最新数学建模常见问题和方法.

1、数学建模竞赛常见数学建模竞赛常见问题与方法问题与方法 常见相关模型及其常见相关模型及其建模方法建模方法综合评价模型常见方法综合评价模型常见方法近几年综合评价的赛题近几年综合评价的赛题综合评价基本方法综合评价基本方法最优权法法功效评分法综合指数法topsis灰色理论评价方法模糊综合评价法数据包络分析法主成分分析法层次分析法一一. 层次分析法层次分析法2006年全国数学建模题年全国数学建模题 目标层准则b1准则b2准则准则bn方案c2方案c1方案c3方案cm例例1 渡假旅游地渡假旅游地的选择的选择选择旅游地选择旅游地景景色色费费用用居居住住饮饮食食旅旅途途p1p2p3 渡假旅游地的选择层次结构渡假

2、旅游地的选择层次结构目标层目标层准则层准则层方方案案层层目标层：目标层：选择旅游地选择旅游地准则层：景色、准则层：景色、费用、居住、饮费用、居住、饮食、旅途食、旅途方案方案层层：p1,p2,p3，3个选择个选择地点。地点。选择旅游地选择旅游地景景色色费费用用居居住住饮饮食食旅旅途途p1p2p3 渡假旅游地的选择层次结构渡假旅游地的选择层次结构 1/ 1/ 1/ 11/ 1/ 11/ 1a1212122121112jnnniniinjnjbaaaaaaaaaaaa目标如果用如果用u1, u2 , ,u5 表示景色、表示景色、费用、居住、饮食、旅途，费用、居住、饮食、旅途，某人进行两两比较，所得判

3、某人进行两两比较，所得判别矩阵为：别矩阵为：1135131131531251312117141571234211/aa12=1/2表示景色表示景色u1与费用与费用u2对目标对目标c 的重要性之的重要性之比为比为1:2；a23=7表示费用表示费用u2与与居住条件居住条件u之比为之比为7:1。可见。可见在此人选择旅游地时，费用在此人选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之。因素最重要，景色次之。n例例1标度标度(aij)含含 义义135792，4，6，81，1/2，1/3，1/9ui与与uj相比，相比，ui与与uj有相同重要性有相同重要性ui与与uj相比，相比， ui比比uj稍重要稍重要ui与与uj

4、相比，相比， ui比比uj明显重要明显重要ui与与uj相比，相比， ui比比uj强烈重要强烈重要ui与与uj相比，相比， ui比比uj极端重要极端重要ui与与uj相比，相比， 重要程度在上述相邻重要程度在上述相邻等级之间等级之间aij=1/aij比较判别矩阵比较判别矩阵: a=( aij )nn若若cr(k)0.1 , 则认为层次结构在第则认为层次结构在第k 层水平以上的所有判断具有满层水平以上的所有判断具有满意的一致性。意的一致性。b1 p1 p2 p3p1 1 2 5p21/2 1 2p31/5 1/2 1n例例1 p1,p2,p3，3个选择地点个选择地点景色的景色的b2 p1 p2 p3

5、p1 1 1/3 1/8p2 3 1 1/3p3 8 3 1b3 p1 p2 p3p1 1 1 3p2 1 1 3p31/3 1/3 1b4 p1 p2 p3p1 1 3 4p21/3 1 1p31/4 1 1n例例1的的 b5 p1 p2 p3p1 1 1 1/4p2 1 1 1/4p3 4 4 1比较判别矩阵可能出现的问题比较判别矩阵可能出现的问题比较标准总体有时会出现前后不一致如：例1中 a12=1/2 ，a13=4；a23=7。由此发现：既然。由此发现：既然u1与与u2之比为之比为1:2， u1与与u3之比为之比为4:1，那么，那么u2与与u3之比为之比为8:1，而不是，而不是7:1,

6、这才能说明两两这才能说明两两比较是一致的。比较是一致的。一致性检验一致性检验 ：max1ncin1）计算一致性指标）计算一致性指标。 ri 如例如例1中中a的的 max=5.073ci=（5.073-5）/4 =0.018为何是除以（为何是除以（n-1)?一致性检验一致性检验 ： 2）查找相应的平均随机一致性指标）查找相应的平均随机一致性指标。 riri 一致性检验一致性检验 ：时 riricicr 3）计算一致性比例）计算一致性比例 当当1 . 0cr认为判断矩阵的一致性是可以接受的，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。否则应对判断矩阵作适当修正。如例如例1中中a的

