函数的单调性与最值(1)课件

1、函数的单调性与最值函数的单调性与最值函数与方程函数与方程抽象函数抽象函数复合函数复合函数函数零点、二分法、一元二次方程根的分布函数零点、二分法、一元二次方程根的分布单调性：同增异减单调性：同增异减赋值法赋值法函数的应用函数的应用函数的函数的基本性质基本性质单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性对称性对称性最值最值1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减复合函数单调性：同增异减.1.先看定义域是否关于原点对称，再看先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，

2、若奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于偶函数图象关于y轴对称，反之也成立轴对称，反之也成立.f f (x+T T)=f f (x)；周期为；周期为T的奇函数有：的奇函数有： f f (T T)=f f (T T/2)=f f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等线性规划、导数、利用单调性、数形结合等.函数的概念函数的概念定义定义列表法列表法解析法解析法图象法图象法表示表示三要素三要素观察法、判别式法、分离常数法、观察法、判别式法、分离常数

3、法、单调性法、最值法、重要不等式、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等三角法、图象法、线性规划等定义域定义域对应关系对应关系值域值域函数常见的函数常见的几种变换几种变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.基本初等基本初等函数函数正正(反反)比例函数比例函数; 一次一次(二次二次)函数函数; 幂、指、对函幂、指、对函数数;定义、图象、定义、图象、性质和应用性质和应用函函 数数常见函数模型常见函数模型幂、指、对函数模型；幂、指、对函数模型；分段函数；分段函数；对勾函数模型对勾函数模型忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1函数的单调性

4、函数的单调性增函数增函数减函数减函数定定义义 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于定义：如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1, x2 当当x1x2时时, 都都 有有_ ,那么函数那么函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数 当当x1x2时，都有时，都有_ , 那么函数那么函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数图图象象描描述述自左向右看图象是自左向右看图象是_自左向右看图象是自左向右看图象是_f(x1) f(x2)上升的上升的下降的下降的(1)单调函数的定义单调函数的定义忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要

5、点点2函数的最值函数的最值前前提提设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I,如果存在实数如果存在实数M满足满足条条件件(1)对于任意对于任意xI，都有，都有 _；(2)存在存在x0I, 使得使得 _.(3)对于任意对于任意xI,都有都有 _；(4)存在存在x0I, 使得使得 _.结结论论M为最大值为最大值M为最小值为最小值(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在区间在区间D上是上是_或或_,则称函则称函数数f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性，单调性，_叫做叫做 yf(x)的单调区间的单调区间增函数增函数减函数减函数区间区间Df(x)Mf(x)Mf(

6、x0)Mf(x0)M 设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I,如果对于定义域如果对于定义域I内的内的某个区间某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1、x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.1.函数单调性的定义函数单调性的定义 设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定义域，如果对于定义域I内内的某个区间的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1、x2, 当当x1f(x2) , 那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点任取

7、任取x1, x2D,且且x10时，时，f(x)0，f(x1x2)0，即，即f(x1)f(x2)因此因此 f(x)在在R上是减函数上是减函数方法二方法二12()()f xf x函数的单调性与不等式函数的单调性与不等式 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出该构造出f(x2)f(x1)并与并与0比较大小比较大小 (2)将函数不等式中的抽象函数符号将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性运用单调性“去掉去掉”, 是本小题的切入点是本小题的切入点. 要构造出要构造出f(M)f(N)的形式的形式. 解函数不等式的问题的一般步骤解函数不等式的问题

8、的一般步骤：第一步：确定函数第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为第二步：将函数不等式转化为f(M)x2)； (2)作差作差f(x1)f(x2)，然后变形；，然后变形； (3)判定判定f(x1)f(x2)的符号；的符号； (4)根据定义得出结论根据定义得出结论2. 求函数的单调区间求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义，利用图象和单

9、调函数的性质，还区间常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质可以利用导数的性质3. 复合函数的单调性复合函数的单调性 对于复合函数对于复合函数yf(g(x)，若，若tg(x)在区间在区间(a，b)上是单调上是单调函数，且函数，且yf(t)在区间在区间(g(a)，g(b)或者或者(g(b)，g(a)上是单调函上是单调函数，若数，若tg(x)与与yf(t)的单调性相同的单调性相同(同时为增或减同时为增或减)，则，则yf(g(x)为增函数；若为增函数；若tg(x)与与yf(t)的单调性相反，则的单调性相反，则yf(g(x)为减函数简称为：同增异减为减函数简称为：同增异减 1

10、函数的单调区间是指函数在定义域内的某函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示示 2两函数两函数f(x), g(x)在在x(a，b)上都是增上都是增(减减)函函数，则数，则f(x)g(x)也为增也为增(减减)函数函数, 但但f(x)g(x), 等等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比的单调性与其正负有关，切不可盲目类比)(1xf一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案BDA6. (1,) 4. 3,)

