不定积分与定积分部分典型例题_9146

1、学习必备欢迎下载不定积分与定积分部分典型例题例 1验证 F( x)1 (1ln x)2 和 G( x)1 ln 2 xln x 是同一个函数的原函数, 并说明22两个函数的关系 .分析依原函数的定义,若 F (x) 和 G (x) 的导数都是某个函数f (x) 的原函数 , 即有F ( x)G ( x)f ( x) ,则 F ( x) 和 G (x) 是 f ( x) 的原函数 .所以 ,只需验证F (x) 和G ( x) 的导数是否为同一个函数即可 .解 因为 F ( x)(1ln x) 11ln xxxG ( x)ln x111ln xxxx所以 F ( x)1 (1ln x) 2和 G

2、(x)1 ln 2 xln x 是同一个函数1ln x 的两个原函数 .22x且有 F ( x)1 (1ln x) 21 ln 2x ln x1G (x)12222说明两个原函数之间仅相差一个常数.例 2已知某曲线 y=f(x)在点 x 处的切线斜率为1(4,3) , 试求曲线方程 .2, 且曲线过点x分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点(4,3) ,斜率是 f (x)1的积2 x分曲线 .解yf (x)dx21 dxx cx且曲线过点 (4,3), 即34c ,得出 c341于是所求曲线方程为y x 1例 3 判断下列等式是否正确 .（ 1）11xdxdd1 x21x2学习必备

3、欢迎下载（ 2）(sin x) dxcos xc（ 3）de ln x1dx1 xdx2分析 （ 1） , （ 2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断 .解 （ 1）依照不定积分的性质df ( x)dxf (x) dx所以 , 等式 d1dx1dx 成立 .11x 2x 2（2）依照不定积分的性质f (x)dxf ( x)c所以, 等式(sin x) dxcos x c 不成立 . 正确的应为(sin x) dxsin xcbF (b)F (a) 是一个确定的数值（ 3）由定积分定义 ,f ( x)dx, 因此 , 对函数先求a定积分再求导数等于对一个数值求导数de l

4、n x1, 所以结果应该为零 . 即等式dx错误 ,dx1 x2正确的结果应为de ln x.dx1 xdx 0例 4 计算下列积分：（ 1）12x(x)dx3（ 2） ex (3 xe x)dxsin 2x（ 3）2sin xdx0分析 对于（ 1） , （ 2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时 , 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时 , 绝对值符号是一定要打开的,且在积分区间 0,2 上有sin xsin x0 xsin xx 2学习必备欢迎下载利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算 .解（ 1）将被积函数变形为(

5、x1 ) 2x21x 3xx3(x1)2 dx=( x213)dxxdx2dx13 dxx3xxxx=1x 22 ln x1c .22x 2（ 2）将被积函数变形为ex (3 xe x)(3e) x1sin 2 xsin 2 x再利用积分公式和积分运算性质得x(3xe x)dx(3e)xdx1dxesin2xsin2x(3e) xcot x c=1ln 3(3)2sin xdxsin xdx2sin xdx00cos x 0cos x 211 1 (1)4 .说明：本例在求积分的方法直接积分法.这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质 ,或者对被积函数进行适当变形就可以运用积分公式求

6、积分的题目. 在解题中应该注意：1熟悉基本积分公式；2在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将 ex 乘到括号里边去； （ 3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例 5 计算下列积分：（ 1）xx ；d1x 2学习必备欢迎下载ex（ 2）dx(1ex ) 22（ 3）e lnxdx1 x（ 4）2 sin 3 xdx0分析注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般

7、是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量u( x),设法将对x 求积分转化为对u( x)求积分.对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限 ” .（1）将被积函数1x看 成x,其 中 u1x 2, 且 du2xdx ,于 是 ,x 2uxdx11du , 这时对于变量 u 可以利用公式求积分 .u2uexexxxexdu（ 2）将被积函数(1 ex ) 2 看成 u2 ,其中 u1e, 且 duedx , 于是 u2dxu 2 ,这样对于变量 u1ex 可以利用积分公式求积分 .（ 3）将被积函数(ln x) 2看成 u 2, 其中 uln

