第二章谓词逻辑

1、第二章 谓词逻辑1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？2.么叫做谓词？3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？4.填空题：1存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。2全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。"x(F(x,y)$yP(y)Q(z)$xA(x)"x$y"z(A(x,y)B(x,y,z)C(t) 6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？"x(F(x,y)$yP(y

2、)Q(z)$xA(x)7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。8.给出的谓词 J(x)：x是教练员， L(x) ：x是运动员， S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志， H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。客体 j：金某人。用上面给出的符号将下面命题符号化 。 1所有教练员是运动员。 2某些运动员是大学生。 3某些教练是年老的，但是健壮的。4金教练既不老，但也不是健壮的。5不是所有运动员都是教练。6某些大学生运动员是国家选手。7没有一个国家选手不是健壮的。8所有老的国家选手都是运动

3、员。9没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。10有些女同志既是教练又是国家选手。11所有运动员都钦佩某些教练。12有些大学生不钦佩运动员。9.将下面命题符号化1金子闪光,但闪光的不一定都是金子。2没有大学生不懂外语。3有些液体可以溶解所有固体。4每个大学生都爱好一些文体活动。5每个自然数都有唯一的后继数。10.令P表示天气好。Q表示考试准时进行。A(x)表示x是考生。B(x)表示x提前进入考场。C(x)表示x取得良好成绩。E(x,y)表示x=y。利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。1 如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。2 只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。3 并

4、非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。4 有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。11.将下面命题符号化。1 对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。(S(x):x是大学生；Q(x):x取得了优异成绩；H(x):x刻苦学习。)2 每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。(Z(x):x是自然数； E(x,y):x=y； Q(x,y):y是x的前驱数。)12.<A,>是偏序集，B是A的非空子集。在括号内分别写入y是B的极小元、最小元、下界相应的谓词表达式。y是B的极小元Û( )y是B的最小元Û( )y是B的下界Û( )13.设论域D=

5、1,2 又已知a=1 b=2 f(1)=2 f(2)=1P(1,1)=T P(1,2)=T P(2 ,1)=F P(2,2)=F求谓词公式"x$y(P(x,y)®P(f(x),f(y)的真值。(要求有解题的过程)14设论域为2,3，(x,y)表示 x+y=xy。求谓词公式 Ø"x$yA(x,y) 的真值。(要求有解题的过程。)15.设谓词P(x,y)表示x是y的因子，论域是1,2,3。求谓词公式"x$yØA(x,y)的真值。(要求有解题过程) 16.令论域D=a,b，P(a,a)：F， Pa,b)：T， P(b,a)：T， P(b,b

6、)：F。公式( )的真值为真。A："x$yP(x,y) B：$x"yP(x,y) C："x"yP(x,y) D：Ø$x$yP(x,y)17.令论域D=a,b，P(a,a):F，P(a,b):T，P(b,a):T，P(b,b):F，公式( )的真值为真。a: Ø$x$yP(x,y) b: $x"yP(x,y) c: "x"yP(x,y) d: "x$yP(x,y)18.令Lx,y)表示x<y, 当论域为( )时, 公式"x$yL(x,y)的真值为假。a: 自然数集合 b: 整数集合

7、 c: 有理数集合 d:实数集合19.设论域为1,2,3，已知谓词公式 $xP(x,3) ®("yØP(3,y) ®$zP(1,z) 的真值为假，则x=2时，使P(x,3)为真。此说法是否正确？针对你的答案说明原因。20.什么叫做对谓词公式赋值？21.什么叫做谓词公式的永真式？22.什么叫做谓词公式A与B等价？23.什么叫做谓词公式A永真蕴含B？24.设 是个不含客体变元x的谓词公式，在下面的等价公式中，哪些是不正确？说明不正确的原因。1. "xA(x)BÛ"x(A(x)B)2. "xA(x)BÛ&quo

8、t;x(A(x)B)3. B"xA(x)Û"x(BA(x)4. "xA(x)BÛ"x(A(x)B)25.证明下面等价公式 $x(A(x)B(x)Û"xA(x)$xB(x) 26.证明下面等价公式 $xA(x)"xB(x)Þ"x(A(x)B(x) 27.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。$xA(x)$xB(x) Û $x(A(x)B(x) 28.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。"x(A(x)B(x) Û"x