11、5.A组组专项基础训练题组专项基础训练题组三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案BBC6. 1,) 且且5.00ab B组专项能力提升题组组专项能力提升题组4.(,0)(1,3 7.解解:(1)任取任取x1, x21, 1, 且且x10时，时，f(x)1,且对任意的且对任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求求f(0)的值；的值； (2)判断判断f(x)的单调性的单调性.一、抽象函数的单调性与最值一、抽象函数的单调性与最值解解: (1)令令 a = b = 0, 则则2(0)(0),ff (0)0,(0)1

12、.ff 任取任取x1, x2R，且，且x10 恒成立恒成立.(0)( )(),ff xfx ( )()1f xfx即即. .由于当由于当 x 0 时，时，f (x) 1,则则 f(x2)=f(x2- -x1)+x1 f( x1).即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数.=f(x2- - x1)f(x1) f(x2- - x1)1. 【1】若对一切实数】若对一切实数x, y 都有都有 (1)求求f(0)的值的值; (2)判定判定f(x)的奇数偶性的奇数偶性. .()( )( ).f x yf xf y 令令 x = y = 0, 则则令令y = - -x , 则

13、则故故 f (x)是奇函数是奇函数.解解:因为对于任何实数因为对于任何实数 x, y 都有都有(0)( )(),ff xfx (0)2 (0),ff (0)0.f ()( ).fxf x ()( )( ),f x yf xf y 证明证明: 任取任取 x1, x2R，且，且 x10, f(x2- - x1)1. = =f(x2- - x1)- -1.f(x2)- -f(x1)0， 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数. 【 2 】 若 函 数若 函 数 f ( x ) 对 任 意对 任 意 a , b R 都 有都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)- -

14、1, 并且当并且当x0 时时, 有有 f(x)1. 求证求证: f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数.f(x2- - x1)- -10. =f(x2- - x1)+f(x1) - -1- - f(x1) 【3】已知函数】已知函数 f (x) 对于任何实数对于任何实数 x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)=2f (x) f (y) 且且 f (0)0求证求证: f (x) 是偶函数是偶函数.令令 x = y = 0, 则则令令 x = 0 , 则则故故 f (x)是偶函数是偶函数.解：已知函数解：已知函数 f (x) 对于任何实数对于任何实数 x, y 都有都有 f (x+

15、y)+f(x- -y)=2f (x) f (y)，( )()2 ( ),f yfyf y 22 (0)2(0),ff(0)0,(0)1.ff ( )(),f yfy( )().f xfx 即即例例2.2.判断函数判断函数 在区间在区间(- -1,1)上的单调性上的单调性.2( )1xf xx 解解: :设设则则 f( (x1 1) )f( (x2 2) )12221211xxxx ) 1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0 .即即 f(

16、x1)f(x2) .故此函数在故此函数在( (- -1,1)1,1)上是减函数上是减函数. .1211,xx 二、函数单调性的判定及证明二、函数单调性的判定及证明例例3. 设设 为奇函数为奇函数,且定义域为且定义域为R.(1)求求b的值；的值；(2)判断函数判断函数f(x)的单调性；的单调性；(3)若对于任意若对于任意t R, 不等式不等式 恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围12( )22xxbf x 22(2 )(2)0f ttftk 解解: (1)由由 f ( x ) 是奇函数是奇函数, 则则 f(- -x )=- -f (x),整理整理, 得得1.b 1122,2222x

17、xxxbb 111220,2 222xxxxbb (1)(21)0,2(21)xxb 证明证明: (2) 任取任取 x1, x2 , 且且x1 x2 , 12()()f xf x 则则1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函数所以函数 f(x) 在在R内是减函数内是减函数.( 21) 211( ),22(21)21xxxf x 121111()222121xx 121111()222121xx 2112220.(21)(21)xxxx 所以实数所以实数k的取值范围是的取值范围是解解: (3) 因为因为 f(x)定义域为定义域为R的奇函数的奇函数,且是减函数且是减函数,从而判别式从而判别式4120,k 1.3k 22(2 )(2)0,f ttftk22(2 )( 2),f ttftk2222,tttk 所以对任意所以对任意t R, 不等式不等式 恒成立恒成立.2320ttk 从而不等式从而不等式等价于等价于1.3k 所以实数所以实数k的取值范围是的取值范围是设设22(2 )(2)0,f ttftk22(2 )( 2),f ttftk2222,tttk 所以对任意所以对任意t R, 恒成立恒成立.232ktt 从而不等式从而不等式等价于等价于1.3k min( ).kg t 从而从而只须只