初高中数学衔接知识(因式分解)

1、20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公平方差公式和完全平方公式式)外，还有外，还有公式法公式法(立方和、立方差公式

2、立方和、立方差公式)、十字相、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆乘法、分组分解法、配方法、拆(添添)项法项法等等等等20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式)33223322()()()()abab aabbabab aabb 两个数的立方和两个数的立方和(差差)，等于这，等于这两个数的和两个数的和(差差)乘乘以它们的平方和与它们积的差以它们的平方和与它们积的差(和和) 【例【例1】因式分解：因式分解：33(1) 8 (2) 0.12527xb3332182242:( ) ()().xxxxx解解3332222 0 125

3、270 530 530 50 5 33 0 530 25 1 59( ).()( .) .() ( .)( .).bbbbbbbb20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式)【例【例2】因式分解：因式分解：( ) (2) 34761381a bbaab (1) 343322:3813 (27)3 (3 )(39).a bbb abb ab aabb解解( ) 76663333222222222()()()()()()()()()()().aaba aba ababa ab aabbab aabba ab ab aabbaab

4、b 766622422422222222222()()()()()()()()().aaba aba abaa bba ababa ba ab ab aabbaabb或或20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如的多项式，如 既没有公式可用，也既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种处理这种利用分组来因式分解的

5、方法叫做分组分利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法解法分组分解法的关键在于如何分组分组分解法的关键在于如何分组mambnanb【例【例3】因式分解：因式分解：2105axaybybx说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试妨一试 210525552:()()()().axaybybxa xyb xyxyab解解20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日二、分

6、组分解法二、分组分解法【例【例4】因式分解：因式分解：2105axaybybx【例【例5】因式分解：因式分解：2105axaybybx222222222222 :()()()()()()()().ab cdab cdabcabda cdb cdabca cdb cdabdac bcadbd bcadbcadacbd解解222222222428224 22222:()()() ()().xxyyzxxyyzxyzxyzxyz解解20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日三、十字相乘法三、十字相乘法22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxpxq2()()(

7、)xpq xpqxpxq【例【例6】因式分解：因式分解：22176 (2)1336( )xxxx2(1)761616:()()()().xxxxxx 解解2(2)133649()().xxxx【例【例7】因式分解：因式分解：22222(1)6 (2)812()()xxyyxxxx2222(1)6632:()().xxyyxyxxyxy解解22222(2)81262 3221()()()()()()()().xxxxxxxxxxxx20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日三、十字相乘法三、十字相乘法【例【例8】因式分解：因式分解：22211252 (2)568( )xxxxyy21

8、125232 41:( )()().xxxx解解324 1 222 568254( )()().xxyyxyxy1 254 20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日三、十字相乘法三、十字相乘法【例【例9】因式分解：因式分解：22212728 (2)2155( )()()xxxxxxaxa分析：分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合可以三、

9、二组合.22:(1)(21)(28).xxxx解解原原式式2(2)(215)(5 ) (3)(5)(5) (5)(3).xxaxaxxa xxxa原原式式20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日四、配方法四、配方法【例【例10】因式分解：因式分解：2221616 (2)44( )xxxxyy222:(1)616(3)5(8)(2).xxxxx解解22222(2)44(44)8xxyyxxyyy22(2 )8(22 2 )(22 2 ).xyyxyyxyy说明：说明：这种这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解公式分解 20212021年年1111月月7 7日星期日日星期日五、拆五、拆(添添)项法项法【例【例11】因式分解：因式分解：3234xx3232:34(1)(33)xxxx解解2(1)(1)3(1)(1)xxxxx2(1)(1)3(1)xxxx22(1)(44)(1)(2) .xxxxx说明：说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行：一般地，因式分解，可按下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么如果多项式各项有公因