7、的ci=0.018 ri=1.12cr(2)=0.0160.1 如果得到的比较判别矩阵如果得到的比较判别矩阵a是通过一致的性的，是通过一致的性的，取取a 的最大特征值的的最大特征值的归一化归一化特征向量特征向量w=(w1 ,w2 , ,wn )t 作为作为u1 ,u2 , ,un 对上层元素对上层元素c 的权向量的权向量。 如果如果a 不一致，则在不一致程度允许范围内，不一致，则在不一致程度允许范围内，把对应把对应a 的最大特征值的的最大特征值的归一化归一化特征向量作为权特征向量作为权向量。向量。对于例对于例1 ，矩阵，矩阵a通过了一致性检验计算准则层对通过了一致性检验计算准则层对目标层的权向

8、量，目标层的权向量， max=5.073 ci=0.018 ri=1.12 cr(2)=0.0160.1 max=3.005ci1(3)=0.003ri=0.58cr1(3)=0.0050.1 max=3.002ci2(3)=0.001ri=0.58cr2(3)=0.0170.1 max=3ci3(3)=0ri=0.58cr3(3)=00.1 max=3.009ci4(3)=0.005ri=0.58cr4(3)=0.00860.1 max=3ci5(3)=0ri=0.58cr5(3)=00.1 a a a1,maa1,maa1,maa1,maaaab b b bb1,nbb1,nbbjaja1

9、,jnjbb1,jn jbbibibibjajajaja0ijb 0ijb 0ijb 0ijb 0ijb 0ijb1,maa1,maa1,maa1,maa1,maa1,maa1,maa1,maa1,maa1,maa1,maab层总排序随机一致性比例为：层总排序随机一致性比例为： 1 . 0cr时层次总排序结果具有较满意的一致性并接受时层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。该分析结果。mjjajmjjajbariacicr11)()()(比较判别矩阵的总一致性检验另比较判别矩阵的总一致性检验另一种方法一致性程度更好？一种方法一致性程度更好？mjjajmjjajabariacicrcr

10、11)()()()(2.方案层对目标层的总一致性检验方案层对目标层的总一致性检验ci(3)=(0.003, 0.001, 0, 0.005, 0)(0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.011)t =0.00176ri=0.58, cr(2)=0.016, cr(3)=0.016+0.00176/0.58 =0.0190.1方案层对目标层的权重总排序方案层对目标层的权重总排序 1.2.计算方案层对目标层的总排序计算方案层对目标层的总排序方案层对目标层的总排序向量为方案层对目标层的总排序向量为45602460300001100990055047502630668016601

11、6601750193063301420682012904290236027704290082059503.)(w带有子准则层的实例带有子准则层的实例层次结构图层次结构图准则层的比较判别矩阵及一致性检验准则层的比较判别矩阵及一致性检验注意标度不是注意标度不是1-9尺度尺度参考文献参考文献1 对目标层的一致性检验031)2()3(31)2()3()3(jjjjjjariacicr子准则层判别矩阵及一致性判别子准则层判别矩阵及一致性判别权重的计算 准则层的权重注意这个阵已被软注意这个阵已被软件转化为件转化为相应标度相应标度下下的矩阵的矩阵各子准则的对目标层的权重以容貌 、高矮、音色对表观为例一、先求

12、子准则对准则层的权重一、先求子准则对准则层的权重二求子准则层对目标层的总权重0.37710.27020.35280.23180.34580.42240.250.750.1250.3750.5子准则层对目标层的总权重 容貌 、高矮、音色对目标层的总权重0.0874120.37710.2318w容貌0.1304010.37710.3458w高矮0.1592870.37710.4224w音色子准则层对目标层的总权重 同理可得其余子准则对目标层的总权重0.2646w0.0882w公关计算机，0.1351w0.101513w0.03377w数学外语语文，方案层对目标层的权重方案层对目标层的权重 本题方案层对子