第6章 光场的统计分布

1、第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 第第6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.1 随机变量的统计描述随机变量的统计描述 6.2 热光场的统计特性热光场的统计特性 6.3 相干光与热光叠加后的统计特性相干光与热光叠加后的统计特性 6.4 相干起伏的光和相干光的混合相干起伏的光和相干光的混合 习题与思考题习题与思考题 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.1 随机变量的统计描述随机变量的统计描述 6.1.1 随机变量的概率分布 1. 离散型随机变量 X取离散值（有限或可列）， 用PX=xk=px表示X的概率分布， 称为X的分布律。 pk需满足: 1kp (6.1 - 1)

2、 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 2. 连续型随机变量X取连续值， 且存在非负函数p(x)， 使对任意x有( )xP Xxp x dx(6.1 - 2) 3. 随机变量的分布函数对任意xR, 有( )( )kxxxF xP Xxp x dx离散 连续 (6.1 - 3) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 4. 随机变量函数的分布 (1) 设X是随机变量， Y=f(X)。 若已知X的分布， 则Y的分布函数为 F(y)=PYy=Pf(X)y (6.1 - 4) 这是最基本的公式。 例 6 - 1 已知随机变量X的概率密度函数为px(x)， 求Y=aX+b(a0)的概率密度

3、函数py(y)。 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 (2) 设X、 Y是随机变量， Z=f(X, Y)。 若已知(X, Y)的分布， 则Z的分布函数为 F(z)=PZz=Pf(X, Y)z (6.1 - 5) 这也是最基本的公式。 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 例 6 - 2 已知随机变量X、 Y的联合概率密度函数p(x, y)， 求Z=X+Y的概率密度函数。 解： 如图6.1 - 1所示： ( )( , )( , )x y zz xF zP ZzP XYzp x y dxdyp x y dydx 从而 ( )( )( ,)p zF zp x zx dx第第6 6章

4、章 光场的统计分布光场的统计分布 图 6.1 - 1 积分区间示意图Z X YYXO第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.1.2 矩与母函数 先引入记号： ( ) ( )() ()() ()kkkf x p x dxf XE f Xf xp x连续离散 其中f(x)是任一单值连续函数。 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 1. 矩 (1) X的m阶正常矩 (6.1 - 6)()mmXX(2) X的m阶中心矩()()mmXVX(6.1 - 7) (3) 中心矩与正常矩的关系:0()()( 1)mmmlm lm lmlXXXCXX(6.1 - 8) 第第6 6章章 光场的统计

5、分布光场的统计分布 (4) X的m阶阶乘矩(X取整数) ()!(1)(2)(1)()!mXXFX XXXmXm(6.1 - 9) (5) X的m阶累积量 由下式定义:()mXK( )( )10(1)(1)(2)(2)(1)2exp!()()rrrrXXrrXXXXXssKrrKXKD X(6.1 - 10) (6.1 - 11) (6.1 - 12) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 2. 母函数(1) X的矩母函数 QX(s)=e-sX (6.1 - 13)把e-sX作麦克劳林展开： 0( )( 1)!mmmXmsQsXm(6.1 - 14) 00( 1)( )|( )( )mm

6、mXsmsXXXQssQseP x dx (6.1 - 15) (6.1 - 16) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 (2) X的累积量母函数 QcX(s)=lnQX(s) (6.1 - 17)()0( 1)( )|mmmsXXsmKQss (6.1 - 18) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 (3) 设X的取值为整数， 则X的阶乘矩母函数()0( )(1)( 1)( )|fXXmmmfXXsmQssFQss (6.1 - 19) (6.1 - 20) 若把式(6.1 - 19)写成 01( )(1)( )1( )( 1)( )|!fkXkkkfXskQssp kp

