07新概论课件 第三章 多维随机变量及其分布

1、3.1 定义定义: 把n个随机变量 的整体 ( ) 称为 n维随机变量维随机变量 , 1xxn, , 2x, 1xxn, 2xyx,xy0对于随机试验对于随机试验e，是其样本空间。是其样本空间。x(w) 和和y(w)是定义在样本空间是定义在样本空间上的两个随机变量上的两个随机变量,由它们构成的向量由它们构成的向量(x,y)称为称为二维随机变量二维随机变量或二维随机向量或二维随机向量。二维x(w),y(w)w.(x,y)xy 二维分布函数 数为随机变量x的分布函r(实数集），则称定义：对任意的 xxpxfx 分分布布函函数数的的定定义义 复复习习：一一维维随随机机变变量量x x0联合分布函数设设

2、(x,y)是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实数对于任意实数x, y,称二元函数称二元函数f(x,y)=p(x x,yy)为二维随机变量为二维随机变量(x,y)的的联合分布函数联合分布函数，简称分布函数。简称分布函数。xy(x,y)复习：一维随机变量分布函数的性质 10 xf1)()( , 0)()( fxffxflimlimxx)()( , bfafba则若)()0( xfxf2. 1. x1x2, f(x1,y)f(x2,y) y1x2). 例8：设(x,y)在 上服从均匀分布，求其分布函数f(x,y). )20,30(yxddy)(x, 1/6 0),(其它yxf解：由于区域d的面积

3、为6，所以(x,y)的分布密度为时，且2030yxxydydxyxfxy6161),(00 (2) 当0),(0 0yxfyx时，或 (1) 当yxxy230(x,y)时，且230yx361),(200 xdxdyyxfx (3) 当时，且203yx261),(300ydydxyxfy (4) 当1),( 2 3yxfyx时，且 (5) 当xy2302030yx且f(x,y)=0 x0或y0, 20, | |0 即：即：其它, 00,)(xxexfxx其它, 00,)(yeyfyy对一切对一切x, y, 均有：均有：故故x,y 独立独立)()(),(yfxfyxfyxy 0 若若(x,y)的概

4、率密度为的概率密度为其它,y, yx,)y, x(f01002情况又怎样？情况又怎样？解：解：),1 (22)(1xdyxfxxyyydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，)()(),(yfxfyxfyx故故x和和y不独立不独立 .例例8. 设二维随机变量设二维随机变量(x,y)的分布密度为：的分布密度为：)2()1 (21exp121),(2222yxyxyxf求求(x,y)关于关于x,y的边缘分布密度的边缘分布密度,并讨论并讨论x与与y的独立性。的独立性。(x,y) n(1 , 2, 12, 22, ) x n(1 , 12) y n(2

5、, 22) 若若(x,y) n(1 , 2, 12, 22, ) x与与y相互独立相互独立=0例例9. 设设(x,y)在区域在区域g=(x,y):0y2x+2,-1x 0 上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求(x,y)关于关于x,y的边缘的边缘 分布密度分布密度,并判断并判断x与与y是否独立。是否独立。xy-12y=2x+2解解:sg=11,( , )( , )0,x ygf x y其它其他, 0, 01, 22)(xxxfx其他, 0, 20,21)(yyyfy3.3二维随机变量二维随机变量(x,y)的分布的分布随机变量随机变量z的分布的分布?z=g(x,y),.2 , 1,),(jipyy

6、xxpijji设设(x,y)为离散型随机变量，为离散型随机变量，z=g(x,y)为一维离散型随机变量为一维离散型随机变量.若对于若对于不同的不同的(xi,yj),g (xi,yj)的值互不相同的值互不相同,则则z的的分布律为分布律为,.2 , 1,),(jipyxgzpijji二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布若对于不同的若对于不同的(xi,yj), g(x,y)有相同的值有相同的值,则应取这些相同值对应的概率之和。则应取这些相同值对应的概率之和。xy2042020203202202206201例1（x，y）的联合分布密度为求x+y， x-y分布密度。,.2 , 1 ,

7、0, )()()(0kikqipkzpki离散型离散型卷积公式卷积公式例例2. 设设x和和y相互独立，其分布律为相互独立，其分布律为,.2 , 1 , 0, )()(,.2 , 1 , 0, )()(rrqrypkkpkxp求求z=x+y的分布律。的分布律。例例3:设设x,y相互独立相互独立,且且xp(1), yp(2)证明证明:z=x+yp(1+2)例例4. 设设(x,y)的联合分布密度为的联合分布密度为f(x,y), 边边 缘分布密度分别为缘分布密度分别为fx(x), fy(y), 求求 z=x+y的分布密度。的分布密度。二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布( )( )