9、A(x)"xB(x) 29.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。$xA(x)$xB(x) Þ$x(A(x)B(x) 30.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。"x(A(x)B(x) Þ"xA(x)"xB(x) 31.什么叫做谓词公式的前束范式？32.不是谓词公式 "x(A(x,y)®$yB(x,y) 的前束范式的为 ( )a: "x$y(A(x,t)® B(x,y) b: "x$t(A(x,y)® B(x,t) c: "x$y(A(x

10、,y)® B(x,y) d: "t$y(A(t,x)® B(t,y) 33.写出谓词公式 "x(P(x)R(x)(Ø$xP(x)Q(x)的前束范式。34.分别指出推理规则US、ES、的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。35.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用US规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。并分析发生的错误。36.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用ES规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。并分析发生

11、的错误。37.分别指出推理规则EG、UG的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。38.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。(要求按照推理的格式书写推理过程。)"xC(x), $x(A(x)ÚB(x), "x(B(x)®ØC(x) Þ $xA(x)39.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。(要求按照推理的格式书写推理过程。) “不认识错误的人，也不能改正错误。有些诚实的人改正了错误。所以有些诚实的人是认识了错误的人。”设A(x):x是认识错误的人。 B(x):x改正了错误。C(x):x是诚实的人。命题符号化为：&qu

12、ot;x(ØA(x)ØB(x)，$x(C(x)B(x), Þ $x(C(x)A(x)40.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）"x(A(x)®(ØB(x)ÚØC(x), "x(A(x)®(ØC(x)®D(x), $x(A(x)ÙØD(x) Þ $x(A(x)ÙØB(x)41.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。$x(A(x)Ù(B(x)®ØC(x), "

13、x(A(x) ® (C(x) ÚØD(x), "x(A(x) ®D(x) Þ $x(A(x) ÙØ B(x)42.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）“鸟都会飞。猴子都不会飞。所以，猴子都不是鸟。”43.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）“一些病人喜欢所有医生。任何病人都不喜欢庸医。所以没有医生是庸医。”44. 给定谓词如下：S(x):x是学生；L(x):x是校领导； G(x):x是好的；T(x):x是老师；P(x): x受过处分； C(x,y)

14、:y表扬x。用上述谓词表达下面各个命题，并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。“没有受过处分的学生，都受到过校领导的表扬；有些好学生，仅仅受到老师的表扬；所有好学生，都没有受过处分。所以，有的老师是校领导。”45.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照推理格式书写推理过程。）“任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不爱骑自行车，因此有的人不爱步行。”46. 给定谓词 M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。 D(x):x是登山者。L(x,y):x喜欢y。 客体：a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。用谓词逻辑推理证

15、明方法，解决下面问题。（要求按照推理格式书写推理过程。）“小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。没有一个登山者喜欢雨。而所有滑雪者都喜欢雪。凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。小杨喜欢雨和雪。试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。如果有，他是谁？”47.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。）$x(ØP(x)® Q(x), "x(ØQ(x)ÚØR(x), "xR(x) Þ$xP(x)48.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 （要求按照

16、谓词逻辑推理格式，书写推理过程。）"x(P(x)®(Q(x)ÙR(x), Ø"x(R(x)®Q(x) Þ$x(R(x)ÙØP(x)49. 用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。(要求：按照教材中推理的格式写出推理过程)"x(ØC(x)Ú(ØA(x)ÚØB(x), "x(A(x)®(ØC(x)®D(x), Ø"x(ØA(x)ÚD(x) Þ $x(A(x)

17、7;ØB(x) 50.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。(要求：按照逻辑推理格式书写推理过程) "x($y(S(x,y) ÙM(y) ® $z(P(z)ÙR(x,z) ÞØ$zP(z) ®"x"y (S(x,y) ® ØM(y)51.设：(x)表示x是自然数；(x)表示x是奇数；(x)表示x是偶数；(x)表示x能被整除。用上面给定的谓词表示下面各个命题，然后用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。（注：要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）“每个自然数不是奇数就是偶数；所

