三角函数、平面向量综合题八类型(师)

1、三角函数与平面向量综合题的九种类型题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】已知A、B、C为三个锐角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)与向量(sinAcosA，1sinA)是共线向量.（）求角A；（）求函数y2sin2Bcos的最大值.【解】（）、共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则sin2A，又A为锐角，所以sinA，则A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2Bsin2Bcos2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.【点评】本

2、题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型二.三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例2】 已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan

3、的值；（）求cos()的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手，建立关于的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan的值；第()小题根据所求得的tan的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果【解】（），·0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故·6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin×

4、15;题型三.三角函数与平面向量的模的综合【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第()小题则可变角()，然后就须求sin()与cos即可.【解】()|，22·2，将向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，cos().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】（2010年高

5、考安徽卷）已知，为的最小正周期，求的值【解答】因为为的最小正周期，故因为，又，故由于，所以【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。练习1：设函数f(x)·.其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（）小题直接利用条件f()2可以求得，而第()小题利用三角函数函数的

6、有界性就可以求解.解：（）f(x)·m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)1，当sin(x)1时，f(x)的最小值为1. 题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（）求的值；（）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所

7、求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，（1）求；（2）若，且，求【解答】（1），,又，解得：，是锐角，（2），又，【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。 题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】（2007年高考陕西卷），其中向量，且函数的图象经过点（）求实数的值； （）求函数的最小值及此时值的集合。【解答】（）由已知，得（）由（）得当时，

8、的最小值为，由，得值的集合为【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。 题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例5】（2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）【解答】，平移后的解析式为，选【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】（2006年高考湖北卷）设向量，函数.（）求函数的最大值与最小正周期；（）求

9、使不等式成立的的取值集.【解答】（）的最大值为，最小正周期是（）要使成立，当且仅当，即,即成立的的取值集合是【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。【专题训练】一、选择题1已知(cos40°，sin40°)，(cos20°，sin20°)，则·（ ）A1BCD2将函数y2sin2x的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若·0，则ABC是（ ）

10、A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形4设(,sina)，(cosa,)，且，则锐角a为（ ）A30°B45°C60°D75°5已知(sin，)，(1，)，其中(，)，则一定有（ ）ABC与夹角为45°D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C点在函数ysinx的图象上,实数l（ ）ABCD7设02时，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是（ ）ABC3D28若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，则与一定满足（ ）A与的夹角等于abBCD()()9已知向量(cos25°

11、;,sin25°)，(sin20°,cos20°)，若t是实数，且t，则|的最小值为（ ）AB1CD10O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：l()，l(0,)，则直线AP一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心二、填空题11已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，则sin2q的值为_12已知在OAB(O为原点)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若·5，则SAOB的值为_.13已知向量(1，1)向量与向量夹角为，且·1.则向量_三、解答题14已知向量(sinA,cosA)，(,

12、1)，·1，且为锐角.()求角A的大小；()求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域15在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，满足，bca.()求A的大小；()求sin(B)的值16ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大小；()当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角的大小.17已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求证：向量与向量不可能平行；（）若f(x)·，且x,时，求函数f(x)的最大

13、值及最小值18设函数，其中向量， （）求函数的最大值和最小正周期； （）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的19已知向量（）若，求；（）求的最大值【参考答案】【专题训练】参考答案一、选择题1B解析：由数量积的坐标表示知·cos40°sin20°sin40°cos20°sin60°.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因为cosBAC0，BAC为钝角.4B 【解析】由平行的充要条件得×sinacosa0，sin2a1，2a90°，a

14、45°.5B 【解析】·sin|sin|，(，)，|sin|sin，·0，6A 【解析】l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7C 【解析】|3.8D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()·()cos2acos2bsin2asin2b0，()()9C 【解析】|2|2t2|22t·1t22t(sin20°cos25°cos20°sin25°)t2t1(t)2，|，|min.10C 【解析】设BC的中点为D，则2，又由l()，2l

15、，所以与共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过ABC的重心二、填空题11 【解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q12 【解析】·5Þ10cosacobs10sinasinb5Þ10cos(ab)5Þcos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB×2×5×13(1，0)或(0，1) 【解析】设(x，y)，由·1，有xy1 ，由与夹角为，有·|·|cos，|1，则x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答题14【解】()由题意得·sin

16、AcosA1，2sin(A)1，sin(A)，由A为锐角得A，A.()由（）知cosA，所以f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx)2，因为xR，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f(x)有最大值当sinx1时，f(x)有最小值3，所以所求函数f(x)的值域是3，15【解】()由，得2sin2A1cosA0，即2cos2AcosA10，cosA或cosA1.A是ABC内角，cosA1舍去，A.()bca，由正弦定理，sinBsinCsinA，BC，sinBsin(B)，cosBsinB，即sin(B)16【解】()由，得·0，从而(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、B(0，)，sinB0，cosA，故A.()y2sin2B2sin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin1sin2B cos2B1sin(2B).由()得，0B，2B，当2B，即B时，y取最大值2.17【解】（）假设，则2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，2cos2xsinxcosxsin2x0，2·sin2x0，即sin2xcos2x3，(sin2x)3