高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理学案 新人教A版必修5

1、1.1.2余弦定理学习目标：1.掌握余弦定理及其推论(重点).2.掌握正、余弦定理的综合应用(重点).3.能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)自 主 预 习·探 新 知1余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍公式表达a2b2c22bccos a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c变形cos a；cos b；cos c.思考：在abc中，若a2<b2c2，则abc是锐角三角形吗？提示不一定因为abc中a不一定是最大边，所以abc不一定是锐角三角形2余弦定理及其变形的应用(1)利用余弦定理的变形

2、判定角在abc中，c2a2b2c为直角；c2>a2b2c为钝角；c2<a2b2c为锐角(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题已知三边，求三角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？提示由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角c已知，则c2a2b22abcos c，c唯一，cos b，因为0<b<，所以b唯一，从而a也唯一所以三角形其他元素唯一确定基础自测1思考辨析(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在abc中，若a2>b2c2，则abc一定为钝角三角形

3、()(3)在abc中，已知两边和其夹角时，abc不唯一()答案(1)(2)(3)×提示：由余弦定理可知，已知abc的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以abc是唯一的，(3)错误2在abc中，已知a4，b6，c120°，则边c_. 【导学号：91432030】2根据余弦定理c2a2b22abcos c16362×4×6×cos 120°76，c2.3在abc中，a1，b，c2，则b_.60°cos b，b60°.4在abc中，若a2b2bcc2，则a_. 【导学号：91432031】120°a2b2b

4、cc2，b2c2a2bc，cos a，又a为abc的内角，a120°.5以下说法正确的是_(填序号)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例错误由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形正确结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确正确余弦定理可以看作勾股定理的推广合 作 探 究·攻

5、 重 难已知两边与一角解三角形在abc中，已知b3，c3，b30°，求角a，角c和边a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos b，得32a2(3)22a×3×cos 30°，a29a180，得a3或6.当a3时，a30°，c120°.当a6时，由正弦定理sin a1.a90°，c60°.法二：由b<c，b30°，b>csin 30°3×知本题有两解由正弦定理sin c，c60°或120°，当c60°时，a90°，由勾股定理a6，

6、当c120°时，a30°，abc为等腰三角形，a3.规律方法已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.跟踪训练1在abc中，a2，c，b45°，解这个三角形. 【导学号：91432032】解根据余弦定理得，b2a2c22accos b(2)2()22×2×()×cos 45

7、76;8，b2.又cos a，a60°，c180°(ab)75°.已知三边解三角形已知abc中，abc2(1)，求abc的各角的大小思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解解设a2k，bk，c(1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosa，a45°.同理可得cos b，b60°.c180°ab75°.规律方法(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一(2)若已知三角形的三边的关系或比例

8、关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解跟踪训练2在abc中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin c. 【导学号：91432033】解a>c>b，a为最大角，由余弦定理的推论，得：cos a，a120°，sin asin 120°.由正弦定理，得：sin c，最大角a为120°，sin c.正、余弦定理的综合应用探究问题1在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则sin2asin2bsin2c成立吗？反之说法正确吗？为什么？提示：设abc的外接圆半径为r.由正弦定理的变形，将a2rsin a，b2r

9、sin b，c2rsin c，代入a2b2c2可得sin2asin2bsin2c.反之将sin a，sin b，sin c代入sin2asin2bsin2c可得a2b2c2.因此，这两种说法均正确2在abc中，若c2a2b2，则c成立吗？反之若c，则c2a2b2成立吗？为什么？提示：因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形cos c0，即cos c0，所以c，反之若c，则cos c0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.在abc中，若(ac·cos b)·sin b(bc·cos a)·sin a，判断abc的形状. 【导学号：914

10、32034】思路探究：解法一：(角化边)(ac·cos b)·sin b(bc·cos a)·sin a，由正、余弦定理可得：·b·a，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故abc为直角三角形或等腰三角形法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sin asin ccos b)sin b(sin bsin ccos a)sin a，即sin ccos bsin bsin ccos asin a.sin c0，sin bcos bsin a

11、cos a.sin 2bsin 2a.2b2a或2b2a，即ab或ab.abc是等腰三角形或直角三角形母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“(accos b)·sin b(bccos a)·sin a”换为“acos abcos bccos c”其它条件不变，试判断三角形的形状解由余弦定理知cos a，cos b，cos c，代入已知条件得a·b·c·0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2±c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知abc是直角三角形2

12、(变条件)将例题中的条件“(accos b)·sin b(bccos a)·sin a”换为“lg alg clgsin blg 且b为锐角”判断abc的形状解由lgsin blg lg ，可得sin b，又b为锐角，b45°.由lg alg clg ，得，ca.又b2a2c22accos b，b2a22a22a2×a2，ab，即ab.又b45°，abc为等腰直角三角形规律方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦

13、定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.当 堂 达 标·固 双 基1已知a，b，c是abc的三边长，若满足等式(abc)·(abc)ab，则角c的大小为()a60°b90°c120° d150°c由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos c，cos c，c120°.2在abc中，a7，b4，c，则abc的最小角为() 【导学号：91432035】a. b.c. d.b由三角形边角关系可知，角c为abc的最小角，则cosc

14、，所以c，故选b.3在abc中，若a2bcosc，则abc的形状为_等腰三角形法一：a2bcos c2b·，a2a2b2c2，即b2c2，bc，abc为等腰三角形法二：a2bcos c，sin a2sin bcos c，而sinasin(bc)sin bcos ccos bsin c，cos bsin csin bcos c，即sin bcos ccos bsin c0，sin(bc)0.又180°<bc<180°，bc0，即bc.abc为等腰三角形4在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知bc,2ba，则cos a_. 【导学号：91432036】由bc,2ba，可得bca，所以cos a.5在abc中，已知a5，b3，角c的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长解5