高考数学二轮复习 专题对点练27 不等式选讲 理 选修45

1、专题对点练27不等式选讲(选修45)1.(2017山西吕梁二模,理23)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)3;(2)如果xr,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.解 (1)若a=-1,f(x)3,即为|x-1|+|x+1|3,当x-1时,1-x-x-13,即有x-32;当-1<x<1时,1-x+x+1=23不成立;当x1时,x-1+x+1=2x3,解得x32.综上可得f(x)3的解集为-,-3232,+.(2)xr,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|x-1-x+a|=

2、|a-1|,当(x-1)(x-a)0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.则实数a的取值范围为(-1,3).2.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.解 (1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x2,1,2<x<3,2x-5,x3.当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1;当2<x<3时,f(x)3无解;当x3时,由f(x)3得2x-53,解得x4;所以f(x)3的解集为x|x1x

3、|x4.(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|.当x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a|-2-ax2-a.由条件得-2-a1且2-a2,即-3a0.故满足条件的a的取值范围为-3,0.3.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)3x+2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.解 (1)当a=1时,f(x)3x+2可化为|x-1|2.由此可得x3或x-1.故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.(2)由f(x)0得|x-a|+3x0.此不等式化为不等式组xa,x-a+3x0

4、,或xa,a-x+3x0,即xa,xa4,或xa,x-a2.因为a>0,所以不等式组的解集为xx-a2.由题设可得-a2=-1,故a=2.4.已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xr时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(2)当xr时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xr时,f(x)+g(x)3

5、等价于|1-a|+a3.当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a>1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).5.(2017辽宁沈阳一模,理23)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为m,a,bm.(1)证明:13a+16b<14;(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.(1)证明 记f(x)=|x-1|-|x+2|=3,x-2,-2x-1,-2<x<1,-3,x1,由-2<-2x-1<0解得-12<x<12,则m=-12,12.a,bm,|a|<12,|b|<12.13a+

6、16b13|a|+16|b|<13×12+16×12=14.(2)解 由(1)得a2<14,b2<14.因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.6.已知函数f(x)=x-12+x+12,m为不等式f(x)<2的解集.(1)求m;(2)证明:当a,bm时,|a+b|<|1+ab|.(1)解 f(x)=-2x,x-12,1,-12<x<12,2x,x12.当x-1

7、2时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f(x)<2;当x12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集m=x|-1<x<1.(2)证明 由(1)知,当a,bm时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.导学号168042307.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.求证:(1)ab+bc+ac13;(2)a2b+b2c+c2a

8、1.证明 (1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.导学号168042318.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面

9、积大于6,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x1时,不等式化为-x+2>0,解得1x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.(2)由题设可得f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1xa,-x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a2a-13,0,b(2a+1,0),c(a,a+1),故abc的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故