18、有奇数都不能被整除；有些自然数能被整除；因此，有些自然数是偶数。”52.用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。（注：要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）$x(A(x)ÙØ"y(ØB(y)ÚØC(x,y), "x(A(x)®"y(D(y )® ØC(x,y) Þ$y(B(y)Ù ØD(y) 53.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。(要求按照教材格式写出推理过程)"x(A(x)®$y(B(y)®ØC(x,y),

19、"x(A(x)®"y(C(x,y)ÚD(y), $xA(x)Ù"yØD(y)Þ $yØB(y)54. 给定谓词如下：A(x):x是书刊；B(x)：x是合法出版的；C(x)：x是人；D(x)：x感到忧虑。先用这些谓词将下面各个命题符号化，再用谓词逻辑推理方法证明这个推理是正确的。“如果有些书刊是非法出版的，则所有人都感到忧虑。一些人不感到忧虑。因此，所有书刊都是合法出版的。”55.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。(按照教材格式写出推理过程)$xA(x), $x(B(x)ÙØC(x),

20、 "z(A(z)Ù"x$yD(x,y)®"y(B(y)®C(y), Þ"y$xØD(x,y)56.给定谓词：N(x):x是自然数，E(x):x是偶数，O(x):x是奇数，D(x,y):x可被y整除。用上述谓词表达下面各命题，并用谓词逻辑推理方法证明其推理的有效性。“每个自然数不是偶数，就是奇数。自然数为偶数，当且仅当它能被2整除。并不是所有自然数都可以被2整除。所以，有的自然数是奇数。”57.用谓词推理证明下面推理的有效性。（注：要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）$x(A(x)Ù$y(B(

21、y)ÙC(x,y), "x(A(x)®"y(D(y)®ØC(x,y) ÞØ"y(B(y)®D(y) 58.分析下面推理过程是否正确。如果有错误，请指出错误所在之处。并写出正确的推理过程。"x(A(x)B(x)， $xA(x) Þ $xB(x) "x(A(x)B(x) P A(c)B(c) US $xA(x) P A(c) ES B(c) T I11 $xB(x) EG 59.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。 $xP(x),

22、"x(Q(x) ®Ø R(x), "x(ØP(x)Ú R(x) Þ $xØ Q(x)1.答案：定义：能够独立存在的事物，称之为客体，也称之为个体。它可以是具体的，也可以是抽象的事物。通常用小写英文字母a、b、c、.表示。定义：用小写英文字母x、y、z.表示任何客体，则称这些字母为客体变元。2.答案：定义：一个大写英文字母后边有括号，括号内是若干个客体变元，用以表示客体的属性或者客体之间的关系，称之为谓词。如果括号内有n个客体变元，称该谓词为n元谓词。3.答案：定义：在命题函数中客体变元的取值范围，称之为论域，也称之

23、为个体域。论域是一个集合。定义：由所有客体构成的论域，称之为全总个体域。它是个“最大”的论域。4.答案：1存在量词：记作($ )，表示 ( 有些 ) 或者( 一些 )或者( 至少一个 )。2全称量词：记作(" )，表示 ( 每个 ) 或者(任何一个 )或者( 所有的 )。5.答案：在谓词公式中，量词的作用范围称之为量词的作用域，也叫量词的辖域。在"x(F(x,y)$yP(y)Q(z)$xA(x)中："x的作用域：(F(x,y)$yP(y)$y的作用域：P(y)$x的作用域：A(x)在"x$y"z(A(x,y)B(x,y,z)C(t)中：&quo

24、t;x的作用域：$y"z(A(x,y)B(x,y,z)$y的作用域："z(A(x,y)B(x,y,z)"z的作用域：(A(x,y)B(x,y,z)6.答案：定义：如果客体变元x在"x或者$x的辖域内，则x在此辖域内约束出现，并称x在此辖域内是约束变元。否则x是自由出现，并称x是自由变元。在"x(F(x,y)$yP(y)Q(z)$xA(x)中F(x,y)中的x和P(y)中的y以及A(x)中x是约束变元。而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由变元。7.答案：(命题)8. 答案：1"x(J(x)L(x) 2$x(L(x)S(x)3$x(

