)(2x+1)，因为f(3)=7,f(x)<2，所以g(3)=f(3)(2×3+1)=0，g(x)=f(x)2<0，所以g(x)在r上是减函数,且g(3)=0.所以f(x)<2x+1的解集即是g(x)<0=g(3)的解集。所以x>3.故答案为：(3,+).16. 已知函数，若存在唯一的正整

10、数，使得，则实数_.【答案】【解析】由题意,f(x)=0,可得m=，m=，函数在(,0),(1,+)上单调递减,在(0,1)上单调递增，存在唯一的正整数x0,使得f(x0)0，x=1时,m=,x=2时,m=，<m，故答案为：.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题（本大题共6小题，共70分。）17. 如图，在直三棱柱中，点是的中点，求证：

11、（）；（）平面。【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）利用为直三棱柱，证明ac，利用ab2=ac2+bc2，说明accb，证明ac平面，推出ac（2）设=e，说明e为的中点，说明de，然后证明平面试题解析：（1）（2）设bc1与b1c交点为o，连结od，考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系18. 某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1组50，60)50.05第2组60，70)0.

12、35第3组70，80)30第4组80，90)200.20第5组90，100100.10合计1001.00（）求的值；（）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。【答案】(1) 35，0.30;(2).【解析】试题分析：（）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解试题解析：（）a100530201035，b1

13、0.050.350.200.100.30（ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×303人，第4组：×202人，第5组：×101人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为a1、a2、a3，第4组的2位同学为b1、b2，第5组的1位同学为c1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(

14、b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 已知函数。（）求函数的单调区间；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。【答案】(1) 函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，);(2)

15、 a.【解析】试题分析：（）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，从而求出其单调区间，（）由g(x)x22aln x得g(x)2x，建立新函数，求出其最小值，解出即可试题解析：（）函数f(x)的定义域为(0，).当a0时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)； 当a0时，f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，). （ ）由g(x)x22aln x，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立即a

16、x2在1,2上恒成立. 令，则h(x)2x(2x) ，所以h(x)在1,2上为减函数，h(x)minh(2)， 所以a. 20. 在四棱锥中，为正三角形，四边形为矩形，平面 平面，分别为的中点。（）求证：/平面；（）求二面角的大小。【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（）mn是abc的中位线，可得mnbcad，即可证以mn平面pad（）过点p作po垂直于ab，交ab于点o，因为平面pab平面abcd，所以po平面abcd，如图建立空间直角坐标系设ab=2，则a（-1,0，0），c（1,1，0）,m（,0，）,b（1,0，0），n（,，），利用向量法求解.试题解析：（）证明：m，

17、n分别是pb，pc中点mn是abc的中位线 mnbcad又ad平面pad，mn平面pad所以mn平面pad.()过点p作po垂直于ab，交ab于点o，因为平面pab平面abcd，所以po平面abcd，如图建立空间直角坐标系设ab=2，则a（-1,0，0），c（1,1，0）,m（,0，）,b（1,0，0），n（,，），则，设平面cam法向量为，由 可得，令，则，即平面法向量所以，二面角的余弦值因为二面角是锐二面角，所以二面角等于点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转

18、化为证明线面垂直.21. 已知椭圆经过点，离心率。（）求椭圆的标准方程；（）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。【答案】(1) ;(2)1.【解析】试题分析：（）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx2，p（x1，y1），q（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值试题解析：（）由点在椭圆上得，由得，故椭圆的标准方程为 22. 已知，。（）求函数的极值；（）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；（）求证：当时，。【答案】(1) ，无极大值;（2） (3)详见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；（2）由对函数求导得到函数在上单调递减，单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；（3）问题等价于，由（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.试题解析：（1）由得，由，得在上单调递减，在上单调递增，无极大值.（2）又，易得在上单调递减，在上单调递增，要使函数在内有两个零点，需，即，即的取值范围是.（3）问题等价于由（1）知的最小值为令（）易知在上单调递增，上单调递减又，故当时，成