8、( ,)zzfzfzf x zx dxxzy令( )(, )zfzf zy y dy若若x、y独立独立( )( )()zxyfzfx fzx dx( )()( )zxyfzfzy fy dy连续型连续型卷积公式卷积公式例例5. 若若xn(0,1),yn(0,1)，x与与y独立。独立。 证：证：z=x+yn(0,2) 。x n(1 , 12) y n(2 , 22) z1=x+y n(1+2, 12+22) x与与y相互独立相互独立z2=ax+by n(a1+b2,a212+b222) z=ax+byx与与y相互独立相互独立z=x-ydxbxzfaxfbazfyxz)()(|1)(dxzxfxf

9、zfyxz)()()(例例6. 若若xn(0,1),yn(0,1)，x与与y独立。独立。的概率密度求22yxz解解:2221( , ),(,)2xyf x yexy 22( )()()zfzp zzpxyz当当zz,yz)fn(z)=p(nz)=1- -p(nz)=1- - p(xz)p(yz) 设设x1,xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 m=max(x1,xn)和和n=min(x1,xn)的分布函数的分布函数.)(xfix(i =0,1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，

10、当特别，当x1,xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数f(x)时，有时，有 n=min(x1,xn)的分布函数是的分布函数是 m=max(x1,xn)的分布函数为的分布函数为: fm(z)=f(z) nfn(z)=1-1-f(z) n)(1 1)(1zfzfxn)(1 zfnx)()(1zfzfxm)(zfnx 若若x1,xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得m=max(x1,xn)和和n=min(x1,xn)的分布的分布函数后，不难求得函数后，不难求得m和和n的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习. 当当x1,xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具

11、有相同分布函数f(x)时，有时，有 fm(z)=f(z) nfn(z)=1-1-f(z) n 需要指出的是，当需要指出的是，当x1,xn相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数f(x)时时, 常称常称m=max(x1,xn)，n=min(x1,xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值.例例7. 某元件由两个相互独立的元件某元件由两个相互独立的元件a1,a2 连接而成，其连接方式分别为：连接而成，其连接方式分别为：s1:串串

12、联联;s2:并联。设并联。设a1,a2的寿命的寿命x,y服从服从 指数分布。求两种系统指数分布。求两种系统s1, s2的寿命的寿命 的概率密度函数。的概率密度函数。a1a2s1a1a2s23.4 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .)()()|(bpabpbap在事件在事件b发生的条件下事件发生的条件下事件a发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v x,y ， 在给定在给定y取某个或某取某个或某些值的条件下，求些值的条件下，求x的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体

13、学生，从其中随例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以机抽取一个学生，分别以x和和y 表示其体重和表示其体重和身高身高 . 则则x和和y都是随机变量，它们都有一定都是随机变量，它们都有一定的概率分布的概率分布.体重体重x身高身高y体重体重x的分布的分布身高身高y的分布的分布 现在若限制现在若限制1.7y0，则称，则称为在为在y=yj下，随机变量下，随机变量x的的条件分布律条件分布律.二维离散型随机变量的条件分布二维离散型随机变量的条件分布(,)(|),1,2,()ijijijjjp xx yypp xx yyip yyp pjp1 p2 pj pip1p2 .pi .xyx1

14、x2.xi.y1y2.yjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.1, 0)|(jiyyxxp1)|(1ijiyyxxp条件概率分布的性质条件概率分布的性质x与与y相互独立相互独立)()|(ijixxpyyxxp(|)()jijp yyxxp yy二维连续型随机变量的条件分布二维连续型随机变量的条件分布设对于任意给定的设对于任意给定的0,有有p(y-0,若若)(),(lim)|(lim00yyypyyyxxpyyyxxp存在存在,则称此极限为在则称此极限为在y=y下，随机变量下，随机变量x的的条件概率分布函数条件概率分布函数.dyyxfyxfxfyxfxyfxxy),(),()(),()|(|dxyxfyxfyfyxfyxfyyx),(),()(),()|(|为已知为已知 y=y下，下，x的条件概率密度函数的条件概率密度函数 .为已知为已知 x=x下，下，y的条件概率密度函数的条件概率密度函数 .).|(1),|22yxfyxyxyx密度件概率上服从均匀分布