7、 kQsks (6.1 - 21) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.2 热光场的统计特性热光场的统计特性 6.2.1 极化热光的统计特性 一般来说， 描述光场的电场（或磁场）是随机矢量， 即它的所有分量V(r,t)都是空间和时间的复随机函数。 这一节我们讨论线性极化的热光， 即场矢量在空间具有确定的极化方向。 这种线性极化场可用标量场来描述。 设 V(r,t)=A(r,t)+iB(r,t) (6.2 - 1)第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 实部和虚部都是空间和时间的随机函数， 并服从高斯分布， 平均值为零， 相互独立。 对于光电接收和转换的问题， 探测器仅对光强

8、响应， 所以这里我们只考虑光强度 I(r,t)=|V(r,t)|2 的统计特性， 由 I(r,t)=A2(r,t)+B2(r,t) (6.2 - 2)第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 1011( )exp()( )1( 1)( )!ImmmImsmP IIIQ ss IIQ ssmI (6.2 - 4) (6.2 - 5) ()022( 1)ln( )(1)!mmmllmsmKQ ssmIII (6.2 - 6) (6.2 - 7) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.2.2 部分极化热光的统计特性 设部分极化热光的极化度为p(0p1)， 极化光总强度为I， 则1(1

9、)21(1)2xyIIpIIp(6.2 - 8) (6.2 - 9) 因为总强度I=Ix+Iy是两个统计独立的随机变量之和， 所以 P(I)=P(Ix)*P(Iy) (6.2 - 10)第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 两种特殊情形： (1) p=1: 极化光， 式(6.2 - 11)变成1( )exp()IP III(6.2 - 14)(2) p=0: 非极化光， 式(6.2 - 11)变成242( )exp()IIP III(6.2 - 15) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.3 相干光与热光叠加后的统计特性相干光与热光叠加后的统计特性 6.3.1 极化的相干

10、光与热光的混合 这里考虑两者都是极化的且极化方向相同， 如果不同， 总可将相干光分解为热光极化方向的投影加垂直于该方向的投影， 垂直方向的与热光不混合， 故不考虑。 设Vc(r,t)和Vth(r,t)分别表示相干光和热光的复振幅， 则合成场的实部与虚部都是平均值不为零的高斯随机变量（这时相当于Y=X+a）。 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 则混合光强度为 I(r,t)=Re(Vc+Vth)2+Im(Vc+Vth)2 (6.3 - 1) 两个方括号内是两个独立的均值不为零的高斯随机变量。 利用随机变量函数的分布公式可以得到I的分布1/201()( )exp3ccthththIIII

11、P IIIII(6.3 - 2) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 22( )( )1( )exp11!2nnncIththmmcmthththcthIxiJixsIQ ss Is IIIm LIIIIII(6.3 - 3) (6.3 - 4) (6.3 - 5) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.3.2 相干光与部分极化热光的混合 选取部分极化光的两个独立（统计）分量的方向为坐标轴方向， 121(1)21(1)2ththththIIpIIp第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 图 6.3 - 1 各极化分量的相互关系xyIO第第6 6章章 光场的统计分布光

12、场的统计分布 211212cossincthcthIIIIII 设相干光极化方向与x轴成角， 如图6.3 - 1 所示， 则总光强I=I1+I2， 其中(6.3 - 6) (6.3 - 7) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 6.4 相位起伏的光和相干光的混合相位起伏的光和相干光的混合 相位起伏的光和相干光混合的模型常应用于激光雷达信号中。 相位起伏可以由距离起伏或慢速运动目标所引起， 也可以由光通过随机介质而引起。 相位起伏的光场由下式描述： V(r,t)=Vs exp-i(r,t) (6.4 - 1)第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 其中, Vs为常数， (r,t)是空间和时间的随机函数, (-,)。 一般地， (r,t)是均值为零、 方差为2的高斯过程， 即221( )exp22P(6.4 - 2) 第第6 6章章 光场的统计分布光场的统计分布 习题与思考题习题与思考题 1. 如何理解光强很弱时， 随机起伏将严重影响光电探测