考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606更新)

1、考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606 更新 )多面体外接球半径常见求法定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.常用性质：1外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.2. 球的任意一个截面都是圆 . 其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. 如图 13. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面；反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心；过球的小圆圆心作垂直于小圆所在平面的直线必经过 . 正棱锥的外接球球心在底面上的高所在的直线上 .如图 1，设球 O 的半径为 R ，球

2、 O 的小圆的圆心为 O1 ，半径为 r ，球心 O 到小圆 O1 的距离 OO1d ，则由性质 2 得 dR2 r 2 ，或 r4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长 .图 2R2d 2 .如图 2方法一：长（正）方体的外接球利用性质 5：球的内接长方体的对角线等于该球直径求出球的半径.例 1（ 2006 年全国卷 I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积为（） .A. 16B. 20C. 24D. 32答案： C解析： 正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16 及高 4 可以求出长方体的底

3、面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2， 2，4，于是可求出球的半径，进而求出球的表面积，答案C.方法二：可以补成长方体的三棱锥的外接球问题只要四面体四顶点与长方体某四个顶点重合，则四面体就与长方体拥有共同的外接球，我们不妨称这个四面体内接于长方体，称长方体的内接四面体.长方体内接四面体可分四类：四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一） . 对棱的长度相等（分别为长方体面对角线） .四个面都是直角三角形（如图二）. 它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606 更新 )图一图二图三图四 有三个面都是直角三角形，有三

4、条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三） . 两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高有三个面都是直角三角形， 没有三条棱两两垂直， 另一面为锐角三角形 （如图四） .它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线.类型一：对棱相等例 2.1 （ 2003 年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.3 3D.6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径 .在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体ABDE 满足条件，即AB=AD=

5、AE=BD=DEBE2 ，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3 ，从而外接球的直径也为3 ，所以此球的表面积便可求得，故选A.(如图2)考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606 更新 )变式练习 1（ 2006 年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中， AB=2DC=2 ，DAB=60 0 ， E 为AB 的中点，将ADE 与BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起， 使 A 、 B 重合于点 P ，则三棱锥 P-DCE的外接球的体积为（） .43666A. 27B.2C. 8D. 24答案： A解析：折起后的图形是棱长为1 的正四面体，将其放在正方体中，其直观图如

6、图所示它可以看21作是一个棱长为2 的正方体被截去四个角后得到的几何体，可求得该几何体的外接球的半径为2×1 116，故所求球的体积为4×366 2224348 .变式练习2A ，B，C，D 四点在半径为52 的球面上， 且 AC=BD=5 ，AD=BC= 41 ，AB=CD ，2则三棱锥D-ABC 的体积是 _.答案： 20类型二：例 2.2 （ 2008 年浙江高考题） 已知球 O 的面上四点 A 、B、C、D，DA平面 ABC ， ABBC ，DA=AB=BC=3 ，则球 O 的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可

7、找到球的直径， 由于 DA平面 ABC ， ABBC ，联想长方体中的相应线段关系，构造如图 4 所示的长方体，又因为 DA=AB=BC=3 ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角D9形解出 CD=3 .故球 O 的体积等于 2.（如图 4）OABC图 4考前必复之：多面体外接球半径常见的求法 (20190530-0606 更新 )例 2.3已知点 A 、 B 、C、 D 在同一个球面上， AB平面 BCD ， BCDC ，若AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则球的体积是.256答案：3解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径， O 为球心

8、， OB=OC=4 为A半径，V4R325633OBC类型三：有三条棱两两垂直图5D例 2.4 （ 2008 年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是 _.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则 AC=BC=CD3 ，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，R，则有 2R222329设其外接球的半径为339. R2.4故其外接球的表面积S4 R2

9、9 .小结 一般地， 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有 2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，补成长方体.变式 1 在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积 .解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为变式 2：在正三棱锥SABC 中， M ，N 分别是SC， BC 的中点，且MN AM ，若侧棱SA 23，则正考前必复之：

10、多面体外接球半径常见的求法 (20190530-0606 更新 )三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 _ 答案36 解析由 MNAM 且 MN 是BSC 的中位线得BS AM ，又由正三棱锥的性质得BS AC， BS 面 ASC.即正三棱锥 S ABC 的三侧棱 SA、 SB、 SC 两两垂直，外接球直径为3SA 6. 球的表面积 S 4R2 4× 32 36.方法三：寻求轴截面圆半径法常用于求正棱锥、正棱柱（正四棱柱属长方体）、圆锥、圆柱的外接球；依据：性质 3、4例 3（ 2010 年新课标理 10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积