25、J(x)O(x)V(x) 4J(j)ØO(j)ØV(j)5Ø"x(L(x)J(x) 或者 $x(L(x)ØJ(x)6$x(S(x)L(x)C(x) 7$Øx(C(x)ØV(x) 或者 "x(C(x)V(x) 8"x(O(x)C(x)L(x) 9Ø$x(W(x)C(x)H(x) 10$x(W(x)J(x)C(x) 11"x(L(x)$y(J(y)A(x,y)12$x(S(x)"y(L(y)ØA(x,y)9.答案：1设：G(x)：x是金子。 F(x)：x闪光。则命题的表

26、达式为"x(G(x)®F(x) ÙØ"x(F(x)®G(x) 或者"x(G(x)®F(x) Ù$x(F(x) ÙØG(x) 2设 S(x)：x是大学生。F(x)：x是外语。K(x,y)：x懂得y。则命题的表达式为Ø$x(S(x)Ù"y(F(y) ®ØK(x,y) 或者"x(S(x) ®$y(F(y)ÙK(x,y)3设F(x)：x是液体。.S(x)：x是固体。D(x,y)：x可溶解y。则命题的表达式为$x(F

27、(x)Ù"y(S(y)®D(x,y)4设S(x)：x是大学生。L(x,y)：x爱好y。C(x)：x是文娱活动。P(x)：x是体育活动。则命题的表达式为："x(S(x) ®$y(C(y)P(y)ÙL(x,y) 5设令N(x)：x是自然数。A(x,y)：y是x的后继数。 E(x,y)：x=y 则命题的表达式为"x(N(x)$y(N(y)A(x,y)"z(N(z)A(x,z)E(y,z) 10.答案：1ØP®$xA(x)Ù ØB(x)2Q®"x(A(x)

28、4; D(x)3Ø"x(A(x) Ù(B(x)® C(x)4$xA(x)ÙB(y) ÙØC(x) Ù"y(A(y) ÙB(y) ÙC(y)® E(x,y)11.答案：1"x(S(x)(Q(x)H(x)2"x(Z(x)ØE(x,0)$y(Z(y)Q(x,y)"z(Z(z)Q(x,z)E(y,z) 12.答案：y是B的极小元Û( $y(yBØ$x(xBxyxy)y是B的最小元Û( $y(yB"x(xB

29、yx) )y是B的下界Û( $y(yA"x(xByx)13.答案：解： "x$y(P(x,y)®P(f(x),f(y)Û$y(P(1,y) ®P(f(1),f(y) Ù$y(P(2,y) ®P(f(2),f(y)Û(P(1,1) ®P(f(1),f(1)Ú (P(1,2) ®P(f(1),f(2)Ù P(2,1) ®P(f(2),f(1)Ú(P(2,2) ®P(f(2),f(2) Û(P(1,1) ®P(2,2)&#

30、218;(P(1,2) ®P(2,1)Ù (P(2,1) ®P(1,2)Ú(P(2,2) ®P(1,1)Û(T®F )Ú (T®F)Ù(F®T) Ú (F®T)Û(FÚ F)Ù(T Ú T)ÛFÙT ÛF14.答案：解： Ø"x$yA(x,y) Û$x"yØA(x,y)Û"yØA(2,y) Ú"y&

31、#216;A(3,y)Û(ØA(2,2) Ù ØA(2,3) Ú( ØA(3,2) Ù ØA(3,3) )Û (FÙ T) Ú (TÙ T)ÛFÚ TÛT 15.答案：解： "x$yØA(x,y) Û$yØA(1,y) Ù $yØA(2,y) Ù$yØA(3,y)Û(ØA(1,1) ÚØA(1,2) ÚØA(

32、1,3)Ù(ØA(2,1) ÚØA(2,2) ÚØA(2,3) Ù (ØA(3,1) ÚØA(3,2) ÚØA(3,3) Û(F ÚF) ÚF)Ù (T ÚF) ÚT) Ù (T ÚT ÚT) ÛF 16.答案：A17.答案：令论域D=a,b，P(a,a):F，P(a,b):T，P(b,a):T，P(b,b):F，公式( d )的真值为真。a: Ø$x$yP(x,y)

33、 b: $x"yP(x,y) c: "x"yP(x,y) d: "x$yP(x,y) 因为a: Ø$x$yP(x,y)ÛØ($yP(a,y)Ú$yP(b,y)ÛØ(P(a,a)ÚP(a,b)Ú(P(b,a)ÚP(b,b)ÛØ(FÚT)Ú(TÚF) ÛFb: $x"yP(x,y) Û "yP(a,y)Ú"yP(b,y)Û(P(a,a)ÙP(

