专题复习-力与曲线运动

1、北 京 四 中 审 稿：李井军 责 编:周建勋专题复习力与曲线运动Ø 知识点能力点回顾复习策略：曲线运动、曲线运动的条件及其应用历来是高考的重点、难点和热点，它不仅涉及力学中的一般的曲线运动、平抛运动、圆周运动，还常常涉及天体运动问题，带电粒子在电场、磁场或复合场中的运动问题，动力学问题，功能问题，动量和冲量问题。本章知识多以现实生活中的问题（如体育竞技，军事上的射击，交通运输等）和空间技术（如航空航天）等立意命题，体现了应用所学知识对自然现象进行系统的分析和多角度、多层次的描述，突出综合应用知识的能力。本章高考几乎年年有题年年新，那么“新”在什么地方呢？“新”主要表现在：情景新、立

2、意新、知识新、学科渗透新，新题虽然难度往往不大，但面孔生疏。难题和新题都要有丰厚的基础知识、丰富的解题经验和灵活的解题能力。不过万变不离其宗，在每一章节都有典型的习题，在题型的解题方法和规律上下功夫，在复习的过程中有意识注意各题型之间的区别、联系和渗透，就能够做到“任凭风浪起，稳坐钓鱼台”。 知识要求：一、物体做曲线运动的条件和特点1.当物体所受合外力（或加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上时物体将做曲线运动2. 曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。做曲线运动的质点，其

3、所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。3.物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。运动的合成与分解基本关系： 分运动的独立性； 运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； 运动的等时性； 运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则）。二、恒力作用下的匀变速曲线运动1.恒力作用下的曲线运动，物体的加速度大小和方向都恒定不变，是匀变速运动。物体有初速度，而且初速度的方向与物体的加速度方向不在同一条直线上。2.最典型的匀变速曲线运动有三类形式：（1）只

4、受重力作用的平抛（和斜抛）物体的运动；（2）带电粒子以某一初速度，垂直电场方向射入匀强电场中，只受电场力作用的运动（类平抛运动）；（3)物体所受各种外力的合力恒定，而且具有的初速度方向与合外力方向成一夹角的运动。3.恒力作用下的曲线运动，物体的速度大小和方向时刻都在变，恒力做功，物体具有的各种形式的能量在不断转化；研究速度变化规律、恒力做功的特点、各种不同形式的能相互转化的过程是我们的主要目标和任务。4.恒力作用下的曲线运动，是沿初速度方向的匀速直线运动与恒力方向上初速度为零的匀加速直线运动的合运动。这种观点是研究匀变速曲线运动的理论基础，这种观点是力的独立作用原理的体现，这种观点也是研究匀变

5、速曲线运动的基本方法和出发点。三、圆周运动1.圆周运动是变速运动，因物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动不可能是匀变速运动，因为即使是等速率的匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。2.最典型的圆周运动有：（1）天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；（2）核外电于在库仑力作用下绕原子核的运动；（3）带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；（4）带电物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。3.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所

6、受的合外力，沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。4.做匀速圆周运动的物体，其动能不变，合外力所做的功为零；但其动量时刻都在变，合外力在某段时间内的冲量不等于零。做非匀速圆周运动的物体，其动能、动量都变化，合外力所做的功不为零，合外力的冲量也不为零。能力要求：一、平抛运动的求解方法1.常规解法是运动的分解（1）水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一分运动的存在而受到影响。（2）水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等时性。由可知，平抛物体在空中运动的时间t只取决于物体抛出时离地的高

7、度h，而与抛出时的初速度v0无关。2.特殊的解题方法是选择一个适当的参考系。选择一个做自由落体运动的物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系，是水平匀速直线运动。选择一个相同初速度的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系是做自由落体运动。这种方法在解判断题时是方便的。3.类平抛运动（1）平抛运动是典型的匀变速曲线运动，应掌握这一问题的处理思路、方法，并迁移到讨论类平抛（如带电粒子在匀强电场中的偏转等）问题上来，这一问题也是高考的热点。物体所做的运动不是真正的平抛运动，而是类平抛运动，即该运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动，这类运动在电场中会涉及，处理方