11、为(A)a2(B)7a2(C)11a2(D) 5 a233解析：如图 R2OB 2OE 2BE 2a2a27 a24312S4a27a23命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式B变式练习1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为，则这个球的体积为.答案：843变式练习2正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ， S、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1 ，外接球的球心为 O ，如图 1 所示 .由球的截面的性质，可得OO1平面 ABCD .又 SO平面 AB

12、CD ，球心 O 必在 SO 所在的直线上.S11 ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径 .在ASC中，由 SA SC2， AC2 ，得 SA2SC2AC2 .DCASC是以 AC为斜边的 Rt.O1 AC1 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球4A图3B.23变式练习3 （ 2009 年全国）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB ACAA1 2 , BAC 120 ，则此球的表面积等于.考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606 更新 )C1A1O2B1CAOB也可以把这个问题看成直三棱柱的外接圆柱的外接

13、球问题，如图所示.变式练习直三棱柱 ABC A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB3, AC 2, AA126 ,600 ，则它的这个外接球的表面积为3BAC.答案： 12小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径. 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.方法四：建系求球心的坐标例 4.1在四面体 SABC 中， SA 平面 ABC ， BAC120o ， SA AC2，

14、AB1，则该四面体的外接球的表面积为A.10B.7C .11D. 4033答案： D解析：如图所示，以A 为原点建系，则考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606 更新 )C(2,0,0), B(1 , 3 ,0)22设球心为 O(1,y,1)，则 OB=OC=R即 1 y21 (3)2( y3 ) 21 ，解得 y2223从而外接球表面积 S4 R24104033解法 2（方法三）由余弦定理得BC22122 2 1cos120o7 ，故由正弦定理 ABC的外接圆直径为 2rBC277，故 2R(2 r )2240sin120o, r32，如图所示，33从而外接球表面积

15、 S 4 R24104033 .SO2CAO(2015 ·江西八校联考 ) 正三角形 ABC 的边长为B变式练习2，将它沿高 AD 折叠，使点 B 与点 C 间的距离为 3，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 ()719A 7B 19C.6 7D. 619【解析】由题意可知四面体 ABCD 中， BD CD 1， AB AC 2， AD 3， BC 3， BDC 120°，易得 AD BD ， AD CD， AD 平面 BCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，3)， B(1， 0，0)，C 1，3， 0， D(0 ， 0， 0)，设球心为 O(x， y， z

16、)，由 OA OB OC OD，可知 O 1， 3，3 ，22222球的半径 r7， 表面积 S 4 r2 7 .2【答案】A方法五：利用外接球球心到多面体各顶点的距离均相等确定球心求之例 5在矩形 ABCD 中， AB 4, BC3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BAC D，DAOC图4B考前必复之：多面体外接球半径常见的求法 (20190530-0606 更新 )则四面体 ABCD 的外接球的体积为125125125125A.B.C.D.12963解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分， 可知 OA OB OCOD.点 O到四面体的四个顶点A、B、C、D 的距

17、离相等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图2 所示 .外接球的半径 R OA5.故V球4R3125.选 C.236出现两个垂直关系，利用直角三角形结论.【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半.球心为直角三角形斜边中点 .方法六：过两个不平行的截面圆的圆心分别作两截面圆的垂线确定球心方法类比：三角形外接圆圆心为分别作三角形任意两条边的垂直平分线的交点，如图所示：方法依据：性质3方法实操：如图，过两个不平行的截面圆的圆心分别作两截面圆的垂线其交点即为球心.OO2O1例 6.1已知在四面体 ABCD 中,ABADBC CDBD2 ，平面 ABD平面 BDC,则四面体ABCD 的外接球的表面积为

18、（）20B. 6C.22D.8A.33A【解析】 AB AD BC CDBD2 ，所以 ABD 与 BDC 均为正三角形 .O2O分别过正三角形BDC 的中心 O1作 OO1平面 BDC ，DMO1CB正三角形 ABD 的中心 O2作 OO2平面 BDC ，并设 OO1 OO2 O（则O为四面体ABCD的外接球的球心）.R ，设 M 为 BD 的中点，外接球的半径为连接OB，则，因为平面ABD平面所以 OO1OO2 ， OO1O1M ， OO2O2M ，OB=RBDC ,O1 MO2 M ，且 O1MO2M323 ，四边形 OO1 MO2 为正方形， . MA2 O1MO2 M3，BM1， R2( 3)2(3 )212 5 ， 四面体 ABCD 的外接球的表3333面积 S2204R.故选 A.3考前必复之：多面体外接球半径常见的求法(20190530-0606 更新 )例 6.2在三棱锥PABCPA PB 2 2, AB 4,BC3, AC5，若平面PAB平面ABC，中，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为 _【答案】 25【解析】取 AB的中点 O ， AC 的中点 O