34、a,b)Ú(P(b,a)ÙP(b,b)Û (FÙT) Ú (TÙF) ÛF c: "x"yP(x,y) Û"yP(a,y) Ù"yP(b,y)Û(P(a,a)ÙP(a,b)Ù(P(b,a)ÙP(b,b)Û (FÙT)Ù(TÙF) ÛF d:"x$yP(x,y)Û $yP(a,y) Ù$yP(b,y)Û (P(a,a)ÚP(a,b

35、)Ù(P(b,a)ÚP(b,b)Û (FÚT)Ù(TÚF) ÛT 18.答案：a19.答案：解：此说法正确。因为$xP(x,3)®("yØP(3,y)®$zP(1,z) 的真值为假，所以 $xP(x,3) 的真值为真，"yØP(3,y) 的真值为真，$zP(1,z) 的真值为假。由$xP(x,3) 的真值为真，得P(1,3)为真，或者P(2,3)为真，或者P(3,3)为真。由"yØP(3,y) 的真值为真，得P(3,1)、P(3,2)、P(3,3

36、)均为假。由$zP(1,z) 的真值为假，得P(1,1)、P(1,2)、P(1,3)均为假。综合上述情况得, P(2,3)为真，20.答案：若将给定的谓词公式中的命题变元，用确定的命题代替，对公式中的客体变元用论域中的客体代替，这个过程就称之为对谓词公式作指派，或称之为对谓词公式赋值。21.答案：给定谓词公式A，E是其论域，如果不论对公式A作任何赋值，都使得A的真值为真，则称公式A在论域E上是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公式A为永真式，则称A为永真式。22.答案：给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，都使得A与B的真值相同(或者说A«B是永真式)

37、，则称公式A与B在论域E上是等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A与B等价，则称A与B等价，记作AÛB。23.答案：给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，使得AB为永真式，则称在论域E上公式A永真蕴含B。如果不论对什么论域E，都使得公式AB为永真式，则称A永真蕴含B，记作AÞB。24.答案：解：4式不正确。因为"xA(x)BÛØ"xA(x)BÛ$xØA(x)BÛ$x(ØA(x)B) Û$x(A(x)B)所以 "xA(x)B不等价于 "

38、;x(A(x)B)，即4式不成立。25.答案：证明 "xA(x)$xB(x)ÛØ"xA(x)$xB(x) Û$xØA(x)$xB(x)Û$x(ØA(x)B(x)Û$x(A(x)B(x) 26.答案：证明 $xA(x)"xB(x)ÛØ$xA(x)"xB(x) Û"xØA(x)"xB(x) Þ"x(ØA(x)B(x)Û"x(A(x)B(x)27.答案：不成立。因为根据量词分配公式知

39、道，只有公式 $x(A(x)B(x) Þ $xA(x)$xB(x) 成立。而没有 $xA(x)$xB(x) Þ $x(A(x)B(x)。可以举如下反例说明：令A(x)表示x是男生， B(x)表示x是女生。则 $xA(x)$xB(x)表示“有些人是男生也有些人是女生”，这显然是真的命题。而$x(A(x)B(x)表示“有这样的人，他既是男生也是女生。”，这显然是假命题。所以$xA(x)$xB(x)Þ$ x(A(x)B(x) 不成立。所以没有等价公式 $xA(x)$xB(x) Û $x(A(x)B(x) 成立。28.答案：不成立。因为根据量词分配公式知道，只有

40、公式 "xA(x)"xB(x) Þ"x(A(x)B(x) 成立。而没有"x(A(x)B(x) Þ"xA(x)"xB(x)。可以举如下反例说明：令A(x)表示x是男生， B(x)表示x是女生。则 "x(A(x)B(x)表示“任何一个人来说，他或者是男生或者是女生。”，这显然是真的命题。而"xA(x)"xB(x)表示“要么大家都是男生，要么大家都是女生。”，显然由"x(A(x)B(x)不能推出"xA(x)"xB(x)。所以"x(A(x)B(x) &#