8、法与平抛运动类似。类平抛运动的解题方法与平抛运动解题方法一样，但要分清其加速度如何。（2）所有的抛体运动，都做加速度相同的匀变速运动，其运动规律有着必然的联系。二、匀速圆周运动的分析方法对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析：（1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。（2）明确运动情况，包括搞清运动速率v，轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等。只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小( mv2/R )和向心力方向（指向圆心）。（3）分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）。（4）选用公式解得结果。三、圆周

9、运动中向心力的特点（1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。（2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。（3）当物体

10、所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R时，物体做离心运动。四、竖直面内完成圆周运动的临界条件要完成圆周运动，对图甲和图戊在最高点：，所以。并要会分析，时受力情况。对图甲、图乙、图丁，在最高点：v=0，并要会分析v0时，受力情况及图丁的运动情况。五、若除重力外，还受其他恒定的外力，可将该力与重力等效为新的重力mg，进行分析，并要注意相应的最高点的变化。特别提示：1.匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动的区别：加速度方向与初速度方向不共线是曲线运动的共同特点。加速度矢量恒定，则物体做匀速曲线运动：加速度矢量变化，则物体做非匀速曲线运动。平抛、斜抛运动属匀变速曲线运动（g恒定），一切圆周运动均为

11、非匀变速曲线运动（a方向一定变）。2.皮带轮传动系统中各点v线、a向、大小关系：在同一个圆盘上各点（或同一个球体上各点）相等，a向与r成正比；在同一圆周上或同一皮带轮上各点v线相等，a向与r成反比。3.解答圆周的运动动力学问题，首先必须明确研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向和半径的大小。例如地球绕地轴自转，非赤道平面上的点做圆周运动的圆心不是地球球心，而是圆平面与地轴的交点。再如：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动必须据特殊点作出有关半径和圆心，并据几何关系求出半径的大小。其次必须明确向心力是按效果来命名的力，它不是受力分析中的新的力，而是一个力或某几个力的合力。最后对圆周运

12、动过程中的临界问题应加以分析，轻杆、轻绳、光滑轨道等名词均属隐含条件。4.若是恒力作用下的曲线运动，要注意运动的分解，一般地把运动分解为恒力作用下的直线运动和与恒力垂直方向上的匀速直线运动，分解后分方向求出加速度、速度、位移等，要注意分运动的独立性与同时性的应用。Ø 例题精讲例题1.如图2-1所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（ ）A.1:1 B.4:3 C.16:9 D.9：16解析：由平抛运动的位移规律可知： 故D选项正确

13、。点评：灵活运用平抛运动的位移规律解题，是基本方法之一。应用时必须明确各量的物理意义，不能盲目套用公式。例题2. 从空中同一地点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反、大小分别为，求经过多长时间两小球速度方向间的夹角为90°？解析：经过时间t，两小球水平分速度、不变，竖直分速度都等于，如图2-2所示，t时刻小球1的速度轴正向夹角为小球2的速度轴正向夹角为由图可知 联立上述三式得 点评：弄清平抛运动的性质与平抛运动的速度变化规律是解决本题的关键。例题3.如图2-3所示，一带电粒子以竖直向上的初速度，自A处进入电场强度为E、方向水平向右的匀强电场，它受到的电场力恰与重力大小相等

14、。当粒子到达图中B处时，速度大小仍为，但方向变为水平向右，那么A、B之间的电势差等于多少？从A到B经历的时间为多长？解析：带电粒子从AB的过程中，竖直分速度减小，水平分速度增大，表明带电粒子的重力不可忽略，且带正电荷，受电场力向右。依题意有 根据动能定理： 在竖直方向上做竖直上抛运动，则 解得：。点评：当带电粒子在电场中的运动不是类平抛运动，而是较复杂的曲线运动时，可以把复杂的曲线运动分解到两个互相正交的简单的分运动来求解。例题4.如图2-4所示，让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，它们是否会分成三股？请说明理由。解析：设带电粒子质