8、x ,且 du1 dx , 于是 u 2dxu2 du ,xxxx这样对于变量 uln x 可以利用积分公式求积分 .（ 4）将被积函数 sin 3x 分解成 sin 2 x sin x(1cos2x) sin xsin xcos2x sin x 即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到 , 第二个积分中被积函数视为u 2 sin x , 其中 ucosx ,dusin xdx解 （1）xx=11d(12)1 1u(u1x2)1d21x2dx2x 2u=uc1x 2c学习必备欢迎下载ex1x1x（2）(1ex ) 2 dx(1ex ) 2 d(1e)u 2 du（ u 1e

9、 ）=1c1cu1ex（3） 方法 1换元换限 .令 uln x ,则 du1 dx ,且当 x1时 ,u0 ,xe时 ,u1, 于是有xe ln 2 x111112du3303)1dx0uu(1x3033方法 2只凑微分不换元 , 不换积分限 .e ln 2 xdxe ln2d(lnx)1x1x1 (ln x) 3e1 (ln e) 31(ln 1)3 3133(4) 因为2 sin 3 xdx =2 1cos2 x sin xdx2 sin xdx2 cos2 x sin xdx0000对于积分2 sin xdxcos x0210对于积分2 cos2 xsin xdx 用凑微分法 ,0方法

10、 1 令 ucos x , 则 dusin xdx ,且当 x0时 ,u 1,x时 , u0 , 于2是有01 u12 cos2 xsin xdx2 du3u013013方法 2 只凑微分不换元, 不换积分限 .2 cos2x sin xdx2 cos2 xdcosx1 cos3 x2100303说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点 . 一般地 , 第一换元积分法所处理的函数是复合函数 , 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分f (u)du 容易求原函数 .学习必备欢迎下载应用第一换元积分法时 , 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公

11、式中的变量x 换成 x 的函数时公式仍然成立 . 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的“凑微分”形式 . 具体解题时 , “凑微分”要朝着f (u) du 容易求积分的方向进行 .在定积分计算中 , 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化 , 所以 , 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法 2）. 则积分限不变 . 而且在换元换限时,新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限,当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、 下限求积分值即可无须在还原到

12、原来变量求值（例如（ 3）（ 4）中的方法 2）.由于积分方法是灵活多样的 , 技巧性较强 , 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（ 4）因此 , 我们只有通过练习摸索规律,提高解题能力 .例 6 计算下列积分：（ 1）( x 1)sin2 xdx ；x2（ 2）xe2 dx ；0e（ 3） 1 lnx dxe分析注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及 u, v 的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1凑微分 , 从被积函数中选择恰当的部分作为v dx ,即 v dx dv , 使积分变为udv ；2代公式 ,udvuvvdu , 计算

13、出 duu dx3计算积分vdu .bbb它与不定积分的区别在于每一项在定积分的分部积分公式是a udvuv aa vdu ,b都带有积分上、下限. 注意公式中 uv a 是一个常数 , 在计算中应随时确定下来 , 在计算（ 3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质 .解 （ 1）设 ux1,vsin 2x , 则 v1 cos 2x , 由分部积分公式有1 ( x12(x 1)sin2 xdx1) cos2xcos 2xdx22学习必备欢迎下载1(x1) cos2x1 sin 2 xc24xx(2) 设 ux, ve2 , 则 v

14、2e2, 由定积分分部积分公式有xx2xx222xe 22e 2 dx4e 4e24e4e 4 4xe2 dx20000（ 3）因为 ln xln x1x1 ,eln x1xe利用积分区间的可加性得到eln x dx1e11 ln xdxln xdxee1111 xdx其中第一个积分为1 ln xdxx ln x 11eee x11121eeeelnxdxeedxee1 1 ,第二个积分为1xln x 11最后结果为e1e12121 ln x dx1 lnxdxln xdx2.ee1ee例 7 计算下列无穷限积分：（ 1）13 dx ；1(x1)（ 2）0e 2 x dx ；（ 3）01dxxlnx分析 对于无穷限积分f ( x)dx 的求解步骤为：abF (a) ；（ 1）求常义定积分f ( x) dx F (b)a（ 2）计算极限lim F (b)F (a)b极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.学习必备欢迎下载1b11 (xb解 （1）3 dxlim3 dxlim 1)211(x1)b(x1)b21=1 lim (b1) 2(1 1)2 (1 )(1)2 b2418b1 e 3 xb（2）e 3