41、222; "xA(x)"xB(x) 不成立。所以没有等价公式 "x(A(x)B(x) Û"xA(x)"xB(x) 成立。29.答案：不成立。可以举如下反例说明：令A(x)表示x是男生， B(x)表示x是女生。则 前件$xA(x)$xB(x)表示“有些人是男生也有些人是女生”，这显然是真的命题。而后件$x(A(x)B(x) 表示“有这样的人，他既是男生也是女生。”这显然是假命题。所以$xA(x)$xB(x)Þ$ x(A(x)B(x) 不成立。30.答案：不成立。可以举如下反例说明：令A(x)表示x是男生， B(x)表示x是女生

42、。则前件 "x(A(x)B(x) 表示“任何一个人来说，他或者是男生或者是女生。”这显然是真的命题。而后件 "xA(x)"xB(x) 表示“要么大家都是男生，要么大家都是女生。”显然由"x(A(x)B(x)不能推出"xA(x)"xB(x)。所以"x(A(x)B(x) Þ "xA(x)"xB(x) 不成立。31.答案：前束范式定义： 一个谓词公式符合下面条件，就是前束范式：所有量词前面都没有联接词；所有量词都在公式的左面；所有量词的辖域都延伸到公式的末尾。32.答案：c33.答案：解"x

43、(P(x)R(x)(Ø$xP(x)Q(x)ÛØ"x(P(x)R(x)(Ø$xP(x)Q(x) (去)Û$xØ(P(x)R(x)("xØP(x)Q(x) (量词转换)Û$x(ØP(x)ØR(x)("xØP(x)Q(x) (后移Ø)Û$x(ØP(x)ØR(x)("yØP(y)Q(z) (换变元)Û$x(ØP(x)ØR(x)"y(ØP(y)Q(z) (扩

44、量词辖域)Û$x"y(ØP(x)ØR(x)(ØP(y)Q(z) (扩量词辖域)34.答案：US：全称特指规则 (Universal Specialization)形式： "xA(x)ÞA(c) (其中c是论域内指定客体)作用：去掉全称量词。注意事项：c不是A(x)中的符号。ES：存在特指规则 (Existential Specialization)形式： $xA(x)ÞA(c) (其中c是论域内指定客体)作用：去掉存在量词。注意事项： c不是A(x)中的符号。 用ES指定的客体c不应该是在此之前用US规则或者用ES

45、规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。35.答案：例： 令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。 "x(A(x)B(x) P A(c)B(c) US 如c=0.1 $xA(x) P A(c) × ES A(0.1)为F得出0.1是自然数的错误结论。36.答案：例： 令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。 $xB(x) P B(c) ES 如c1 $xA(x) P A(c) × ES A(1)为F得出1是自然数的错误结论。37.答案：EG：存在推广规则 (Existential Generalization)形式：

46、 A(c)$ÞxA(x) (其中c是论域内指定客体)作用：添加存在量词。注意事项：x不是A(c)中的符号。UG：全称推广规则 (Universal Generalization)形式： A(c)Þ"xA(x) (其中c是论域内任何指定客体)作用：添加全称量词。注意事项：x不是A(c)中的符号。c一定是任意的客体，否则不可全称推广。38.答案： $x(A(x)ÚB(x), P A(a)ÚB(a) ES "xC(x) P C(a) US "x(B(x)ØC(x) P B(a)ØC(a) US ØB(

47、a) T I12 A(a) T I10 $xA(x) EG 39.答案： $x(C(x)B(x) P C(c)B(c) ES C(c) T I1 B(c) T I2 "x(ØA(x)ØB(x) P ØA(c)ØB(c) US ØØA(c) T I12 A(c) T E1 C(c)A(c) T I9 $x(C(x)A(x) EG 40.答案：证明. $x(A(x)ÙØD(x) P A(a)ÙØD(a) ES A(a) T I ØD(a) T I "x(A(x)

48、4;(ØC(x)®D(x) P A(a)®(ØC(a)®D(a) US ØC(a)®D(a) T I C(a) T I "x(A(x)®(ØB(x)ÚØC(x) P A(a)®(ØB(a)ÚØC(a) US ØB(a)ÚØC(a) T I ØB(a) T I A(a)ÙØB(a) T I $x(A(x)ÙØB(x) EG 41.答案：证明. $x(A(x)&