15、量为、电量为q，经过加速电场加速后，再进入偏转电场中发生偏转，最后射出。设加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转电极长为L，两极间距离为d，带电粒子由静止经加速电压加速，则U1q=，。带电粒子进入偏转电场中发生偏转，则水平方向上：，竖直方向上：。可见带电粒子射出时，沿竖直方向的偏移量与带电粒子的质量和电量q无关。而一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子，它们仅质量或电量不相同，都经过相同的加速和偏转电场，故它们射出偏转电场时偏移量相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。点评：带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作用。分析问题时，注意运动学、动力学、功和能等有关规律的综合运用。例题5.如下图所示

16、，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A.求男演员落地点C与O点的水平距离s。已知男演员质量m1和女演员质量m2之比m1/m22,秋千的质量不计，秋千的摆长为R, C点与A点的水平高度差为5R 。解析：设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0，由机械能守恒定律得：设刚分离时男演员速度的大小为v1 ,方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒得：。分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律：根

17、据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律：，已知以上各式联立可得x8R.例题6.如下图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两者相距为d.假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。（sin37°0.6，cos37°0.8）解析：设射出点离墙壁的水平距离为x，A下降高度h1，B下降高度h2,据平抛运动规律有：，而h2h1d，联立解得，点评：本题关键是理解箭头指向的含义，箭头指向代表速度的方向。例题7.假设小球带+q电荷，由长为L的绝缘绳系住在竖直向上、场强为E的匀强电

18、场中完成竖直平面内的圆周运动，则运动中的最小速度为多少？若所加电场水平向右时又怎样？解析：(1)若qEmg,则小球可以任意小的速度做匀速圆周运动。若qE<mg,则速度最小位置仍在最高点若qE>mg,则小球经最低点时速度最小(2)若所加电场为水平向右，则小球完成竖直面内的圆周运动的最小速度可以这样求得：把mg与qE等效为，则点评：要注意分清几何最高点与物理最高点。例题8.如下图所示，两绳系一个质量为m0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？解析：两

19、绳张紧时，小球受的力如上图所示，当由0逐渐增大时，可能出现两个临界值。(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为1，则有FxF1sin30°m12Lsin30°FyF1cos30°mg0代入已知解得，12.40 rad/s.(2) AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为2，则有FxF2sin45°m22Lsin30°FyF2cos45°mg0代入已知解得23.16 rad/s.可见，要使两绳始终张紧，必须满足2.40 rad/s3.16 rad/s.例题9. 光从液面到空气时的临界角C为45°，如图

20、3-16所示，液面上有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且到液面的距离为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？解析：本题涉及平面镜的反射及全反射现象，需综合运用反射定律、速度的合成与分解、线速度与角速度的关系等知识求解，确定光斑掠移速度的极值点及其与平面镜转动角速度间的关系，是求解本例的关键。设平面镜转过角时，光线反射到水面上的P点，光斑速度为，如图3-17可知：，而：故：，而光从液体到空气的临界角为C，所以当时达到最大值，即：例题10.如下图所示，AB是一段位于竖直平

21、面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平。一个质量为m的小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，落到地面上的C点，轨迹如图中虚线BC所示。已知它落地时相对于B点的水平位移OCL。现在轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端与B的距离为L2。当传送带静止时，让P再次从A点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面的C点。当驱动轮转动从而带动传送带以速度v匀速向右运动时（其他条件不变），P的落地点为D。（不计空气阻力）（1）求P滑至B点时的速度大小； （2）求P与传送带之间的动摩擦因数 ；（3）求出O、D间的距离s随速度v变化的函数关系式。解析：（

22、1）物体P在AB轨道上滑动时，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律得物体P滑到B点时的速度为（2）当没有传送带时，物体离开B点后作平抛运动，运动时间为t，当B点下方的传送带静止时，物体从传送带右端水平抛出，在空中运动的时间也为t，水平位移为，因此物体从传送带右端抛出的速度。根据动能定理，物体在传送带上滑动时，有。解出物体与传送带之间的动摩擦因数为。（3）当传送带向右运动时，若传送带的速度，即时，物体在传送带上一直做匀减速运动，离开传送带的速度仍为，落地的水平位移为，即sL；当传送带的速度时，物体将会在传送带上做一段匀变速运动。如果尚未到达传送带右端，速度即与传送带速度相同，此后物体将做匀速运动