49、#217;(B(x)®ØC(x), P A(a)Ù(B(a)®ØC(a) ES A(a) T I (B(a)®ØC(a) T I "x(A(x) ® (C(x) ÚØD(x) P A(a) ® (C(a) ÚØD(a) US (C(a) ÚØD(a) T I "x(A(x) ®D(x) P A(a) ®D(a) US D(a) T I C(a) T I ØB(a) T I A(a)Ù&#

50、216;B(a) T I $x(A(x)ÙØB(x) EG 42.答案：证明.设 B(x):x是鸟；F(x):x会飞；M(x):x是猴子。命题符号化为："x(B(x)F(x)， "x(M(x)ØF(x) Þ "x(M(x)ØB(x) "x(B(x)F(x) P B(a)F(a) US "x(M(x)ØF(x) P M(a)ØF(a) US ØF(a)ØB(a) T E18 M(a)ØB(a) T I13 "x(M(x)ØB(x

51、) UG 43.答案：证明.设: P(x):x是病人, D(x):x是医生, Q(x):x是庸医, L(x,y): x喜欢y. 命题符号化：$x(P(x)"y(D(y)L(x,y)， "x(P(x)"y(Q(y)ØL(x,y) ÞØ$y(D(y)Q(y) $x(P(x)"y(D(y)L(x,y) P P(a)"y(D(y)L(a,y) ES P(a) T I1 "y(D(y)L(a,y) T I2 "x(P(x)"y(Q(y)ØL(x,y) P P(a)"y(Q(y

52、)ØL(a,y) US "y(Q(y)ØL(a,y) T I11 D(b)L(a,b) US Q(b)ØL(a,b) US L(a,b) ØQ(b) T E18 D(b)ØQ(b) T I13 ØD(b)ØQ(b) T E16 Ø(D(b)Q(b) T E8 "yØ(D(y)Q(y) UG $Øy(D(y)Q(y) T E2544.答案：证明. 上述各个命题符号化为： "x(S(x) ÙØP(x) ®$y(L(y)ÙC(x,y

53、), $x(S(x)ÙG(x)Ù"y(C(x,y)®T(y) ,"x(S(x) ÙG(x) ®ØP(x) Þ$y(T(y)ÙL(y) $x(S(x)ÙG(x)Ù"y(C(x,y)®T(y) P (S(a)ÙG(a)Ù"y(C(a,y)®T(y) ES S(a)ÙG(a) T I1 "x(S(x) ÙG(x) ®ØP(x) P (S(a) ÙG(a) 

54、4;ØP(a) US ØP(a) T I11 S(a) T I1 S(a) Ù ØP(a) T I9 "x(S(x) ÙØP(x) ®$y(L(y)ÙC(x,y) P (S(a) ÙØP(a) ®$y(L(y)ÙC(a,y) US $y(L(y)ÙC(a,y) T I2 L(b) ÙC(a,b) ES C(a,b)®T(b) US L(b) T I1 C(a,b) T I2 T(b) T I11 T(b)ÙL(b) T I9

55、$y(T(y)ÙL(y) EG 45.答案：证明. 设 A(x):x是人, B(x):x是喜欢步行, C(x):x喜欢乘汽车，D(x):x喜欢骑自行车。上述各个命题符号化为："x(A(x)(B(x)ØC(x), "x(A(x)(C(x)D(x), $x(A(x)ØD(x) Þ $x(A(x)ØB(x) $x(A(x)ØD(x) P A(a)ØD(a) ES A(a) T I ØD(a) T I "x(A(x)(B(x)ØC(x) P A(a)(B(a)ØC(a) U

56、S B(a)ØC(a) T I "x(A(x)(C(x)D(x) P A(a)(C(a)D(a) US C(a)D(a) T I C(a) T I ØB(a) T I A(a)ØB(a) T I $x(A(x)ØB(x) EG 46.答案：命题符号化为：M(a), M(b), M(c), "x(M(x)( H(x)D(x), Ø$x(D(x)L(x,d), "x(H(x)L(x,e) "y(L(a,y)ØL(b,y), L(a,d)L(a,e) L(a,d)L(a,e) P L(a,e) T &

57、quot;y(L(a,y)ØL(b,y) P L(a,e)ØL(b,e) US ØL(b,e) T I11 "x(H(x)L(x,e) P H(b)L(b,e) US ØH(b) T I12 "x(M(x)(H(x)D(x) P M(b)(H(b)D(b) US M(b) P H(b)D(b) T I11 D(b) T I10 D(b)ØH(b) T 所以小刘是登山者，而不是滑雪者。47.答案： $x (ØP(x)® Q(x) P ØP(a)® Q(a) ES "xR(x)

58、P R(a) US "x(ØQ(x)ÚØR(x) P ØQ(a)ÚØR(a) US ØQ(a) T I12 ØØP(a) T I10 P(a) T E1 $xA(x) EG 48.答案： Ø"x(R(x)®Q(x) P $ xØ (R(x)®Q(x) T E Ø (R(a)®Q(a) ES Ø (ØR(a)ÚQ (a) T E R(a) ÙØQ (a) T E R(a) T I

59、 ØQ(a) T I "x(P(x)®(Q(x)ÙR(x), P P(a)®(Q(a)ÙR(a) US ØQ(a)ÚØR(a) T I Ø(Q (a) ÙR(a) T E ØP(a) T I R(a) ÙØP (a) T I $x(R(x)ÙØP(x) EG 49.答案： Ø"x(ØA(x)ÚD (x) P $ xØ (ØA(x)ÚD(x) T E Ø (&

60、#216;A(a)ÚD(a) ES A(a) ÙØD (a) T E A(a) T I ØD(a) T I "x(A(x)®(ØC(x)®D(x) P A(a)(ØC(a)® D(a) US ØC(a)® D(a) T I C(a)D(a) T E C(a) T I "x(ØC(x)Ú(ØA(x)ÚØB(x) P ØC(a)Ú(ØA(a)ÚØB(a) US Ø

61、;A(a)ÚØB(a) T I ØB(a) T I A(a)ØB(a) T I $x(A(x)ØB(x) EG 50.答案： Ø$zP(z) P (附加前提) "zØP(z) T E "x($y(S(x,y) ÙM(y) ® $z(P(z)ÙR(x,z) P $y(S(a,y) ÙM(y) ® $z(P(z)ÙR(a,z) US ØP(b) US ØP(b)ÚØR(a,b) T I Ø(P(b)&

62、#217;R(a,b) T E "zØ(P(z)ÙR(a,z) UG Ø$z (P(z)ÙR(a,z) T E Ø$y(S(a,y) ÙM(y) T I "yØ (S(a,y) ÙM(y) T E "y (ØS(a,y) ÚØM(y) T E "y (S(a,y) ®ØM(y) T E "x "y (S(x,y) ®ØM(y) US Ø$zP(z) ®"x&

63、quot;y (S(x,y) ® ØM(y) CP51.答案：先命题符号化为："x(N(x)(ØO(x)E(x), "x(O(x)ØC(x), $x(N(x)C(x) Þ $x(N(x)E(x) $x(N(x)C(x) P N(a)C(a) ES N(a) T I C(a) T I "x(O(x)ØC(x) P O(a)ØC(a) US ØO(a) T I "x(N(x)(ØO(x)E(x) P N(a)(ØO(a)E(a) US ØO(a)E(

64、a) T I E(a) T I N(a)E(a) T I $x(N(x)E(x) EG 52.答案：证明. $x(A(x)Ù Ø"y(ØB(y)ÚØC(x,y), P A(a)Ù Ø"y(ØB(y)ÚØC(a,y) ES A(a) T I Ø"y(ØB(y)ÚØC(a,y) T I $yØ(ØB(y)ÚØC(a,y) T E $y(B(y)ÙC(a,y) T E "x

65、(A(x)®"y(D(y )® ØC(x,y) P A(a)®"y(D(y )® ØC(a,y) US "y(D(y )® ØC(a,y) T I B(b)ÙC(a,b) ES B(b) T I C(a,b) T I D(b)® ØC(a,b) US ØD(b) T I B(b)ÙØD(b) T I $y(B(y)ÙØD(y) EG 53.答案：证明. $xA(x) Ù"yØD(y) P $xA(x) T I "yØD(y) T I