23、，而后以速度v离开传送带。v的最大值为物体在传送带上一直加速而达到的速度，即。由此解得。当，物体将以速度离开传送带，因此得O、D之间的距离为当，即时，物体从传送带右端飞出时的速度为v，O、D之间的距离为综合以上的结果，得出O、D间的距离s随速度v变化的函数关系式为：例题11. 某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮（如下图所示），链轮和飞轮和齿数如表，前后轮的直径为660mm。人骑自行车前进的速度为4m/s时，两轮不打滑。脚踏板做圆周运动的角速度的最小值为（）A. 1.9rad/s B. 3.5rad/sC. 3.8rad/s D. 7.lrad/s解析：设链轮和飞轮的半径分别为r1和r2，转动

24、的角速度分别为1和2，对后轮有飞轮：2后12rad/s设链轮边缘的速度为v1，飞轮边缘的速度为v2，由两轮不打滑条件知： v1v2，有至此，需要确定轮的半径与齿数间的关系。因圆周长L2r,又因每单位长度上的齿数n是一定的，故总齿数为N= n2r,即齿数与半径成正比，找到这一隐含条件对于解决此问题至关重要。设链轮和飞轮的齿数分别为N1、N2，则有由以上可得12 N2N1，式中212rad/ s,为使1最小，应同时使N2最小，N1最大，所以应选择N148 ，N214得13.5rad/s,选项B正确。点评：（1）传送带转动问题应注意：同轴转动的物体各点的角速度相等。同传送带接触的轮边缘的各点线速度的

25、大小相等。（2）对于车辆的运动要注意：车前进的速度应等于车子的每个轮缘各点的线速度大小。设车向前运动一段时间t，轮心从O点运动到O点，轮上的B点恰好与地面上的A点重合，显然有OO AAAB,所以s OO /ts AB / t从而有v车v线。 要搞清楚车前进的速度与角速度的关系。Ø 反馈练习1如下图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1；从A点以水平初速度3v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s2、不计空气阻力。则s1：s2可能为（）A. 1：3 B. 1：6C. 1：9 D. 1：122.一小球做平抛运动，初速度v0，落地速

26、度为v1，则下图中能正确表示在相等时间内速度矢量的变化情况是（） 3质量不计的轻质弹性杆P部分插入桌面上小孔中，杆另一端套有质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R、角速度为的匀速圆周运动，如下图所示，则杆的上端受到球对它的作用力大小为（）4.一物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如下图所示，再把物块放到P点自由滑下则（）A物块将仍落在Q点B.物块将会落在Q点左边C.物块将会落在Q点右边D.物块有可能落不到地面上5.飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下

27、，不计空气阻力，取g10 m/s2.在以后的运动中，关于A球与B球的相对位置关系正确的是（）A. A球在B球的前下方B. A球在B球的后下方C. A球在B球的正下方5m处D. A球在B球的正下方，距离随时间的延续而增加6.下图所示为一物体做平抛运动的xy图像，物体从O点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移，P(x,y)为物体运动过程中的任一点，其速度的反向延长线交于x轴A点(A点未画出)，则OA的长为（）A. x B. 0.5xC. 0.3x D. 不能确定7. 如下图所示，铁块压着一张纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉在地上的P点，若以2v速度抽出纸条，则铁块落地点为（）A.仍在

28、P点B.P点左边C.P点右边不远处D.P点右边原水平位移的2倍处8.如下图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A，用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B.在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A,B之间的距离以LHt2（式中H为直升机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内（）A.悬索的拉力等于伤员的重力B.伤员做加速度大小方向均不变的曲线运动C.悬索是竖直的D.伤员做速度大小增加的曲线运动9.如下图所示，一辆小车的支架上，用细线悬挂一小球，质量为m,细线长为L,小车以速度v做匀速直线运动，当小

29、车碰到挡板突然停止时，细线的拉力为，假设细线的最大承受拉力为T0，则车匀速运动的速度为时，小球将可以做平抛运动。LHCBAh/2h10滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台水平飞离B点，地面上紧靠着平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示、斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为m，假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变。求： (1) 滑雪者离开B点时的速度大小； (2) 滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s。 11. 如下图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m，悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球正好通过圆轨道最高点，求台秤示数的变化范围。答案：ABC解析：两次球的落点分三种情况：